8.4. Характеристическая функция течения при совместном действии источника и стока

Рис. 8.5. Схема расположения источника 0₁ и стока 0₂

В разделе 7.1.6. подробно исследовалось семейство изобар в случае потока от нагнетательной скважины к эксплуатационной. О линиях тока было замечено, что они образуют семейство окружностей, ортогональных изобарам. Уточним вопрос об особенностях семейства линий тока на основе метода теории функций комплексного переменного.

Сохраняя прежние обозначения и придерживаясь рис. 8.5, получим на основании формул (8.27) и (8.28) характеристическую функцию течения от нагнетательной скважины к эксплуатационной

. (8.29)

где r₁ и r₂– расстояния некоторой точки М до источника 0₁ и стока 0₂ , соответственно, θ₁ и θ₂ – соответствующие полярные углы; М – модуль массового дебита стока и источника.

Отделяя в (8.29) действительную часть от мнимой, получим

, (8.30)

Отсюда:

, (8.31)

Из (8.31) следует, что уравнение семейства изобар запишется в виде

,

где С – постоянное.

Уравнение линий тока получается из второй формулы (8.31):

θ₁-θ₂=С^*, (8.32)

где С^* – постоянное.

Рассмотрим уравнение (8.32). Выразим θ₁ и θ₂ через координаты точки М (х, у) в соответствии с рис. 8.23.

.

Подставив значения θ₁ и θ₂ в уравнение (8.32) и учитывая, что а₂-a₁=2a, будем иметь после несложных алгебраических преобразований:

(8.33)

где С^** - новая постоянная.

Из (8.33) видно, что центры окружностей имеют координаты . Так как абсцисса центров окружностей не зависит от С^**, то она одинакова для всех окружностей и, следовательно, все окружности расположены на прямой , То есть на прямой,параллельной оси 0у, делящей расстояние между стоком и источником пополам. Радиус окружностей .

Рис. 8.4. Фильтрационное поле источника и стока

Отсюда абсциссы точек пересечения

то есть линии тока проходят через сток и источник.

Таким образом, линии тока представляют собой окружности, проходящие через центры обеих скважин, и ортогональны окружностям - изобарам. Центры всех этих окружностей расположены на прямой (эквипотенциальной линии), делящей расстояние между скважинами пополам (рис. 8.6).

8.5. Характеристическая функция течения для кольцевой батареи скважин

Характеристическую функцию для п стоков представим в виде:

. (8.34)

Согласно формуле (8.28), можно записать

. (8.35)

Здесь а_j – комплексное число, определяющее положение стока за номером j.

В соответствии с формулой (8.14) комплексное число а_j можно представить в тригонометрической форме, заменив в (8.14) z на а_j, r на а (радиус батареи). Тогда формулу (8.35) можно переписать для кольцевой батареи из n скважин в следующем виде:

(8.36)

где .

Целая рациональная функция вида х^п - 1 может быть представлена в виде

. (8.37)

Выражение, сходное с правой частью формулы (8.37) имеется под знаком логарифма в (8.36). Таким образом, можно представить характеристическую функцию F (z) (8.36) в виде:

. (8.38)

Согласно формулам (8.9) и (8.38) находим модуль массовой скорости фильтрации :

, (8.39)

где z = re^i; r₁, r₂, ..., r_n – расстояния точки пласта от стоков O₁, О₂ , ...О_n– соответственно.

В центре кольцевой батареи r = 0. Из (8.39) следует, что скорость фильтрации u здесь равна нулю. Эти точки фильтрационного поля называются точками равновесия. При разработке залежей нефти в окрестностях таких точек образуются «застойные области» – «целики нефти».

Зная положения точек равновесия в пласте, можно находить рациональные приемы для своевременной ликвидации целиков нефти. Одним из таких приемов является изменение режима работы скважин, заставляющее нефть целика прийти в движение в нужном направлении.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Уравнения Коши-Римана.

2. Потенциальная функция и функция тока.

3. Характеристическая функция течения (комплексный потенциал).

4. Связь проекций массовой скорости с потенциалом и функцией тока.

5. Физический смысл функции тока.

6. Характеристическая функция прямолинейно-параллельного потока.

7. Характеристическая функция плоскорадиального потока.

8. Характеристическая функция эксценnрично расположенной скважины.

9. . Характеристическая функция группы скважин.

10. . Характеристическая функция источника и стока.

11. Характеристическая функция для кольцевой батареи скважин.