2. Дифференциальные уравнения фильтрации
Аналитическое и численное исследование задач гидрогазодинамики связано с применением основных законов сохранения (массы, импульса и энергии) в дифференциальной форме. Ранее уже говорилось, что для подземной гидромеханики характерно изотермическое изменение параметров. Таким образом, для таких процессов можно не рассматривать уравнение энергии и ограничиться уравнениями баланса массы (неразрывности) и количества движения (импульса).
Уравнение энергии необходимо рассматривать в локальных областях призабойной зоны, где из-за значительных перепадов давления значительно влияние дроссельного эффекта, а также при применении тепловых методов повышения нефтегазоотдачи.
Для замыкания системы уравнений необходимо введение замыкающих соотношений, определяющих зависимость силы трения, пористости и ряда другиз параметров от давления и скорости фаз.
Кроме того, для получения однозначного решения, необходимо задание граничных и начальных условий.
В большинстве случаев решение задач подземной гидродинамики требует использования численных методов и только в сильно идеализированных случаях одномерного и плоского течений удаётся получить аналитическое решение.
2.1. Скорость фильтрации
При исследовании фильтрационных течений удобно отвлечься от размеров пор и их формы, допустив, что флюид движется сплошной средой, заполняя весь объём пористой среды, включая пространство, занятое скелетом породы.
Предположим, что через поверхность F пористой среды протекает объёмный расход флюида
Q=w Fп, (2.1)
где w – действительная средняя скорость жидкости; Fп – площадь пор.
Площадь пор связана с полной поверхностью через просветность (соотношение 1.2), а для сред неупорядочной структуры справедливо допущение о равенстве просветности и пористости. Следовательно,
Q=w m F. (2.2)
Величина
u= w m (2.3)
называется скоростью фильтрации и определяет переток флюида, осреднённый по площади. Так как m<1, то скорость фильтрации всегда меньше средней.
Физический смысл скорости фильтрации заключается в том, что при этом рассматривается некоторый фиктивный поток, в котором:
расход через любое сечение равен реальному расходу,
поле давлений идентично реальному потоку,
сила гидравлического сопротивления равна силе сопротивления реального потока.
Предполагается, что скорость фильтрации непрерывно распределена по объёму и связана со средней действительной скоростью течения равенством (2.3).
2.2. Общая система уравнений подземной гидромеханики
Для нестационарного процесса при отсутствии источников и стоков имеем:
уравнение неразрывности
;
(2.4)
уравнение сохранения количества движения
. (2.5)
В уравнении (2.5):
в виду незначительности изменения количества движения во времени первым членом можно пренебречь;
разница в перетоках количества движения через границы контрольных объёмов также составляют величины второй малости по сравнению со скоростями и, следовательно, вторым членом тоже можно пренебречь;
силу сопротивления Fc по аналогии с трубной гидравликой или задачами обтекания можно представить в виде
.
Таким образом, уравнение (2.2) вырождается в следующее
,
то есть, получаем уравнение, линейно связывающее скорость фильтрации с градиентом давления.
Уравнение такого вида широко используется в подземной гидродинамике и носит название уравнения фильтрации в форме Дарси:
,
(2.6)
где р*=р+zg, z – вертикальная координата.
Движение
жидкости может быть установившимся
(стационарным) и неустановившимся
(нестационарным). При установившемся
движении параметры потока (плотность,
скорость фильтрации и так далее) в каждой
точке пористой среды постоянны и не
зависят от времени. Таким образом, для
установившейся фильтрации
и уравнение неразрывности принимает
вид
.
(2.7)
В вышеприведенных уравнениях:
;
;
(a) – декартовые координаты; (b) – сферические координаты; (c) – цилиндрические координаты; i, j, k – единичные векторы по осям декартовой системы координат; e , e , er, ez – по осям сферической системы; , , r и z – по осям цилиндрической системы; в сферических координатах – угол определяет изменение меридианного угла, а угол – широтного.
Для несжимаемой жидкости (=сonst) уравнение (2.3) запишется в виде
. (2.8)