38.Поверхностью уровня пространственного скалярного поля

назы­вается совокупность точек пространства, в которых функция этого поля имеет одинаковые значения. Поверхность уровня, во всех точках которой функция поля и(х, у, г) имеет одно и то­же значение С, определяется уравнением и (х, у, z) =C.

Через каждую точку проходит только одна поверхность (линия) уровня; они заполняют всю рассматриваемую область и не пересекаются между собой.

Производной функции и (М) по направлению MP называется предел отношения разности и(М₁) — и(М) к величине направ­ленного отрезка ММ₁, когда точка М₁ стремится к точке М, оставаясь на прямой MP.

Производная функции и по направлению l обозначается

и вычисляется по формуле где- нормальный вектор к поверхности уровня.- единичный вектор направленияl

Производная u_i определяет величину скорости изменения

функции и(M) при перемещении точки М по направлению i.

40.В каждой точке, где функция дифференцируема, она имеет, производную по любому направлению.

производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента. Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению.

Рассмотрим функцию от n аргументов в окрестности точки . Для любого единичного вектораопределим производную функцииf в точке x⁰ по направлению e следующим образом:

Значение этого выражения показывает, как быстро меняется значение функции при сдвиге аргумента в направлении вектора e.

Производные функции и(х, у, г) по положительным направ­лениям осей координат Ox, Оу, Oz равны ее частным производ­ным и_х, и_у и и_z.

Производные по прямо противоположным направлениям отли­чаются только по знаку. Производная функции и(х,у) по направлению линии уровня (касательному к линии уровня) и производная функции и (х,у,z) по направлению любой линии, лежащей на поверхности уровня (по любому направлению, касательному к поверхности уровня), равны нулю.

39.Градиент скалярного поля

u(M)называется вектор

Направление вектора grad и в каждой точке М совпадает с направлением нормали к поверхности (линии) уровня, прохо­дящей через эту точку.

Из всех производных функции и(М), взятых по различным направлениям, наибольшее значение всегда имеет производная по направлению градиента функции

Градиент есть вектор скорости наибыстрейшего возрастания функции.

40.Векторным полем называется плоская или пространственная область, с каждой точкой М которой связано определенное зна-чение некоторой векторной физической величины а = а(М).

Векторное поле определяется векторной функцией точки где - точка пространства,- ее радиус-вектор.

Векторная линия (силовая линия, линия тока) поля - решение системы Дивергенция (расходимость) векторного поля

Свойства дивергенции

Ротор (вихрь) векторного поля

Если векторное поле отнесено к прямоугольной системе ко­ординат Охуz, то вектор а будет векторной функцией, а его проекции а_х, а_у, а_z на оси координат будут скалярными функ­циями от переменных х, у ,z:

Поэтому задание поли векторной величины а равносильно зада­нию трех скалярных (числовых) функций а_x, а_y, a_z.

Векторной линией векторного поля называется кривая, на­правление которой в каждой точке М совпадает с направлением вектора, соответствующего этой точке поля.

42. Потоком векторного поля, образованного вектором а(а_х,а_y,а_z) через поверхность о называется поверхностный интеграл (скаляр)

Если вектор а определяет поле скоростей текущей жидкости то интеграл К выражает количество жидкости, протекающей через поверхность о за единицу времени. При этом если σ — замкнутая поверхность, ограничивающая область G, и если интеграл (1) берется по внешней стороне σ, то величина К на­зывается потоком вектора а изнутри поверхности σ; она дает разность между количествами жидкости, вытекшей из области G и втекшей в эту область за единицу времени (предполагается, что жидкость может свободно протекать через поверхность σ.

При K>0 из области С вытекает жидкости больше, чем в нее втекает, что указывает на наличие в этой области источников питающих поток жидкости. При К <0 из области G вытекает меньше жидкости, чем втекает, что означает наличие стоков. При К=0 вытекает столько же сколько и втекает.

Поток векторного поля F(M)через поверхность S в сторону, определяемую единичным вектором нормали где F_n - величина проекции вектора F на направление вектора n

Если поверхность S задана уравнением поток через верхнюю сторону поверхности можно вычислить по формуле

Если уравнение поверхности S есть то