Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МАТАН.doc
Скачиваний:
85
Добавлен:
22.05.2015
Размер:
1.05 Mб
Скачать

1.Неопределенный интеграл. Неопределенным интегралом от функции f(x) называется общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции f(x) или от дифференциального выражения f(x)dx. Неопределенный интеграл обозначается

∫- знак интеграла, f(x)dx - подынтегральное выражение,f(x) - подынтегральная функция.

следовательно d(∫f(x)dx)=f(x)dx. С другой стороны, F'(x)dx=∫dF(x)=F(x)+C.

Интеграл является функцией общего вида, дифференциал которой равен подынтегральному выражению. Таким образом, можно записать:

.

Свойства неопределенного интеграла:

  1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции (следует из определения).

  2. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывной дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого.

  3. Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:Af(x)dx = A(F(x)+C) = AF(x) + C1.

  4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же алгебраической сумме интегралов этих функций:

f(x)dx + g(x)dx = (F(x) + C1) + (G(x) + C2) = (F(x) + G(x)) + C.

  1. Неопределенный интеграл не зависит от выбора аргумента.

Доказательство: положим u = (x), где (х) – некоторая непрерывно дифференцируемая функция. Рассмотрим интеграл:

f(u)du = f(u)udx. (1)

В таком случае сложная функция F(u) = F((x)) является первообразной для подынтегральной функции интеграла (1). Действительно, в силу независимости дифференциала первого порядка от выбора переменной, получаем:

dF(u) = F(u)du = f(u)du.

И, следовательно,

1. ∫ Аf(x)dx = Af(x)dx (постоянный множитель можно выносить за знак интеграла).

2. ∫[f(x)-f(x)]dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций).

2.Интегрирование путем замены переменной(подстановкой). Пусть f(x) непрерывна на интервале (а,b) и x = (t) непрерывно дифференцируема на интервале (,), причем функция  отображает интервал (,) в интервал (a,b).

На основании свойства независимости неопределенного интеграла от выбора аргумента, и учитывая, что dx = (t)dt, получаем формулу замены переменной в неопределенном интеграле:

f(x)dx = f((t))(t)dt.

Будем полагать функции f(u) и φ'(x) непрерывными. Замена переменной производится по формуле:

Формула проверяется дифференциалом обеих частей равенства по x (правая часть дифференцируется как сложная функция).

3. Интегрирование по частям. Пусть u и v – непрерывно дифференцируемые функции от x. На основании формулы дифференциала произведения имеем:

d(uv) = udv + vdu;

udv = d(uv) – v(du).

Интегрируем последнее выражение. Получаем:

udv = d(uv) - vdu;

udv = uv - vdu.

4.Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен

1)2) Рассмотрим интеграл (1). Если A ≠0, то из числителя можно выделить слагаемое 2x + b равное производной трехчлена, стоящего в знаменателе. Тогда в результате преобразований получим:

Для вычисления последнего интеграла выделим полный квадрат, т.е.трехчлен в виде: и в зависимости от знака выражения получим один из табличных интегралов

5.Интегрирование рациональных функций.

Наиболее общим видом рациональной функции является дробно-рациональная функция, которая представляет собой отношение двух многочленов: где - многочлен степениm, а - многочлен степениn.

Рациональная дробь называется правильной, если и неправильной если

В частном случае дробно-рациональная функция вырождается в целую рациональную функцию, т.е. в многочлен, интегри­рование которого сводится к интегрированию степенных функций. Действительно, в этом случае

Наша задача заключается в изложении методов интегрирования рациональных дробей, отличных от многочленов. Отметим, прежде всего, что всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, что достигается простым выделением целой части, т.е.

(2.4) где - многочлен p - степени. При этом Таким образом, интегрирование неправильной дроби сводится к интегрированию правильной дроби.

6. Интегрирование тригонометрических функций.

Часто встречающиеся интегралы от выражений, содержащих тригонометрические функции следующих видов:

I. III где m и n – целые положительные числа.

можно свести к формулам интегрирования, а, следовательно, и найти, руководствуясь следующими правилами:

Правило 1.Интегралы от четной степени синуса или косинуса можно найти путем понижения степени (вдвое) по формулам:

Правило 2. Интегралы от нечетной степени косинуса или синуса можно найти путем отделения от нее одного множителя и замены кофункции новой переменной.

Правило 3. Интегралы вида (II) можно найти по правилу 1, если m и n оба четные, или по правилу 2, если m или n (или и m и n ) нечетно.

Правило 4. Интегралы вида (III) можно найти путем замены tg x, или соответственно ctg x новой переменной.

Правило 5. Интегралы вида (IV) можно найти путем разложения на слагаемые по формулам:

.

7.Интегрирование иррациональностей.

Ф-цию вида R(x,m(ax+b)/(cx+d) –называют дробно линейной иррациональностью. С помощью замены t=m(ax+b)/(cx+d) рационализируем интеграл. tm=(ax+b)/(cx+d); x=(b-dtm)/(ctm-a) –рациональная ф-ция от t; dx=(mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)  R(x,m(ax+b)/(cx+d))dx=R((b-dtm)/(ctm-a),t) (mtm-1(ad-bc)dt)/(ctm-a)=R1(t)dt. R1(t)-рациональная.{} Вида R(x,ax+bx+c)dx, -квадратичная иррациональность где а, b, c –постоянные числа. Если трёхчлен ax+bx+c имеет действительные корни х1 х2 то ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2) и R(x,ax+bx+c)=R(x,(x-x1)(x-x2)a/(x-x1)=R1(x,(x-x2)/(x-x1) ; поэтому пусть ax+bx+c не имеет действит корней и а>0. Тогда подстановка (Эйлера) t=(ax+bx+c) +xa ax+bx+c=t-2xta+ax; x=(t-c)/2t(a)+b –рациональная функ-ция от t Ч.Т.Д ; Если а<0 с>0 (ax+bx+c)>=0) то можно сделать замену ax+bx+c=xt+c {}{}

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]