8. Конечные и бесконечные десятичные дроби.

Определение.Конечной–ичной систематической дробью называется число (), где–целое систематическое число,-целые числа такие, что.

Для записи дроби , где- натуральные числа, в виде–ичной систематической дроби, достаточно научиться делать это для правильных обыкновенных дробей. В этом случаеи.

Теорема 14.1.Правильная несократимая дробьможет быть представлена в виде () тогда и только тогда, когда в разложение знаменателяна простые множители входят только те простые числа, которые входят и в разложение на простые множители основания.

Следствие.Несократимая дробьможет быть представлена в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда в разложение знаменателяна простые множители входят лишь числа 2 и 5, т.е., где- целые неотрицательные числа.

Пример 10.Представьте дробьв виде конечной двенадцатеричной систематической дроби.

Так как , а, то дробьпредставима в требуемом виде. ТогдаЗдесь- максимальный из показателей чисел 2 и 3 в каноническом представлении числа 24 (знаменателя дроби). Но. Значит,.

Аналогичный приём представления дроби в виде конечной систематической дроби по любому основаниюприменим во всех случаях, когда знаменатель дробиудовлетворяет условию теоремы 14.1.

Определение.Правильной бесконечной–ичной дробью называется ряд (), где–целые числа такие, чтодля всех

Замечание.Так как для любоговерно неравенство, а рядсходится как геометрическая прогрессия со знаменателем, то ряд () сходится, т.е. существует единственное действительное числоαтакое, что

Теорема 15.1.Если рациональное числонельзя представить в виде конечной-ичной дроби (), то числоединственным образом представляется в виде правильной бесконечной-ичной дроби ().

Определение.Бесконечная правильная систематическая дробь по основаниювиданазывается чисто периодической с периодом длины, если для всех натуральныхвыполняется равенство, причём- наименьшее натуральное число с таким свойством (т.е. если, то обязательно найдётся натуральное числотакое, что).

Определение.Бесконечная правильная систематическая дробь по основаниювиданазывается смешанной периодической с периодом длиныи предпериодом длины, если для всех натуральныхвыполняется равенство, причём- наименьшие натуральные числа с таким свойством.

Обозначение. Чисто периодическую дробь с периодом длиныбудем записывать в виде, а смешанную периодическую дробь -.

Теорема 16.1.Если знаменатель правильной несократимой дробивзаимно прост с основанием системы счисления, то дробьпредставима в виде чисто периодической-ичной дроби, периодкоторой является наименьшим натуральным числом таким, что⋮.

Следствие.Правильная несократимая дробьможет быть представлена в виде чисто периодической десятичной дроби тогда и только тогда, когда. При этом длина периода- это наименьшее натуральное число такое, что⋮.

Теорема 17.1.Если- каноническое представление числа, причёмделится на, но не делится ни на одно из, то правильная несократимая дробьможет быть представлена в виде=- смешанной периодической дроби, причём длина предпериодаравна наибольшему из показателей(, а длина периода-наименьшее натуральное число такое, что⋮, где.

Пример 11.В виде каких десятичных дробей представимы дроби 1)2)

3)

1) Так как , а 10=2∙5, то дробьпредставима в виде конечной десятичной дроби:

2) Так как (10,17)=1, то дробь представима в виде чисто периодической десятичной дроби. Прямым вычислением находим, чтоне делится на 17 при всех натуральных, а⋮17. Значит, длина периода

_{3) Так как} и 10⋮2; 5, но (10,17)=1, то дробьпредставима в виде смешанной периодической десятичной дроби с длиной периода(предыдущее задание) и длиной предпериода

9. Решение уравнения (∗) в целых числах.

Заметим, что из теоремы 11.1 легко следует, что для любых целых чисел верны следующие утверждения. 1) Если⋮, то⋮. 2) Если,и, то- полные квадраты, т.е. такие числа, для которых существуют целые числа:.

Далее, если и- целые решения уравнения (∗), то⋮. Поэтому достаточно рассмотреть только случай.

Более того, числа не могут быть оба нечётными. Действительно, если, где, то

Но тогда правая часть равенства, а значит, и левая, делится на 2, но не делится на 4. В этом случае суммане может быть полным квадратом.

Рассмотрим случай, когда - чётное целое число,- нечётное (второй случай аналогичен рассматриваемому). Тогда- нечётное число и, где оба множителя справа являются нечётными целыми числами. Пусть. Тогда, где- взаимно простые нечётные целые числа и, выражаяиз предыдущих равенств, получим:. Кроме того,, а значит,⋮,⋮, что по условиям выше влечёт равенство. Поэтому. Но тогда- полные квадраты,, где по предыдущему- нечётные взаимно простые целые числа. Таким образом, все определяющие (взаимно простые) целые решения уравненияимеют вид:, где– нечётные взаимно простые целые числа.