9. Нахождение рациональных корней многочленов с рациональными коэффициентами.

Нахождение рациональных корней многочлена с рациональными коэффициентами () сводится к задаче о нахождении рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами, так как, гдеи любой корень многочленаявляется корнем многочленаи наоборот.

Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами.

Теорема 20.2.Пустьмногочлен-й степени с целыми коэффициентами (). Тогда несократимая рациональная дробь(-целое,-натуральное и) может быть корнем многочленатолько в том случае, когда выполняются условия: 1)⋮, 2)⋮и 3)⋮для любого целого числа.

Замечание.Если для некоторой несократимой рациональной дробине выполняется хотя бы одно из трёх условий теоремы, то эта дробь не является корнем данного многочлена. Если же для этой дроби выполняются условия 1) и 2) и не находится целого числа, для которого условие 3) не выполняется, то нужно эту дробь непосредственно подставить в многочлен для проверки условия. Количество несократимых рациональных дробей с выполнением условий 1) и 2) теоремы конечно. Значит, проверив их на выполнение условия 3) частично и условия, можно за конечное число шагов найти все рациональные корни данного многочлена.

Алгоритм нахождения рациональных корней многочлена .

1. Редукция от к.

2. Находим многочленаи всеитакие, что 1)⋮, 2)⋮. Исключаем среди дробейсократимые.

3. Находим ии проверяем выполнение условий⋮⋮(.

4. Для некоторых целых чисел находим значенияи проверяем выполнение условия⋮(пункты 3 и 4 нужны для отсеивания лишних претендентов на роль рациональных корней многочлена).

5. Оставшиеся не отсеянными на роль корней дроби проверяем на выполнение условия . Полученные корни и являются искомыми.

Пример 21. Найти рациональные корни многочлена.

Данный многочлен имеет целые коэффициенты. Имеем . Так как необходимо⋮,⋮, то 6⋮и 6⋮. Значит,и. Поэтому.

В этом множестве есть сократимые, т.е. не взаимно простые дроби. При решении их нужно исключить. Решение оформляем в виде таблицы, в клеточках которой, соответствующих дроби , ставим 0, если дробь является корнем, ив противном случае. В нашей заготовке сразу исключим из рассмотрения сократимые дроби.

	-1	1	-2	2	-3	3	-6	6
1
2			-	-			-	-
3					-	-	-	-
6			-	-	-	-	-	-

Теперь только дроби, соответствующие незаполненным клеточкам в таблице и только они, могут быть рациональными корнями многочлена .

Вычисляем по схеме Горнера.

	6	5	-6	-6	-5	6
1	6	11	5	-1	-6	0
-1	6	-1	-5	-1	-4	10

Значит, . 1 – корень, -1 не является корнем. Поэтому можно проверять лишь выполнение условия⋮или 10⋮.

Заметим, что дробь не является корнем, так как для неёи 10 не делится на 7. Аналогично исключаем дроби:.

Далее находим :

	6	5	-6	-6	-5	6
2	6	17	28	50	95	196

Итак, и, используя свойство⋮, исключаем дополнительно дроби:.

Оставшиеся дроби проверяем по схеме Горнера.

	6	5	-6	-6	-5	6
-2	6	-7	8	-22	-39	≠0
-3	6	-13	33	-105	310	≠0
	6	-4	0	-6	4	0
	6	14	15			≠0
	6	3	-7			≠0
	6	9	0	-6	-9	0

Итак, рациональными корнями данного многочлена являются числа 1;.