Вариант 4

1. Решите уравнения в целых числах:

а)

б)

2. Найдите НОД(a,b) и линейно выразите его черезaиbс целыми коэффициентами, еслиa=3615,b=11905.

3. Докажите, что для любых целых чисел , еслиделится на 23, то иделится на 23.

4. Решите систему в натуральных числах:

5. Сложите дроби, приведя их к наименьшему общему знаменателю:

6. Сформулируйте и докажите признак делимости на mв десятичной системе счисления. Будет ли числоаделиться наm, еслиm=54,а=3101238?

7. Докажите, что следующие числа не могут быть простыми одновременно:.

8. Найдите все возможные цифры xиyтакие, чтоделится на 33.

9. Докажите иррациональность действительного числа , если.

10. Найдите все натуральные числа такие, что:

а) - различные простые числа;

б) делится на 21 и.

11. Переведите из одной системы счисления в другую: в восьмеричную.

12. Найдите остаток от деления наи выполните действия в указанной системе счисления.

13. Представьте следующие бесконечные десятичные дроби в виде обыкновенных несократимых дробей: а) 0,(521); б) 0,208(7).

14. Найдите каноническую форму записи натуральных чисел aиb, еслиa=4703,b=68413.

15. Укажите общую формулу целых чисел n, для которых сократима дробь.

16. Найдите длину предпериода десятичной дроби, в которую обращается обыкновенная дробь .

17. Решите уравнения в целых числах а) ; б)

18. Найдётся ли на прямой 6х-28у=13 хотя бы одна точка с целочисленными координатами?

19. Решите в целых числах уравнение x+y=xy.

20. Целое число nпри делении на 2 даёт остаток 1, при делении на 3 – остаток 2. Какой остаток даётnпри делении на 6?

21. Докажите, что произведение трёх последовательных целых чисел делится на 6.

22. Известно, что целое число 2n+1 - точный квадрат. Докажите, чтоnделится на 4 (n– целое число).

23. Найдите трёхзначное число, которое равно квадрату некоторого двузначного числа и кубу некоторого однозначного.

24. Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 – кубом некоторых натуральных чисел.

25. Найдите все простые числа p иqтакие, чтоp²-2q²=1.

26. Произведение числа 21 на некоторое натуральное четырёхзначное число – точный куб. Найдите это четырёхзначное число.

27. Докажите, что число, записанное тридцатью единицами и каким угодно количеством нулей, не является точным квадратом.

28. При каком условии делится на?

29.Разделите напри а)и б).

30. Вычислите , еслии.

31. Многочлен разложите по степеням.

32. Разложите на множители с целыми коэффициентами многочлен .

33. Найдите все значения , при которых уравнениеимеет положительные корни.

34. Решите уравнение методом Кардано.

35. Освободитесь от алгебраической иррациональности в знаменателе .

36. Найдите сумму кубов корней уравнения .

37. Найдите все рациональные решения уравнения

38. Решите систему

39. Разложите на множители с целыми коэффициентами .

40. Найдите по алгоритму все рациональные корни многочлена , если

Вариант 5

1. Решите уравнения в целых числах:

а)

б)

2. Найдите НОД(a,b) и линейно выразите его черезaиbс целыми коэффициентами, еслиa=1517,b=1443.

3. Докажите, что для любых целых чисел , еслиделится на 19, то иделится на 19.

4. Решите систему в натуральных числах:

5. Сложите дроби, приведя их к наименьшему общему знаменателю:

6. Сформулируйте и докажите признак делимости на mв десятичной системе счисления. Будет ли числоаделиться наm, еслиm=33,а=1762323?

7. Докажите, что следующие числа не могут быть простыми одновременно: .

8. Найдите все возможные цифры xиyтакие, чтоделится на 18.

9. Докажите иррациональность действительного числа , если.

10. Найдите все натуральные числа такие, что:

а) - различные простые числа;

б) делится на 6 и.

11. Переведите из одной системы счисления в другую: в шестеричную.

12. Найдите остаток от деления наи выполните действия в указанной системе счисления.

13. Представьте следующие бесконечные десятичные дроби в виде обыкновенных несократимых дробей: а) 0,(32); б) 0,53(17).

14. Найдите каноническую форму записи натуральных чисел a иb, еслиa=3881,b=107113.

15. Укажите общую формулу целых чисел n, для которых сократима дробь.

16. Найдите длину предпериода десятичной дроби, в которую обращается обыкновенная дробь .

17. Решите уравнения в целых числах а) ; б).

18. Найдётся ли на прямой 8х+2у=13 хотя бы одна точка с целочисленными координатами?

19. Решите в целых числах уравнение x+y=xy.

20. Целое число nпри делении на 2 даёт остаток 1, при делении на 3 – остаток 2. Какой остаток даётnпри делении на 6?

21. Докажите, что произведение трёх последовательных целых чисел делится на 6.

22. Известно, что целое число 2n+1 - точный квадрат. Докажите, чтоnделится на 4 (n– целое число).

23. Найдите трёхзначное число, которое равно квадрату некоторого двузначного числа и кубу некоторого однозначного.

24. Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 – кубом некоторых натуральных чисел.

25. Найдите все простые числа pиq такие, чтоp²-2q²=1.

26. Произведение числа 21 на некоторое натуральное четырёхзначное число – точный куб. Найдите это четырёхзначное число.

27. Докажите, что число, записанное тридцатью единицами и каким угодно количеством нулей, не является точным квадратом.

28. При каком условии делится на?

29.Разделите напри а)и б).

30. Вычислите , еслии.

31. Многочлен разложите по степеням.

32. Разложите на множители с целыми коэффициентами многочлен .

_{33. Известно, что уравнение} имеет два отрицательных корня. Докажите, чтои

34. Решите уравнение методом Кардано.

35. Освободитесь от алгебраической иррациональности в знаменателе .

36. Найдите сумму кубов корней уравнения .

37. Найдите все рациональные решения уравнения .

38. Решите систему

39. Разложите на множители с целыми коэффициентами .

40. Найдите по алгоритму все рациональные корни многочлена , если