Целью освоения дисциплины«Учебная практика по алгебре» является формирование математических знаний и умений, математической культуры студентов для развития на этой базе их профессиональных компетенций в сфере реализации программ обучения математике учащихся основной и старшей общеобразовательной школы и адаптации полученных знаний, умений и навыков к школьному курсу математики.

Изучение дисциплины способствует подготовке студента к решению профессиональной задачи: реализация учебных программ базовых и элективных курсов в различных образовательных учреждениях.

К основным задачам освоения дисциплины «Учебная практика по алгебре» относятся:

• углубление знаний о предмете школьного курса математики с позиций высшей школы;

• формирование умений решать задачи курса математики средней школы с использованием алгоритмов, изученных в высшей школе;

• формирование первичных методических установок по обучению школьников решению математических задач.

Для изучения дисциплины необходимы знания, умения и навыки, сформированные у студентов, как в средней общеобразовательной школе, так и при изучении ими таких курсов как: «Вводный курс математики», «Математика: Алгебра».

Освоение данной дисциплины как предшествующей необходимо для освоения дисциплин: «Методика обучения и воспитания по математике», «Теория чисел и числовые системы».

Формы контроля. Оценка результатов обучения осуществляется в ходе текущего и промежуточного контроля. Текущий контроль осуществляется в виде контрольных и проверочных работ. Промежуточныйконтроль осуществляется в форме индивидуальной работы и зачёта.Контрольные и проверочные мероприятия могут быть организованы в тестовой форме, в форме блиц-опросов, в форме защиты индивидуального задания, выполненного студентом самостоятельно.

Содержание дисциплины

1. Особенности школьного курса математики по многочленам и целым числам. Сходство и различие в определениях делимости, деления с остатком, в алгоритмах нахождения остатка, НОД и НОК, понятия корня уравнения.

2. Системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления. Запись натурального числа в позиционных системах счисления, теорема о существовании и единственности. Перевод из одной системы счисления в другую. Составление таблиц Пифагора. Алгоритмы действий с систематическими числами. Применение систем счисления и решение задач, связанных с системами счисления.

3. Систематические дроби. Запись обыкновенных дробей в различных системах счисления, конечные и бесконечные - ичные дроби. Нахождение НОЗ в десятичной системе счисления.

4. Признаки делимости. Понятие признака делимости. Основной признак делимости Паскаля. Вывод основных признаков делимости в десятичной системе счисления. Применение к решению школьных задач.

5. Решение уравнений в целых числах. Основные приёмы решения задач школьного курса математики в целых числах. Задачи с целочисленными переменными. Теорема Виета и обратная к ней.

6. Нахождение остатков от деления школьными методами.

7. Симметрические многочлены. Алгоритм выражения симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены. Применение теории симметрических многочленов к решению задач школьного курса математики. Некоторые приёмы перевода решения задач методами высшей математики на язык школьной математики.

8. Схема Горнера. Применение схемы Горнера к решению задач.

9. Разложение многочленов на множители. Основные примы разложения многочленов с целыми коэффициентами на множители с целыми коэффициентами.

10. Освобождение от иррациональности в знаменателе. Понятие алгебраической иррациональности. Метод освобождения от иррациональности в знаменателе

Тема 1. Краткие сведения из теории чисел

1. Делимость. Деление с остатком.

Определение. Целое числоaделится на целое числоb, если существует целое числоcтакое, чтоa=b_∙c.

Обозначение.a⋮b–aделится наb.

Теорема 1.1.(Об основных свойствах делимости целых чисел). Для любых целых чиселa, b иc справедливы следующие свойства:

1)a⋮a.2) Еслиa⋮bиb⋮c, тоa⋮c. 3) Еслиa⋮b, то(±a)⋮(±b). 4) Еслиa⋮c и b⋮c, то (a±b)⋮c. 5) Еслиa⋮b, то и (a∙c)⋮b. 6) Еслиa⋮bиcне делится наb, тоa±cне делится на b.7)0⋮b.8)a⋮1.9) Еслиa≠0, то не существует такого числаb, что0∙b=a. 10) Еслиa≠0иa⋮b, то |a|≥|b|. 11) Еслиa⋮b, то для любого натурального числаn:aⁿ⋮bⁿ.

Следствия. 1) Еслиa- целое число такое, что1⋮a, тоa=±1. 2) Еслиa,b- целые числа такие, чтоa⋮bиb⋮a, тоa=±b.

Определение. Разделить целое числоaна целое числоbс остатком – значит, найти целые числаqиrтакие, что1) a=b∙q+r, 2) 0≤r<|b|.

Замечания. 1) При делении целого числаaна целое числоb≠0с остатком числоrназываютостатком, а числоq- неполным частным. Если при этомr=0, тоqназываютполнымчастным. 2) В школьном курсе математики понятие деления с остатком обычно рассматривается только для натуральных чисел.

Пример 1.

1. a=125,b=7, 125=7∙17+6, q=17, r=6;

2. a=125, b=-7, 125=(-7)∙(-17)+6, q=-17, r=6;

3. a=-125, b=7,-125=7∙(-18)+1, q=-18, r=1;

4. a=-125, b=-7,-125=(-7)∙18+1, q=18, r=1;

5. a=7, b=125, 7=125∙0+7, q=0, r=7;

6. a=-7, b=125, -7=125∙(-1)+118, q=-1, r=118;

7. a=-7, b=-125, -7=(-125)∙1+118, q=1, r=118;

8. a=0, b=7,0=7∙0+0, q=0, r=0.

Теорема 2.1.Любое целое числоaможно разделить с остатком на любое целое числоb≠0, причём единственным образом.