10. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе.

Определение.Элементназываетсяалгебраическим над полем ,еслиявляется корнем какого-нибудь ненулевого многочлена с коэффициентами из поля. Если при этом, то-алгебраический иррациональный над полем .

Пример 22.1) Любой элементиз поляявляется алгебраическим над, т.к. является корнем ненулевого многочлена. 2) Элементявляется алгебраическим над полем, т.к.является корнем ненулевого многочлена. 3) Найдём ненулевой многочлен, корнем которого является элемент.

Найдём равенство, в котором линейная комбинация целых неотрицательных степеней равна 0.

Имеем . Таким образом,является корнем ненулевого многочлена. Тем самым, дополнительно доказано, что элементявляется алгебраическим над полем.

Пусть - алгебраический иррациональный элемент над полем;и. Требуется элементпредставить в виде линейной комбинации неотрицательных степенейс коэффициентами из поля, т.е. исключить элементиз знаменателя дроби. Достаточно научиться решать данную задачу для выражения.

Ищем многочлен такой, что. и. Достаточно найти произвольный многочлентакой, что. Тогда можно взять многочлен.

Поскольку , то существуют многочлены:. Но. Тогда из равенстваполучаем, что и требуется.

Пример 23.Освободиться от алгебраической над полемиррациональности в выражении.

В данной задаче можно взять . Или. Но мы возьмём. Тогдаи. Ищем многочлен из, корнем которого является:. Возьмём многочлен. Так как, то. Найдём нужные многочлены. Для этого делимна(можно по схеме Горнера):

	1	0	-4	-32	-28
1	1	1	-3	-35	-63

Значит, . Тогдаили. Поэтому

Продолжая вычисления дальше, получим:

.

11. Симметрические многочлены и их применение.

Определение.Степеньюодночленаотпеременныхназывается число.Степеньюмногочлена отпеременных называется максимальная из степеней его одночленов после приведения подобных.

Однородныммногочленом степениотпеременных называется многочлен, у которого все одночлены имеют одинаковую степень.

Понятие степени для многочленов от нескольких переменных играет вспомогательную роль. Основная роль отводится понятию лексикографического порядка.

Определение. Пусть- ненулевые одночлены отпеременных:

.

Положим старшепо лексикографическому порядку, если существуеттакое, что.

Определение.Старшим членоммногочлена отпеременных называется старший по лексикографическому порядку (после приведения подобных).

Замечание.Старший член произведения двух ненулевых многочленов отпеременных равен произведению их старших членов.

Симметрические многочлены.

Определение.Многочлен отпеременныхназываетсясимметрическим многочленом,если он не меняется при любой перестановке его переменных.

Замечание. Многочлен отпеременныхявляется симметрическим, если он не меняется при перестановке его двух любых переменных. Многочленявляется симметрическим от переменных, но не является симметрическим от.

Определение.Элементарными симметрическимимногочленами отпеременныхназываются многочлены

Легко видеть, что элементарные симметрические многочлены представляют из себя выражения в левых частях формул Виета.

Теорема 21.2.(О старшем члене симметрического многочлена).

1) Если - старший член симметрического многочлена, то выполняется условие.

2) Для любого одночлена с условием (*) существует симметрический многочлен видасо старшим членом, равным. Причём.

Теорема 22.2.(Основная теорема о симметрических многочленах). Каждый симметрический многочленотпеременных может быть представлен как многочлен от элементарных симметрических многочленов, причём единственным образом с точностью до перестановки слагаемых.

Алгоритм выражения симметрических многочленов через элементарные.

1) Пустьоднородный симметрический многочлен.

1. Приводим все подобные и находим старший член по лексикографическому порядку:.

2. Выписываем набор показателей степеней при переменных одночленаи все возможные наборы неотрицательных целых чиселтакие, что.

3. Для каждого выписанного набора показателей строим одночлен отвида.

4. Берём сумму полученных одночленов, взятых ровно по одному разу, причём слагаемое, соответствующее набору для , берём с коэффициентом, а все остальные с неопределёнными коэффициентами. Приравниваем полученную сумму к многочлену:

5. Находим неопределённые коэффициенты . Для этого задаём конкретные значения переменным, находим для них значения элементарных симметрических многочленови, подставляем в равенство (*). Получим соотношение для неопределённых коэффициентов. Если требуется, задаём ещё значения переменных и т.д.

6. В равенство (*) подставляем найденные значения неопределённых коэффициентов и получаем выражение через элементарные симметрические многочлены.

2)Неоднородный симметрический многочлен разбиваем предварительно в сумму однородных симметрических:, каждый из которых представляем в виде многочлена от элементарных симметрических по предыдущему алгоритму:. Сумма всех представлений и есть представление данного симметрического неоднородного многочлена в виде многочлена от элементарных симметрических:.

Пример 24.Выразить симметрический многочленчерез элементарные симметрические многочлены.

Находим старший по лексикографическому порядку: , т.к. у него набор показателей (4;0;0), а у остальных (0;4;0) и (0;0;4).

Выписываем набор показателей для старшего по лексикографическому порядку (4;0;0) и строим все возможные наборы с требуемыми в (*) условиями: (3;1;0), (2;2;0), (2;1;1). Других наборов нет.

Для каждого полученного набора строим соответствующий одночлен от с положенными коэффициентами, берём их сумму и приравниваем к:.

Находим неопределённые коэффициенты .

Эту задачу решаем, заполняя таблицу

При этом подбираем самые рациональные наборы значений . Например, если возьмём такой набор значений, что, то из полученного одного уравнения сразу найдём коэффициент.Такой набор дан в первой строке таблицы:

1	1	-2	0	-3	-2	18
1	1	0	2	1	0	2
1	1	1	3	3	1	3

По набору значений в первой строке получаем:.. Значит,и.

Возьмём такой набор значений , чтобы(вторая строка таблицы). Получим уравнение. Тогда. Теперь берём такой набор значений, чтобы(третья строка таблицы). Тогда получим уравнение. Поэтому. Значит,.

Пример 25.Решите уравнение.

Решаем, используя теорию симметрических многочленов. Обозначим . Тогда, складывая эти два равенства, а затем складывая их четвёртые степени (исключаяиз равенства), получаем систему соотношений:

Выразим симметрический многочлен через элементарные симметрические многочлены от двух переменных. Заметим, что в данном случае это можно сделать без использования основного алгоритма. Действительно,. Поэтому, полученная выше система перепишется в виде

Решаем полученную систему относительно . Подставляя значениево второе уравнение системы, получимили. ТогдаилиТаким образом, учитывая определение, получимили

По теореме, обратной теореме Виета, - корни квадратного уравненияв первом случае иво втором.

В первом случае получаем единственное решение , а во втором, действительных решений нет.

Итак, или.

Пример 26.Решите уравнение.

Как и в предыдущем примере обозначим . Тогда получаем системуТак как, а, то система преобразуется к виду:

Подставляя во второе уравнение выражение , получим квадратное уравнение. Решая его и вычисляя значения, сводим решение уравнения к решению системили

Подставим вместо их выражения:

или

Как и в предыдущем примере по теореме, обратной теореме Виета, корни соответствующих квадратных уравненийВ первом случаеи действительных корней нет. Во втором случаеВ силу симметричности вхождения переменныхполучаем, чтоили

Из обозначений следует, что или

Пример 27. Решите уравнение в рациональных числах.

Обозначим . Тогда уравнение равносильно системе

Возведём первые два слагаемые в квадрат и сложим, а в левой части второго выполним действия и получим систему относительно :

Левая часть второго уравнения не является симметрическим многочленом относительно , но является симметрическим выражением.

Заметим, что и. Тогда система преобразуется к виду

Имеем . Подставляем в первое уравнение:.

Решаем это квадратное уравнение: или.

Поэтому илиТогда по теореме, обратной теореме Виета,корни квадратных уравненийилиВ результате получим

Отбирая только рациональные решения и учитывая симметричность вхождения переменных , получим:илиТак как, то

Пример 27.Решите систему уравнений

Обозначив , получим симметрическую систему

Учитывая, что , выражаем левые части обоих уравнений через элементарные симметрические:Откуда,илиПо теореме, обратной теореме Виета,- корни квадратного уравненияПолучаем, что

В силу симметричности вхождения переменных ,или

А так как то окончательно получаем

Таким образом, система имеет ровно два решения или

Пример 28. Решите систему уравнений

Так как левые части уравнений являются симметрическими многочленами, то применяем теорию симметрических многочленов. Выразим левые части уравнений через элементарные симметрические многочлены от двух переменных

Именно, ,.

Тогда изначальная система при введённых обозначениях равносильна системе:

Подставляя значение во второе уравнение, получим уравнение, одним из корней которого является -1. Тогда уравнение представляется в виде. Многочленне имеет действительных корней. Поэтому система (*) имеет единственное действительное решение

Тогда и по теореме, обратной теореме Виета,- корни квадратного уравненияПолучаемВ силу симметричности вхождения неизвестных, исходное уравнение имеет два решения:или

Пример 29.Разложить на множители многочлен.

Очень часто симметрические выражения легче разложить на множители, если представить их в виде выражений от элементарных симметрических многочленов.

Представим в виде многочлена от элементарных симметрических многочленовпо известному алгоритму.

Находим старший по лексикографическому порядку: . Комбинация его показателей. Теперь выписываем все возможные комбинации показателей, удовлетворяющих соответствующим условиям:. Таким образом,.

Ищем неопределённые коэффициенты :

1	-1	0	-1	-4
1	1	2	1	12

Итак, при получаем, что. Тогда

Если то получаем, что,,. Значит,.

Итак,

Теперь, зная полученное разложение, можно придумать школьные способы для его получения.