Тема 7. Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Комбинаторика. Комбинаторные задачи и правила их решения. Понятие факториала. Перестановки, размещения и сочетания без повторений. Свойства сочетаний. Арифметический треугольник Паскаля, связь с биномиальными коэффициентами. Классификация событий. Основные определения и классификация событий. Понятие вероятности случайного события. Классическое определение и свойства вероятности. Вероятность достоверного и невозможного событий. Теорема умножения вероятностей независимых событий. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Теорема сложения вероятностей совместных событий. Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Формула полной вероятности. Формула Бейеса. Формула полной вероятности. Схема испытаний Бернулли.

Основные термины: Факториал, перестановки, размещение, сочетания без повторений, биномиальные коэффициенты, треугольник Паскаля. Достоверные, невозможные и случайные события; элементарный исход; события несовместные, равновозможные, единственновозможные, зависимые, независимые. Вероятность случайного события, вероятность достоверного события, вероятность невозможного события. Противоположные события, произведение событий, сумма событий.

Контрольные вопросы по теме 7:

1. Что изучает комбинаторика?

2. Сформулируйте правила суммы и произведения.

3. Запишите формулы для числа различных размещений , перестановок, число сочетанийизnэлементов поk.

4. Что понимается под элементарным событием?

5. Дайте определения достоверных, невозможных и случайных событий; элементарного исхода; событий несовместных, равновозможных, единствен-новозможных, зависимых, независимых.

6. Введите понятие вероятности события.

7. Сформулируйте определение классической вероятности.

8. Какими простейшими свойствами обладает вероятность?

9. Если Y является m-подмножеством в n-множестве X и из X выбирают k-подмножеств А, то чему равна вероятность того, что среди выбранных элементов содержится ровно r элементов из Y?

5. Планы практических занятий

Практическое занятие 1 по теме: «Системы линейных уравнений. Теория определителей. Алгебра матриц»

План:

1. Рассмотрение понятий линейного уравнения, системы линейных уравнений, решения системы линейных уравнений.

2. Рассмотрение понятий совместной и несовместной системы, определённой и неопределенной системы.

3. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

4. Определители второго и третьего порядка.

5. Свойства определителей.

6. Методы вычисления определителей произвольного порядка.

7. Сумма, разность, произведение матриц.

8. Умножение матриц и умножение матрицы на число.

9. Нахождение обратной матрицы.

11. Решение систем с помощью обратной матрицы.

12. Решение задач.

Контрольные вопросы и задачи

1. Решите системы уравнений:

а) б)

в) г)

2. Вычислите определители:

а) ; б); в).

3. Вычислите матрицу , где

; ;.

4. Вычислите матрицу , гдеE – единичная матрица;

; ;.

5. Определите, имеет ли матрица A обратную, и если имеет, то вычислить её:

.

6. Решить матричные уравнения:

а) ; б).