7.4 Метод простой итерации

Казалось бы, это один из самых простых методов решения нелинейных уравнений. В данном методе решаемое уравнение F(Х)= 0 необходимо представит в виде

Х = f(Х) (7.16)

Данное уравнение легко получить, если исходную функцию представить в виде

F(Х) = f(Х) + Х (7.17)

Если задаться некоторым начальным приближением, то при определенных условиях итерационный процесс вычисления по уравнению (7.14) сходится к истинному решению (рисунок 7.6).

а) итерационный процесс сходится б) итерационный процесс расходится

Y=f(X)

X

Y

0

Y=X

Х₁

Х₀

Х_ист

Х_ист

f '(Х) >1

Y=X

X

Y

Y=f(X)

0

Y=X

Х₀

Х₁

Х₂

Х_ист

f '(Х) <1

Рисунок 7.6 – Метод простых итераций

Условием сходимости процесса итерации в некоторой точке является выражение

f '(Х) < 1 (7.18)

К сожалению, не существует четких рекомендаций, как преобразовывать решаемое уравнение к виду (7.16), чтобы производная была меньше 1, и поэтому не всякое уравнение может быть решено таким способом.

Лекция 8

Использование метода Ньютона для расчета

режимов трубопроводных систем

8.1 Вывод расчетного уравнения для решения методом узловых давлений

8.2 Метод контурных расходов

Решение задач потокораспределения в трубопроводных системах основывается на одних и тех же уравнениях, независимо от конкретной модификации метода решения. В принципе, все методы делятся на две большие группы: методы узловых давлений и методы контурных расходов.

Методы узловых давлений (УД) сводятся к поиску напоров или давлений в узлах системы, при которых соблюдается баланс расходов в узлах, то есть для каждого узла решается уравнение

ΣQ_i,j(H_j) = 0, (8.1)

где j – номер расчетного узла системы;

i – номер расчетного участка системы, присоединенного к

расчетному узлу;

Н_j – напор в расчетном узле системы.

Метод УД проще по программной реализации и по подготовке исходных данных, так как понятно, что к каждому узлу подсоединены конкретные участки, и остается составить набор таблиц, описывающих их характеристики и схему соединения. При этом самым естественным способом нумерации участков является обозначение его двумя цифрами – номерами узлов, к которым он присоединен. Дальнейшая обработка информации и формирование системы расчетных уравнений должна производиться программой.

Метод контурных расходов (КР) сводится к поиску таких расходов на участках, составляющих замкнутый контур, при котором наблюдается нулевой баланс напоров или давлений в контуре, то есть для каждого контура решается уравнение

ΣН_i,j(Q_i,j) = 0, (8.2)

где j – номер расчетного контура;

i – номер расчетного участка, входящего в контур;

Н_i,j – напор на расчетном участке контура.

Метод КР сложнее по программной реализации, и по подготовке исходных данных, так как необходимо выделить расчетные контуры, при этом в них должны войти все участки, и не должно быть лишних контуров. Формализация и компьютерная реализация этого процесса является достаточно сложной задачей и решается с применением специальных разделов математики (теория графов, матричная алгебра).

1. Вывод расчетного уравнения для решения методом узловых

давлений

Снова рассмотрим систему из трех участков, для которой производилось определение расходов методом приближения (рисунок 8.1).

H=0

3

Н_J

1

2

h₁= 13 м

h₂=5 м

J

Уровень условного нуля

h_Х=7 м

H=0

h₃=10 м

Рисунок 8.1 – Расчетная схема системы из трех участков

В данной схеме имеется один узел – точка Х. Рассмотрим, как можно определить напор в данном узле, используя метод Ньютона.

Для простоты последующей записи перепад полных напоров, действующих на каждом i-том участке, входящем в узел под номером j, обозначим через Z_i,j

Z_i,j = (Н_i,j + h_i,j) – (Н_j + h_j) (8.3)

При квадратичном режиме течения для каждого участка выполняется равенство

А _i.j Q²_i.j = Z_i,j (8.4)

Из (8.4) расход на каждом участке может быть вычислен по формуле

Q_i.j = (Z_i,j)^1/2 / (А _i.j) ^1/2 (8.5)

Итоговый расход в узле равен сумме расходов на всех участках с учетом знака – приток в узел со знаком «плюс», отток из узла со знаком «минус».

Q_j = ΣQ_i.j (8.6)

Если баланс в узле не равен нулю, то требуется изменить напор в узле j, введя поправку ΔН_j, чтобы изменение расхода в узле ΔQ_j привело бы баланс в ноль

Q_j + ΔQ_i.j = 0 (8.7)

Из (8.7) с учетом (8.6) получаем простое и важное соотношение

ΔQ_j = – Q_j = – ΣQ_i.j (8.8)

Запишем уравнение (8.2) с учетом изменения напора в узле j

А _i.j (Q_i.j + ΔQ_i.j)² = Z_i,j – ΔН_j (8.9)

Знак «минус» перед приращением напора в узле поставлен потому, что если требуется увеличить расход на участке (приращение расхода ΔQ_i.j положительно), то для этого требуется уменьшить напор в узле, то есть ΔН_j должно быть отрицательно.

Возведем в квадрат выражение в скобках в левой части уравнения (8.9)

А _i.j (Q²_i.j + 2 Q_i.j ΔQ_i.j + ΔQ²_i.j ) = Z_i,j – ΔН_j (8.10)

Величину ΔQ²_i.j можно отбросить, так как она имеет более высокий порядок малости (нелинейное уравнение заменяется прямой линией – касательной), тогда после группировки членов получим.

А _i.j Q²_i.j + 2 А _i.j Q_i.j ΔQ_i.j = Z_i,j – ΔН_j (8.11)

С учетом (8.4), выражения А _i.j Q²_i.j и Z_i,j сокращаются. Тогда получим

2 А _i.j Q_i.j ΔQ_i.j = – ΔН_j (8.12)

Из (8.12) получим выражение для приращения расхода на участке

ΔQ_i.j = – ΔН_j / (2 А _i.j Q_i.j) (8.13)

Сумма приращений расходов на участках равна приращению расхода в узле

ΔQ_j = Σ ΔQ_i.j = – ΔН_j Σ 1/(2 А _i.j Q_i.j) (8.14)

С учетом (8.8) получим

Σ Q_i.j = ΔН_j Σ 1/(2 А _i.j Q_i.j) (8.15)

Из (8.15) окончательно получим выражение для расчета приращения напора в узле

ΔН_j = Σ Q_i.j / | Σ 1/(2 А _i.j Q_i.j) | (8.16)

Согласно (8.16), знак приращения напора соответствует знаку суммы расходов в узле. Действительно, если сумма расходов имеет положительный знак, то следует уменьшить приток жидкости в узел, а для этого требуется повысить напор в узле. Таким образом, приращение напора в узле тоже должно иметь положительный знак.

Учитывая, что знак приращения напора определен знаком суммы расходов, выражение в знаменателе следует брать по абсолютному знаку.

При выполнении реальных расчетов следует помнить, что в процессе вычислений могут возникать ситуации, когда расход на одном из участков равен нулю. Тогда вычисление по формуле 1/(2 А _i.j Q_i.j) невозможно, так как расход стоит в знаменателе. Поэтому следует предварительно проверить значение расхода, и не производить расчет данного выражения для участков с нулевым расходом. Кроме того, рекомендуется для вычисления расхода на участке вместо формулы (8.5) использовать более корректную формулу (1.40), позволяющую получать расход с нужным знаком.

Общая последовательность решения задач методом УД заключается в следующем:

1) заполняют таблицу исходных данных по участкам системы, куда входят гидравлические характеристики участков и номера узлов, к которым они подсоединены (начало и конец участка). Таблица, заполняемая человеком, должна иметь структуру, понятную и удобную для набора исходных данных. Желательно иметь развитую систему редактирования и копирования клеток таблицы и целых ее строк.

2) заполняют таблицу исходных данных по узлам системы, куда входят номера узлов, геодезические отметки, напоры в узлах и другие характеристики

3) заполняют таблицу исходных данных по нагнетательным установкам (насосам или вентиляторам), установленным в системе, куда входят номера узлов, к которым подсоединены нагнетатели, их марки, имеющиеся в базе данных программы, или коэффициенты уравнений для их гидравлических характеристик

4) запускают программу, которая из имеющегося набора исходных данных формирует структуру, более удобную для автоматизированного компьютерного расчета. Крайне желательно, чтобы данная программа проверяла исходные данные на наличие грубых ошибок (повторения в нумерации участков или узлов, нулевые или отрицательные значения коэффициентов сопротивления или проводимости участков, правильность и полноту других данных)

5) запускают программу, которая осуществляет запись значений начальных приближений напоров в каждом узле системы. В самом простом варианте во все узлы с неизвестным напором можно записать одинаковое значение (некое среднее значение отметок баков).

6) запускают собственно расчетную часть программы, которая, используя метод узловых давлений, находит на каждом шаге уточненные значения напоров в узлах системы. Невязка балансов расхода в каждом узле должна стремиться к нулю с определенной погрешностью, задаваемой требуемой точностью расчета. Если при очередном шаге расчета узлов системы начальная невязка баланса в некотором узле меньше требуемой точности, то напор в данном узле не изменяют (не выполняют расчет для данного узла). Расчет прекращается, когда ни в одном узле не произошло изменение напора, то есть во всех узлах балансы расходов находятся в пределах требуемой точности.

В некоторых случаях, для ускорения расчета применяют динамическое изменение точности, когда на начальном этапе расчет ведется с низкой точностью, чтобы быстрее получить более правильное общее распределение напоров по системе, а по мере выполнения расчета точность возрастает (допустимая погрешность невязки баланса расходов уменьшается).

2. Вывод расчетного уравнения для решения методом

контурных расходов

Рассмотрим элемент трубопроводной системы, состоящий из четырех участков, образующих замкнутый контур (рисунок 8.2). Предполагаемые направления потоков на участках показаны на рисунке стрелками.

В данный контур входят четыре узла и четыре участка. Рассмотрим, как можно определить режим работы участков, используя метод Ньютона.

Если обойти последовательно все участки контура , начиная с узла А и заканчивая им же, то сумма изменений напоров на участках контура теоретически должна равняться нулю.

Н_А – Н₁ – Н₂ + Н₃ – Н₄ = Н_А (8.17)

+ Н₁ + Н₂ – Н₃ + Н₄ = 0 (8.17а)

Σ Н_i = 0, (8.17б)

где i – номер участка.

1

4

2

А

Б

В

ΔQ_j

3

Г

Рисунок 8.2 – Расчетная схема контура трубопроводной сети

При подсчете потерь напоров на участках знак «плюс» принимают для участков, направление расходов на которых совпадает с направлением обхода контура, и знак «минус», если направление расхода противоположное. Таким образом, суммирование следует производить с учетом знака.

На самом деле, когда задаются начальным приближением, расходы на участках определены с некоторой погрешностью, и суммирование потерь напоров дает значение, отличное от нуля.

При квадратичном режиме течения потери напора для каждого участка определяются по выражению

Н_i = А _i Q²_i (8.18)

Итоговая невязка напоров в контуре j равна сумме потерь напора на участках этого контура

ΔН_j = ΣА _i Q²_i (8.19)

Для того, чтобы баланс напоров стал равен нулю, требуется изменить расходы на участках. При этом необходимо, чтобы суммарный расход в узлах контура не изменился – тогда расход, проходящий через контур в другие участки системы, останется тоже неизменным. Для обеспечения этого условия к расходу каждого участка надо прибавить с нужным знаком одно и то же значение поправки к расходу. Фактически это означает, что в контур вносится некоторый дополнительный поправочный расход ΔQ_j в направлении обхода контура или противоположном, в зависимости от знака невязки напоров.

После внесения поправки к расходам потери напора на участке тоже изменятся. Тогда выражение (8.18) для отдельного участка запишется следующим образом

Н_i + ΔН_i = А _i (Q_i + ΔQ_j )² (8.20)

После возведения в квадрат получим

Н_i + ΔН_i = А _i (Q²_i + 2 Q_i ΔQ_j + ΔQ²_j ) (8.21)

Пренебрегая значением ΔQ²_j ввиду большего порядка малости и раскрывая скобки, получим выражение

Н_i + ΔН_i = А _i Q²_i + 2 А _i Q_i ΔQ_j (8.22)

С учетом (8.18) получим

ΔН_i = 2 А _i Q_i ΔQ_j (8.23)

После внесения поправки к расходам баланс напоров в контуре должен стать нулевым. Для этого сумма изменений потерь напоров на участках должна равняться невязке напоров в контуре

Σ ΔН_i = Σ Н_i = Σ А _i Q²_i (8.24)

С учетом (8.23) получим

Σ А _i Q²_i= 2 ΔQ_j Σ А _i Q_{i j} (8.25)

Окончательно получим выражение для поправочного контурного расхода

ΔQ_j = Σ А _i Q²_i / 2 ΣА _i | Q_i | (8.26)

Здесь излагается только общий вывод расчетной формулы для увязочного расхода. В реальных расчетах ситуация более сложная. Во-первых расходы в узлах сети не обязательно должны равняться нулю – это условие выполняется только для узла простого разветвления или слияния участков. Для большинства узлов в сетях водоснабжения, теплоснабжения и газоснабжения каждому приписывается некий узловой расход, равный расчетному расходу потребителей, присоединенных к этому узлу. В этом случае сумма расходов на участках узла должна равняться расчетному узловому расходу.

Во-вторых, набор уравнений по контурам должен быть дополнен набором уравнений баланса расходов по узлам, чтобы получить систему, в которой количество уравнений равно количеству неизвестных. Поэтому формирование набора данных в методе контурных расходов является более сложным, и реализуется в виде наборов таблиц (матриц). Желательно, чтобы окончательное формирование системы контуров выполнялось не вручную, а при помощи самой используемой компьютерной программы.

В целом считается, что метод контурных расходов обеспечивает несколько лучшую сходимость, чем метод узловых давлений.

Более подробно о реализации данных методов следует читать в литературе, посвященной этому вопросу.

Лекция 9

Устойчивость режима насосной системы. Помпаж

9.1 Понятие устойчивости режима системы. Критерии устойчивости

9.2 Процессы помпажа в насосных системах

9.3 Причины возникновения помпажа

9.4 Мероприятия по предотвращению возникновения помпажа

1. Понятие устойчивости режима системы. Критерии

устойчивости

Понятие устойчивости является общеинженерным и встречается при анализе режимов работы самых различных систем: устойчивость положения механической системы, устойчивость строительных конструкций, устойчивость режима электрической схемы, устойчивость системы автоматического регулирования и тд. В общем смысле термин «устойчивость» понимается как некоторая стабильность системы, способность ее возвращаться к некоторому состоянию, если по тем или иным причинам параметры ее режима незначительно отклоняются от среднего значения.

На рисунке 9.1 приведен пример двух вариантов простейшей системы – шарик расположен на некоторой поверхности.

а) б) в) г)

mg

R

R

R

R

mg

R_x

mg

mg

Рисунок 9.1 – К понятию устойчивости объекта

Состояние шарика, находящегося в выемке на поверхности (положение а), является состоянием устойчивого равновесия. Сила тяжести mg и сила реакции поверхности R равны по величине и направлены в противоположные стороны, поэтому взаимно уравновешиваются. Равнодействующая сил равна нулю. Если к шарику приложить некоторое боковое усилие, то мы выведем шарик из положения а, переведя в положение б. В этом положении за счет наличия уклона сила реакции, действующая всегда перпендикулярно поверхности, отклонится от вертикали. Появится равнодействующая R_х, направленная вбок, в сторону прежнего положения шарика. Если убрать ранее приложенное усилие, которым было вызвано смещение шарика, то эта равнодействующая вызовет смещение шарика вбок, и он вернется к прежнему своему положению а. Таким образом, незначительные усилия и отклонения в принципе не способны перевести систему в другое положение.

Если приложенное усилие и вызванное им отклонение будет значительным, то шарик может оказаться на вершине бугра поверхности (положение в), которое является состоянием неустойчивого равновесия. Сила тяжести mg и сила реакции поверхности R в нем тоже взаимно уравновешиваются, и равнодействующая сил равна нулю. Однако, при незначительном отклонении от положения в появляется горизонтальная составляющая, направленная в сторону от вершины бугра к впадине. Она стремится увести шарик еще дальше от состояния неустойчивого равновесия, и отклонение может только увеличиваться. Таким образом, шарик в принципе не может сам вернуться в состояние в.

Состояние шарика, находящегося на горизонтальной части поверхности (положение г), является состоянием безразличного равновесия. Сила тяжести mg и сила реакции поверхности здесь тоже взаимно уравновешиваются, однако при отклонении шарика от этого положения из-за отсутствия наклона поверхности не появляется горизонтальной составляющей, и поэтому шарик остается в новом положении сколь угодно долго.

Отметим попутно, что из состояния б в исходное состояние а шарик может вернуться только путем некоторого переходного процесса. Очевидно, что на гладкой поверхности это процесс будет колебательным – шарик многократно будет прокатываться через впадину на поверхности, а затем снова подниматься на противоположный склон. Как и у обычного маятника, в нижней точке скорость шарика и его кинетическая энергия будут максимальны, а в верхних точках траектории скорость и кинетическая энергия равны нулю, но максимальна потенциальная энергия шарика. В процессе своего движения шарик будет терять энергию за счет наличия трения о поверхность, при этом амплитуда колебаний будет постепенно уменьшаться (затухающие колебания), и в конце концов шарик остановится в самой нижней точке впадины – в положении а.

Однако, если весь процесс происходит в среде с большой вязкостью, то колебательного процесса может и не быть – шарик просто медленно скатится в выемку, так как вязкая среда не позволит шарику развить существенную скорость движения и запасти кинетическую энергию. Таким образом, вид переходного процесса определяется параметрами системы.

Если в переходном колебательном процессе обеспечить подпитку системы энергией, то можно получить незатухающие колебания. Примером устройств с незатухающими колебаниями являются маятники часов, генераторы электрических колебаний радиопередатчиков.

Огромное количество технических устройств используют перевод системы из одного устойчивого состояния в другое. Яркими примерами являются обыкновенный электрический выключатель, устройства хранения информации ЭВМ.

В трубопроводных системах, как и любых сложных системах, режим системы определяется большим количеством факторов. Учитывая, что большинство этих факторов являются постоянными, или меняются достаточно медленно, мы вправе ожидать, что режим трубопроводной системы в течение некоторого промежутка времени можно считать неменяющимся во времени, стационарным. При кратковременном изменении одного из параметров и последующего его возврата к прежнему значению рабочий режим системы также вернется к прежнему значению. Таким образом, обычно режим системы является устойчивым. Однако могут быть ситуации, когда режим, получаемый по расчету, не может существовать продолжительный период времени, так как является неустойчивым.

Рассмотрим два варианта графического решения для системы из нагнетателя и трубопровода (рисунок 9.2).

а) устойчивый режим б) неустойчивый режим

С

Н

С

НУ

Ф_н2

Ф_уст2

Ф_с2

Н_н1

Ф_с1

Ф_с2

Ф

Ф

Н

Q

Н_с1

Н_с1

Ф_н1

Ф_с1

Н_н1

Ф_н2

НУ

0

0

Q

Q_ф

Q₁

Q₂

Q_ф

Q₁

Q₂

Ф_н1

Рисунок 9.2 – Графическое отображение устойчивого и

неустойчивого режимов насосной системы

Согласно методу наложения характеристик, на рисунках а и б рабочий режим системы должен установиться в точке Ф – точке пересечения характеристик сети и нагнетательной установки. Однако, в системе всегда имеются случайные пульсации расхода и напора. Сам процесс работы лопаточного рабочего колеса насоса, имеющего конечное число лопаток, приводит к тому, что поток поступает в сеть не абсолютно равномерно, а напор на выходе насоса испытывает периодические колебания. Вихреобразование в местных сопротивлениях сети также приводит к колебаниям расхода и напора. Поэтому правильнее говорить не о расходе и напоре насоса (или системы в целом), а о некотором среднем значении расхода и напора. Мгновенные же значения рабочих параметров могут отклоняться от среднего в ту или другую сторону. Рассмотрим, как будут реагировать на эти отклонения насосные системы, характеристики нагнетательной установки и сети которых изображены на рисунках 9.2а и 9.2б.

Вначале проанализируем рисунок 9.2.а. В точке Ф , которая одновременно принадлежит и характеристике сети, и характеристике насосной установки, расходы и напоры насоса и сети одинаковы – имеют место материальный и энергетический балансы. Если в данной системе по каким-либо причинам расход уменьшится от значения Q_ф до Q₁ , то изменятся напоры, развиваемые насосной установкой Н_н1 и теряемые в сети Н_с1, причем Н_н1 > Н_с1 . Энергетический баланс системы нарушится. Избыточный напор насоса, который не может быть затрачен в сети при расходе Q₁ , будет затрачиваться на ускорение потока, в результате чего расход в системе возрастет, и режим вернется в исходную точку Ф. При отклонении расхода в другую сторону, до значения Q₂ , соотношение напоров станет другим: Н_н2 < Н_с2 . Избыточные затраты напора в сети по сравнению с напором насоса, приведут к торможению потока, в результате чего расход в системе уменьшится, и режим также вернется в исходную точку Ф. Таким образом, при таких характеристиках нагнетательной установки и сети режим системы является устойчивым, и при небольших отклонениях его от среднего значения он автоматически сам стремиться вернуться к среднему (точка Ф). Фактически, режим все время колеблется вокруг точки Ф.

В системе на рисунке 9.2б ситуация будет складываться совершенно противоположным образом. При уменьшении расхода от значения Q_ф до Q₁ , то напоры изменятся так, что Н_н1 < Н_с1 . Избыточные затраты напора в сети по сравнению с напором насоса приведут к торможению потока, в результате чего расход в системе должен еще больше уменьшиться, и режим уже не может вернуться в исходную точку Ф. При отклонении расхода в другую сторону, до значения Q₂ , соотношение напоров станет другим: Н_н2 > Н_с2 . Избыточный напор насоса, который не может быть затрачен в сети при расходе Q₂ , будет затрачиваться на ускорение потока, в результате чего расход в системе возрастет, и режим также уже не может вернуться в исходную точку Ф, а перейдет в точку устойчивого режима Ф_уст. Таким образом, при таких характеристиках нагнетательной установки и сети режим системы является неустойчивым, и при небольших отклонениях его от среднего значения он автоматически сам стремится еще сильнее отклониться от теоретического значения (точка Ф). Режим не может стоять в точке Ф даже не продолжительное время, так данная точка находится в зоне переходных режимов.

Математическое условие устойчивости режима записывается очень просто

d Н_ну /d Q < d Н_с / d Q (9.1)

Учитывая, что производная отражает наклон касательной к линии характеристики, можно сказать, что для обеспечения устойчивости режима в точке пересечения наклон линии характеристики нагнетательной установки должен быть меньше наклона характеристики сети. Характеристика сети должна идти более круто вверх. Критической точкой является точка, в которой характеристика на сети является касательной к характеристике насосной установки. Здесь касательные к обеим характеристикам имеют одинаковый наклон, поэтому эта точка является точкой неустойчивого равновесия.

При определенных условиях вследствие изменения рабочего режима могут возникать ситуации, когда режим более не может быть устойчивым. Тогда могут происходить резкие срывы работы насоса и системы в целом, сопровождающиеся сложными переходными процессами. Это явление получило название помпаж. Ниже рассматриваются процессы помпажа в различных системах.