- •Общие вопросы
- •Введение
- •1.1 Некоторые термины и понятия
- •1.2 Конструктивные характеристики трубопроводных систем
- •1.3 Характеристики перемещаемой среды
- •1.4 Режимные параметры трубопроводных систем
- •1.5 Потери давления и напора в трубопроводе
- •1.6 Понятие характеристик трубопровода и нагнетателя
- •2.1 Источники и потребители энергии в системе.
- •2.2. Уравнения балансов среды и энергии в системе
- •2.3 Графический метод наложения характеристик
- •3.1 Причины необходимости сложения характеристик
- •3.3 Сложение характеристик элементов системы при
- •3.5 Аналитическое сложение характеристик трубопроводов
- •4.1 Общий порядок решения задач методом наложения
- •4.2 Пример решения задачи с одним нагнетателем
- •4.3 Пример решения задачи с одним нагнетателем и
- •4.3 Примеры решения задачи с двумя нагнетателями
- •Физическое явление
- •6.2 Решение для системы с одним узлом
- •7.1 Метод половинного деления
- •7.2 Метод хорд
- •7.3 Метод Ньютона (метод касательной)
- •7.4 Метод простой итерации
- •9.2 Процессы помпажа в насосных системах
- •9.3 Причины возникновения помпажа
- •9.4 Мероприятия по предотвращению возникновения помпажа
- •9.4.1 Конструктивные мероприятия
- •9.4.2 Проектные мероприятия
- •9.4.3 Эксплуатационные мероприятия
- •10.1 Причины разрыва потока в трубопроводных системах
- •10.2 Кавитация в насосах
- •10.3 Допустимая геометрическая высота всасывания
- •10.4 Мероприятия против возникновения кавитации
- •Содержание
- •Общие вопросы работы трубопроводных систем
- •680035. Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136
- •680035. Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136
7.1 Метод половинного деления
При вычислении корня нелинейного уравнения методом половинного деления (метод ПД) решаемое уравнение должно быть приведено к виду
Y(Х)= 0 (7.1)
Графическая иллюстрация метода половинного деления приведена на рисунке 7.1.
Y
Xл
Y=F(X) Y=F(Xл)
Y=F(Xср0)
X Xп Xср1 Xср2 Xср3 Xср0
Истинное решение
Xист
Рисунок 7.1 – Графическая иллюстрация метода половинного
деления
Последовательность действий при решении уравнения методом ПД изложена ниже.
1) Задаются требуемой погрешностью вычислений εх по Х
Для большинства прикладных задач этот этап не вызывает затруднений, так как из физического смысла задачи и целей расчета достаточно ясно следуют требования к точности вычисления искомого параметра. Очевидно, что температуру в дымовой трубе котла нет смысла определять с точностью до сотых долей градуса. Весьма практично вначале задаться требуемой относительной точностью определения параметров, а затем перейти к абсолютным величинам погрешностей. Во многих расчетах относительная погрешность в 1-2 % вполне достаточна.
2) Задаются левой Хл и правой Хп границами интервала, на котором гарантированно находится решение. Решение на заданном отрезке должно быть только одно.
Для большинства прикладных задач и этот этап не вызывает затруднений, так как из физического смысла задачи достаточно очевидны минимальное и максимальное значение Х, которые могут наблюдаться в рассматриваемой ситуации. Например, температура некого тела, обменивающегося теплом конвекцией и излучением с другими телами, не может быть больше максимальной температуры окружающих тел, и меньше их минимальной температуры. В задаче, рассмотренной выше (рисунок 6.3), напор в точке Х не может быть больше отметки самого высоко расположенного бака, и не может быть меньше отметки самого низко расположенного бака.
Если все-таки поиск интервала вызывает затруднения, то задаются левой границей Хл, вычисляют значение Y(Хл), а затем с определенным шагом увеличивают Х, вычисляя каждый раз значение Y(Х), пока не изменит знак по отношению к Y(Хл). Найденное значение Х принимается за правую границу, а предыдущее значение Х – за левую. Действуя таким образом, можно существенно сузить начальное значение интервала.
3) Вычисляют значение Y(Хл) на левой границе интервала.
4) Вычисляют значение Хср в середине интервала
Хср = (Хл + Хп) / 2 (7.2)
5) Вычисляют значение Y(Хср) в середине интервала
6) Если Y(Хср) = 0, то Хср есть решение, и расчет закончен. В противном случае расчет продолжается.
7) Определяют совпадение знаков функции на левой границе интервала Y(Хл) и в середине Y(Хср) путем их перемножения (если знаки одинаковы, то произведение будет положительным, а если разные, то отрицательным).
В = Y(Хл) × Y(Хср) (7.3)
8) Если знак произведения В положителен, значит решение находится правее середины интервала, и левую границу следует переместить в середину, в противном случае в середину перемещается правая граница интервала.
если В>0, тогда Хл = Хср , Y(Хл) = Y(Хср) (7.4)
если В<0, тогда Хп = Хср (7.5)
Данное правило действует при любом наклоне линии функции Y(Х), как показано на рисунке 7.2
а) произведение В меньше 0
Y Xп X Y Xп X Xср Xл Xср
Истинное решение
Xист
Xл X Xср Xср Xл
Y Xп
Истинное решение
Xист
б) произведение В больше 0
Y Xп X Xл Xср
Истинное решение
Xист
Xср
Истинное решение
Xист
Рисунок 7.1 – Иллюстрация правила сдвига границ интервала
9) Проверяют, не достигнута ли требуемая точность расчета. Если требуемая точность достигнута, то расчет прекращают, и за решение принимается середина интервала.
если (Хп – Хл )/2 ≤ εх, тогда Х = (Хл + Хп)/2 (7.6)
10) Проводят следующий цикл вычислений, повторяя этапы расчета с пункта 4.
Таким образом, на каждом цикле расчета принятый ранее интервал сужается в два раза. После выполнения N итераций ширина интервала уменьшается в 2N раз.
Метод ПД является достаточно медленным, так как на любом шаге следующее приближение может оказаться дальше от истинного решения, чем полученное на предыдущем шаге. Так, в примере на рисунке 7.1 значение середины отрезка на первом шаге Xср1 значительно дальше отстоит от истинного решения, чем начальное приближение Xср0, полученное делением исходного отрезка пополам.
Зато данный метод является очень простым и надежным, гарантирующим нахождение решения независимо от вида функции Y(Х). Сама функция может быть любой и иметь перегибы, максимумы и минимумы. Преимуществом этого МПП является так же то, что его реализация не требует вычисления производной от функции.
Программная реализация метода ПД очень проста, и составляет всего несколько строк на любом языке программирования.