- •Общие вопросы
- •Введение
- •1.1 Некоторые термины и понятия
- •1.2 Конструктивные характеристики трубопроводных систем
- •1.3 Характеристики перемещаемой среды
- •1.4 Режимные параметры трубопроводных систем
- •1.5 Потери давления и напора в трубопроводе
- •1.6 Понятие характеристик трубопровода и нагнетателя
- •2.1 Источники и потребители энергии в системе.
- •2.2. Уравнения балансов среды и энергии в системе
- •2.3 Графический метод наложения характеристик
- •3.1 Причины необходимости сложения характеристик
- •3.3 Сложение характеристик элементов системы при
- •3.5 Аналитическое сложение характеристик трубопроводов
- •4.1 Общий порядок решения задач методом наложения
- •4.2 Пример решения задачи с одним нагнетателем
- •4.3 Пример решения задачи с одним нагнетателем и
- •4.3 Примеры решения задачи с двумя нагнетателями
- •Физическое явление
- •6.2 Решение для системы с одним узлом
- •7.1 Метод половинного деления
- •7.2 Метод хорд
- •7.3 Метод Ньютона (метод касательной)
- •7.4 Метод простой итерации
- •9.2 Процессы помпажа в насосных системах
- •9.3 Причины возникновения помпажа
- •9.4 Мероприятия по предотвращению возникновения помпажа
- •9.4.1 Конструктивные мероприятия
- •9.4.2 Проектные мероприятия
- •9.4.3 Эксплуатационные мероприятия
- •10.1 Причины разрыва потока в трубопроводных системах
- •10.2 Кавитация в насосах
- •10.3 Допустимая геометрическая высота всасывания
- •10.4 Мероприятия против возникновения кавитации
- •Содержание
- •Общие вопросы работы трубопроводных систем
- •680035. Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136
- •680035. Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 136
7.2 Метод хорд
При вычислении корня нелинейного уравнения методом хорд решаемое уравнение также должно быть приведено к виду (7.1). Метод хорд дает хорошие результаты на плавных кривых, имеющих монотонный наклон. Его преимуществом является более быстрая сходимость, чем метода ПД. Объясняется это тем, что метод имеет монотонную сходимость – каждое последующее приближение находится ближе к истинному решению, чем предыдущее.
Как и для метода ПД, не требуется вычисление производной.
Графическая иллюстрация метода хорд приведена на рисунке 7.2.
Y
Y=F(X) Y=F(X0)
Истинное решение
Xист Y=F(X1)
X Xп Y=F(X2)
X0=Xл X1 ΔX1 X2
ΔX2
Рисунок 7.2 – Графическая иллюстрация метода хорд
Последовательность действий при решении уравнения методом хорд изложена ниже.
1) Задаются требуемой погрешностью вычислений εх по Х
2) Задаются левой Хл и правой Хп границами интервала, на котором гарантированно находится решение. Решение на заданном отрезке должно быть только одно.
3) Вычисляют значение Y(Хп) на данном шаге решения на правой границе интервала.
4) Вычисляют значение Y(Хл) на данном шаге решения на левой границе интервала.
5) Вычисляют значение X в точке пересечения хорды и оси абсцисс
Из построений на рисунке 7.2 можно записать пропорцию
(0 – Yл) / (Yп – Yл) = (Х – Хл) / (Хп – Хл) (7.7)
Из (7.7) получим выражение для вычисления положения точки пересечения хорды и оси абсцисс
X = Хл – Yл /[(Хп – Хл)/(Yп – Yл)] (7.8)
или
X = Хп – Yп /[(Хп – Хл)/(Yп – Yл)] (7.9)
При этом выражение в квадратных скобках является тангенсом наклона хорды, соединяющей крайние точки функции.
6) Вычисляют значение Y(Х) на данном шаге решения в точке пересечения хорды и оси абсцисс.
7) Определяют совпадение знаков функции на левой границе интервала Y(Хл) и в середине Y(Х) путем их перемножения (если знаки одинаковы, то произведение будет положительным, а если разные, то отрицательным).
В = Y(Хл) × Y(Х) (7.10)
8) Если знак положителен, решение находится правее точки Х, и тогда левую границу следует переместить в точку Х, в противном случае в точку Х перемещается правая граница интервала.
если В>0, тогда Хл = Х (7.11)
если В<0, тогда Хп = Х (7.12)
9) Проверяют, не достигнута ли требуемая точность расчета. Если требуемая точность достигнута, то расчет прекращают, и за решение принимается середина интервала. Проверка точности является наиболее сложной задачей. Обычно оценивают разницу значений, полученных на предыдущем и текущем шаге
если |(Хi – Хi-1 )| ≤ εх, тогда Х = Хi (7.13)
10) Проводят следующий цикл вычислений, повторяя этапы расчета с пункта 3.
Таким образом, на каждом цикле расчета принятый ранее интервал сужается. Метод хорд является достаточно быстрым, так как на любом шаге граница интервала неизбежно приближается к истинному решению – уход дальше просто невозможен.
Данный метод является очень простым и надежным, особенно он хорош для «гладких» функций, не имеющих перегибов. Достоинством этого МПП является так же то, что его реализация не требует вычисления производной от функции.
Программная реализация метода очень проста.