4.3 Примеры решения задачи с двумя нагнетателями

Как было рассмотрено в предыдущем примере, при недостаточном напоре насоса возможно обратное движение воды из высоко расположенного бака. Чтобы этого избежать, можно на верхней ветке правой половины сети установить дополнительный насос б (рисунок 4.9а).

Общее понимание такой системы ничем не отличается от предыдущего примера. По-прежнему направление циркуляции в системе в целом определяет насос а, который следует принимать за нагнетательную установку. Насос б требуется только для преодоления повышенных затрат энергии на участке 3. Он берет на себя часть затрат напора, поэтому насосу а на перемещение воды по участку 3 потребуется затратить меньше энергии, что гарантирует правильное направление потоков в системе и избавляет от необходимости ставить высоконапорный насос а, если на участках 1 и 2 не требуется высокого напора.

Решение такой задачи тоже практически аналогично ранее рассмотренному примеру. Отличие заключается, что при построении характеристики верхней ветки следует дополнительно вычесть характеристику насоса б из ранее построенной характеристики (3+10 м). Условие задачи приведено на рисунке 4.9, а решение – на рисунке 4.10.

План решения задачи будет выглядеть следующим образом:

а→НУ

2 + 10 м

– б

( +3)//

(1–5 м)

( + ) →С

Построить т.Ф

Выполнить обратные построения

Согласно приведенному решению, расход насоса в рабочей точке Ф равен 16,5 м³/час, а напор 6,8 м. Тогда потребляемая насосом мощность составит

N = 1000 × 9,81 × 11 × 9,5 /(3600 × 60 /100) = 475 Вт = 0,475 кВт

Согласно выполненным обратным построениям расход на участке 2 в точке Ф₂ равен 6,8 м³/час.

Согласно выполненным обратным построениям потери напора на участке 3 в точке Ф₃ равны 9,2 м. При этом потери напора на участке 2 в точке Ф₂ равны 8 м, а общие затраты энергии по верхней ветке в точке Ф_3+10м равны 19 м.

Для нахождения напора в точке Х требуется записать уравнение изменения напоров при прохождении элементов системы, из которого можно было бы найти неизвестный напор. Запишем уравнение, начиная с левой части системы с поверхности бака:

0 + 5 м – Н₁ = Н_Х

Из обратных построений на графике находим Н₁ =3,5 м. Тогда окончательно получим

Н_Х = 0 + 5 м – 3,5 м = 1,5 м

Таким образом, на всасывающем патрубке насоса имеется положительный подпор (за счет наличия бака на отметке 5 м).

а) схема системы

а

3

1

2

5 м

10 м

Х

б) характеристики элементов системы

20

3

б

10

а

5

Н, м

15

1

2

0 5 10 15 20 25 Q, м³/час

Требуется определить:

1) Мощность, потребляемую насосом б, если его КПД 60%

2) Расход на участке 2

3) Потери давления на участке 3

3) Напор на всасывающем патрубке насоса в точке Х

Рисунок 4.9 – Условие задачи с двумя нагнетателями и гидростати-

ческим напором в сети

а) схема системы с разбиением на нагнетательную установку и сеть

2

1

3

5 м

10 м

НУ

а

Х

б) графическое решение задачи

Н, м

С

20

Ф_3+10м

Н_а =6,8 м

0 5 10 15 20 25 Q, м³/час

5

10

15

25

а=НУ

1

2

3

Ф=Ф_НУ=Ф_С

Q₃ =9,5

Ф₁

Q_а=Q₁=16,5

Н₁ =3,5 м

Ф_б

Н_б =11 м

Ф₂

Ф₃

Н₂ =8 м

Q₂ =6,8

3

Ф_1-5м

5

-5

Рисунок 4.10 – Решение задачи с двумя нагнетателями и гидростати-

ческим напором в сети

Обращаем внимание, что характеристика верхней ветки системы с учетом наличия насоса б ((3+10 м) – б) все равно имеет такой же общий наклон, как и характеристика любого трубопровода – из левого нижнего угла в правый верхний. Этот наклон и показывает, что линия принадлежит сети. Однако она уже не является простой параболой, так как производилось вычитание характеристики насоса, которая не является параболой и может иметь достаточно сложный вид с перегибами. Поэтому и результирующая линия может иметь местные перегибы, не меняющие, однако, ее общего направления.

Рассмотрим теперь пример системы с двумя вентиляторами, которые составляют нагнетательную установку. Условие задачи приведено на рисунке 4.11, а ее решение – на рисунке 4.12.

Направление расходов указано стрелками на схеме 4.11а. Вариант, когда поток через один из вентиляторов идет в обратном направлении, весьма маловероятен и явно не является нормальной ситуацией, поэтому его не следует принимать за базовый вариант.

За нагнетательную установку следует принять параллельное соединение двух веток с вентиляторами – вентилятор а вместе с примыкающим к нему воздуховодом 1 и вентилятор б. Линия деления системы показана на схеме на рисунке 4.12а.

Согласно схеме, сеть состоит только из одного воздуховода 2. Учитывая, что его характеристика уже имеется на графике, никаких построений для сети выполнять не требуется.

План построений будет выглядеть следующим образом:

а–1

( +б)// →НУ

2 →С

Построить т.Ф

Выполнить обратные построения

Решение задачи в соответствии с приведенным планом показано на рисунке 4.12б. Согласно решению, расход в сети (участок 2) равен 2000 м³/час. Расход вентилятора а в точке Ф_а равен 850 м³/час при давлении 840 Па. Тогда потребляемая вентилятором мощность составит

N_а = 850 × 840 /(3600 × 70 /100) = 283 Вт

Расход на участке 1 в точке Ф₁ равен расходу вентилятора а и ставляет 850 м³/час. Потери давления на участке равны 300 Па.

а) схема системы

а

1

2

б

б) характеристики элементов системы

Р, Па

400

800

1000

б

1

а

2

600

200

0 500 1000 1500 2000 2500 Q, м³/ч

Требуется определить:

1) Расход на участке 2

2) Мощность, потребляемую вентилятором а, если его КПД 70%

3) Потери давления на участке 1

Рисунок 4.11 – Условие задачи с двумя вентиляторами

а) схема системы с разбиением на нагнетательную установку и сеть

а

1

2

НУ

С

б

б) графическое решение задачи

Р, Па

1

2

НУ

Ф_б

Ф= Ф_НУ=Ф_С

Р₁ =300

1

200

400

600

800

1000

а

б

1

21

3

21

Ф_а

Р_б=Р₂=540

Р_а =840

Ф₂

Q_б =1150

Q₂ =2000

Ф₁

0 500 1000 1500 2000 2500 Q, м³/час

Q_а=Q₁=850

Рисунок 4.12 – Решение задачи с двумя вентиляторами

Лекция 5

Нахождение и давлений и напоров в точках

системы

Знание напоров или давлений в отдельных точках системы является исключительно важным с точки оценки требуемой прочности трубопровода, анализа возможности развития разрыва потока и кавитационных процессов, оценки достаточности располагаемого давления в точке подключения дополнительных потребителей и других задач.

Расчет значения давления или напора в некой точке системы рассмотрим на примере системы из двух насосов и четырех участков, приведенной на рисунке 5.1а. Для простоты расчетов будем считать, что система состоит из двух одинаковых насосов а и б и четырех одинаковых участков трубопроводов 1–4.

На поверхности водоема действует барометрическое давление, принимаемое обычно за условный ноль, поэтому напор в точке А тоже равен нулю. В точке Б при входе в трубопровод 1 напор равен высоте уровня в баке h_б2 , то есть 5 м. На участке 1 вода движется по трубопроводу и теряет напор за счет потерь на трение и КМС. Так как никаких источников энергии на участке нет, то работа по перемещению жидкости совершается за счет энергии, запасенной в потоке, то есть напора самого потока, при этом напор потока уменьшается. В насосе а напор потока увеличивается на величину Н_а , так как энергия от двигателя через рабочий орган насоса передается потоку. Далее на участке 2 напор снижается на величину потерь Н₂, а при прохождении насоса б опять возрастает на величину Н_б . При прохождении участка 3 напор снижается из-за подъема жидкости на высоту h_б2 , и из-за наличия потерь Н₃ на трение и КМС. На участке 4 напор снижается на величину потерь Н₄. Из трубопровода 4 в точке И поток выходит в атмосферу, поэтому напор потока в этой точке равен нулю.

Напоминаем, что в данном случае под напором в некоторой точке понимается напор, отсчитываемый от уровня оси трубопровода, а не условный напор, отсчитываемый относительно некоторого условного нуля.

Запишем для данной системы уравнение изменения напора воды при прохождении по системе, учитывая что напор в атмосфере принимается за ноль

0 + h_б1 – Н₁ + Н_а – Н₂ + Н_б – Н₃ – h_б2 – Н₄ = 0 (5.1)

Разделим систему на нагнетательную установку и сеть, приняв за нагнетательную установку два последовательно включенных насоса

Н_а + Н_б = Н₁ + Н_а + Н₂ + Н₃ + Н₄ – h_б1 + h_б2 (5.2)

а

а

1

4

h_б1=4 м

10 м

В

3

2

Б

Г

Д

Е

Ж

И

А

) схема системы

б) эпюра распределения напоров в системе

Н, м

Н_В=-2

Н_Г=13

Н_Е=22

Н_Ж=6

Е

20А

Н_б=15

Н₃ +10 м =16

15А

Г

10А

Н_Д=7

Д

Ж

5А

Н₄=6

Н_Б=4

Н₁=6

Н_а=15

Б

Н_А=0

А

0А

И

Н_Ж=0

В

Н_А = 0 Н_Д = Н_Г – Н₂ =13 - 6 = 7

Н_Б = 0 + h_б1 = 0 + 4=4 Н_Е = Н_Д + Н_б = 7 +15 = 22

Н_В = Н_Б – Н₁ = 4 - 6=-2 Н_Ж = Н_Е – Н₃ – h_б1 = 22 - 6 - 10 =6

Н_Г = Н_В + Н_а = -2 + 15=13 Н_И = Н_Ж – Н₄ – h_б1 = 6 - 6 = 0

Рисунок 5.1 – Распределение напоров в трубопроводной системе

Если потери напора в каждом из четырех трубопроводов составляют 6 м водяного столба, то общие затраты в напора в системе, соответствующие напору нагнетательной установки, будут равны

Н_а + Н_б = Н_С = 6 + 6 + 6 + 6 – 5 + 10 = 30 м

Учитывая, что насосы в системе одинаковы, напор каждого из них должен равняться половине общего напора нагнетательной установки, то есть 15 м. При известных значениях потерь напоров на участках и напоров насоса вычисление напоров в каждой точке выполняется легко – расчетные соотношения для вычисления напоров в каждой точке приведены на рисунке.

Определение напора в некоторой точке системы, по сути, аналогично методу определения отметок на местности при помощи нивелира – надо начать измерение с некоторой точки с известной отметкой (репер) и, последовательно продвигаясь по местности к конечной точке, записывать с нужным знаком приращение отметок, считываемые по прибору. Конечный результат вычислений и будет соответствовать отметке конечной точки маршрута. Отметками промежуточных точек являются, соответственно, результаты вычислений в промежуточных точках.

Таким образом, общее правило определения давления (или напора) в некоторой точке системы сводится к следующему:

Для определения давления в некоторой точке системы надо, начав из точки с известным давлением, последовательно продвигаться по системе к конечной точке, складывая с учетом знака изменения давления потока на каждом пройденном элементе системы.

Возможен и несколько другой подход, когда начинают с точки, в которой требуется определить давление, и продвигаются к точке с известным давлением.

Для определения давления в некоторой точке системы надо, начав из нее, последовательно продвигаться по системе к точке с известным давлением, складывая с учетом знака изменения давления потока на каждом пройденном элементе системы.

Какой из двух вариантов использовать, решает пользователь. При правильном решении ответы по обоим вариантам должны совпасть. Рекомендуется выбирать тот вариант, который дает наиболее короткое решение, то есть двигаться целесообразно по самому короткому пути.

Обращаем внимание, что в принципе можно двигаться как по направлению потока, так и против потока. Тем не менее, предпочтительным направлением следует признать вариант движения по потоку: при этом изменения потерь давления в трубопроводах за счет трения и КМС всегда будут учитываться со знаком «минус», как записано в уравнении (5.1), что соответствует обычному пониманию физики процесса.

Например, если требуется найти напор в точке Д системы (рисунок 5.1), то возможны два варианта

0 + h_б1 – Н₁ + Н_а – Н₂ = Н_Д (5.3)

Н_Д = 0 +4 – 6 + 15 – 6 = 7

Н_Д + Н_б – Н₃ – h_б2 – Н₄ = 0 (5.4)

Решив (5.4) относительно Н_Д, получим

Н_Д = – Н_б + Н₃ + h_б2 + Н₄ = 0 (5.5)

Н_Д = –15 + 6 +10 + 6 = 7

В системе обязательно должна фигурировать точка с известным напором, в противном случае определить расчетом давления в точках системы невозможно. Чаще всего точкой с известным давлением выступает атмосфера, то есть точки входа или выхода потока в атмосферу. Давление и напор в этих точках условно принимается за ноль.

В закрытых системах, где поток изолирован от атмосферы, все равно следует поддерживать давление в некоторой точке в системы на определенном уровне. Это достигается установкой расширительного мембранного бака с известным давлением газа, или некоторого регулятора давления, поддерживающего его на требуемом постоянном уровне. Если таких специальных мер не будет предпринято, то за счет температурного расширения теплоносителя объем его в системе будет непрерывно меняться, и вместе с ним будет изменяться давление: при повышении температуры объем увеличивается и давление растет, при понижении температуры объем уменьшается и давление снижается. В некоторых случаях температурный рост давления может привести к нарушению герметичности системы, разрыву трубопроводов, выходу из строя оборудования, то есть к аварийным ситуациям.

На рисунке 5.2 приведены различные схемы систем, в которых требуется определить напор в точке Х на всасывающем патрубке насоса. Рассмотрим ситуацию для каждой из систем.

Начнем с системы, изображенной на рисунке 4.14а. Запишем уравнение изменения напоров в системе, начиная с точки Х и заканчивая ею же

Н_Х + Н_а – Н₁ – Н₂ – 5м – Н₃ – Н₄ + 5м – Н₅ = Н_Х (5.6)

Величина Н_Х и напор 5м сокращаются, и после сокращения получим

Н_а – Н₁ – Н₂ – Н₃ – Н₄ – Н₅ = 0 (5.7)

Как следует из уравнения (5.7), определить напор в точке Х невозможно, так как система замкнута и нет отправной точки для отсчета. Из-за теплового расширения напор может принимать любое значение.

а) схема без расширительного бака б) схема с открытым баком

Р_бар

3

а

5 м

5

1

4

2

3

2 м

6

а

5 м

4

2

5

1

Х

Х

в) схема с открытым баком г) схема с закрытым баком

Р_бар

а

5 м

5

1

4

2

3

2 м

а

5 м

5

1

4

2

3

Р_г м

6

Х

Х

6

Рисунок 5.2 – Различие в схемах систем с гидростатическим напором

в сети

В системе, приведенной на рисунке 5.2б, открытый расширительный бак подсоединен к системе при помощи дополнительного трубопровода 6. Расхода через трубопровод нет, следовательно, нет и потерь давления в нем. Уровень в баке стоит на постоянной отметке и смещается только за счет теплового расширения воды в системе (случай утечек из системы здесь не рассматриваем). Для данной системы отправной точкой расчета является поверхность уровня воды в баке, на которую действует барометрическое давление (избыточное давление равно 0). Тогда уравнение для определения давления в точке Х будет

0 + 2м – Н₄ + 5м – Н₅ = Н_Х (5.8)

Обращаем внимание на знак «минус», стоящий в уравнении перед потерями на участках 4 и 5. При достаточно больших потерях суммарные затраты напора на этих участках могут превысить запас гидростатического напора 7 м, и тогда напор перед насосом может стать отрицательным, что, в свою очередь, может привести к возникновению кавитации в насосе.

Для системы, приведенной на рисунке 5.2в, отправной точкой также является поверхность уровня воды в баке, но бак теперь подсоединен непосредственно к всасывающему патрубку насоса. Как и в предыдущем случае, расхода на участке 6 нет. Уравнение для определения давления в точке Х будет

0 + 2м + 5м = Н_Х (5.9)

Теперь напор в точке Х перед насосом постоянен и не зависит от потерь напора на отдельных участках системы. Если бак приподнят над уровнем установки насоса, то наличие перепада отметок гарантирует положительный напор перед насосом, что предотвращает возникновение кавитации в насосе. Поэтому именно такой вариант присоединения открытого расширительного бак является наиболее желательным.

Недостатками открытого расширительного бака являются два момента:

а) непрерывное проникновение кислорода из атмосферы, что увеличивает коррозию стальных труб;

б) необходимость установки бака на повышенных отметках, что неудобно с точки зрения эксплуатации и не всегда возможно технически.

От обоих недостатков свободен вариант с установкой закрытого расширительного бака, который может устанавливаться непосредственно рядом с насосом в помещении, где располагается все остальное оборудование (тепловой пункт, котельная, насосная и т.п.). Бак представляет из себя герметичную емкость, рассчитанную на определенное давление. Внутри бака находятся резиновая мембрана или мешок, которые делят бак на два отсека. В один отсек закачивается газ (обычно азот), а другой заполнен водой и соединен трубопроводом с системой. Обращаем, что расхода на участке 6 также нет – уровень в баке стоит на некоторой отметке, и может медленно смещается только за счет теплового расширения воды в системе. На баке может быть смонтирована дополнительная предохранительная защитная арматура.

При равенстве уровней расположения насоса и мембраны в баке и некотором избыточном давлении газа в баке Р_г уравнение для определения давления в точке Х будет

Н_Х = Р_г /ρg (5.10)

Изменяя давление Р_г, можно поддерживать в системе необходимый напор, достаточный для гарантированного заполнения системы и предотвращения кавитации в насосе. Более детально расчеты расширительных баков рассматриваются в специальных дисциплинах.

Лекция 6

Расчет рабочего режима системы методом

последовательных приближений

6.1 Общая идея расчета системы методом последовательных приближений

6.2 Решение для системы с одним узлом

6.3 Методы последовательных приближений

1. Общая идея расчета системы методом

последовательных приближений

В стационарном режиме в любой гидравлической системе должны соблюдаться массовый и энергетический балансы – приток среды равен расходу среды из системы, сообщаемый системе положительный напор от источников энергии должен полностью тратиться в системе. При этом, в каждом узле должен соблюдаться баланс расходов, а в каждом замкнутом контуре – баланс напоров или давлений. Эти положения позволяют составить для рассматриваемой системы некоторую систему нелинейных уравнений, которую можно решить относительно неизвестных расходов на каждом элементе и неизвестных напоров в узлах системы. Учитывая, что преобразовать систему уравнений к одному алгебраическому уравнению с одним неизвестным чаще всего невозможно, то решение системы уравнений производится обычно методами приближений.

Суть метода последовательных приближений (МПП) заключается в том, что вначале произвольно задаются некотором начальным режимом работы системы (расходами на каждом участке или распределением давлений или напоров в узлах системы). При начальном режиме вышеуказанные балансы обычно не сходятся, то есть начальное распределение параметров не является решением системы и принято с некоторой погрешностью. Однако существуют специальные методы, которые позволяют рассчитать такие поправки к каждому значению параметра, которые обеспечат более правильное соблюдение балансов в системе. Таким образом, рассчитав и введя поправки, на каждом шаге приближаются к некому точному решению. Эта последовательность шагов по вычислению поправок, делающих более точным полученное на каждом очередном шаге решение, и является реализацией метода последовательных приближений.

Отметим, что во многих практических задачах не имеет смысла стремиться к абсолютно точному решению набора уравнений, так как заранее известно, что сама задача поставлена и описана уравнениями с некоторой погрешностью. Невозможно точно описать все факторы, влияющие на результат решения. Процесс решения некоторой технической задачи можно представить в виде схемы, приведенной на рисунке 6.1.