1.Папин А.А. Теоретическая механика

Алтайский государственный университет Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

А. А. Папин

Теоретическая механика

(краткий курс лекций)

Барнаул 2000

ВВЕДЕНИЕ

Теоретическая механика, являясь составной частью естествознания, изучает простейшую форму движения материи - механическое движение, которое заключается в изменении положения материального тела по отношению к другим телам с течением времени. Все движения материальных тел происходят в пространстве и во времени. В классической механике (И. Ньютон, "Математические принципы натуральной философии", 1687 год) постулируется, что

1.Пространство является трехмерным пространством Евклида с соответствующими определениями и понятиями. Метрические свойства пространства не зависят от наполняющей и движущейся в этом пространстве материи. Пространство однородно и изотропно, то есть его свойства одинаковы во всех точках и все направления в нем равноправны.

2.Время абсолютно для всех точек пространства. Его течение полагается однородным, непрерывным и не зависит от движущейся материи.

Принимая такие определения пространства и времени, отказываемся от рассмотрения эффектов механики теории относительности, в которой, на основе постоянства скорости света во всех инерциальных системах отсчета, устанавливается взаимосвязь пространства, времени и движущейся материи. Эффекты теории относительности становятся существенными при скоростях, близких к скоростям света. В классической механике скорости намного меньше скорости света.

При изучении механического движения рассматривается только два важнейших признака движущейся материи:

а) протяженность (геометрическая форма материального тела), б) вещественность (масса и ее распределение в данном объеме).

В рамках теоретической механики не рассматривается молекулярное строение вещества, то есть принимается предположение о непроницаемости вещества, что исключает возможность нахождения различных тел в одной и той же части пространства. Более того, объектом теоретической механики является не движение реальной материи, обладающей континуумом различных свойств, а некоторые абстрактные модели реальных тел, в том числе:

1.Материальная точка - модель, имеющая массу и не имеющая размеров

2.Абсолютно твердое тело - объем, сплошь заполненный веществом, причем расстояния между двумя любыми точками среды не изменяются во время движения.

3.Сплошная деформируемая среда - объем, заполненный веществом, причем расстояния между точками не обязаны сохраняться.

Эти основные модели могут объединяться в системы: системы свободных точек, системы со

связями, абсолютно твердое тело с полостью, заполненной жидкостью и т.д.

Для определения положения тела в пространстве необходимо, очевидно, иметь некоторое тело, по отношению к которому и определяется положение данного тела. Связанная с выбранным телом система координат (как правило - правая система декартовых координат) называется системой отсчета. Поскольку выбор системы отсчета в известной степени произволен, то понятия о механическом движении и равновесии являются относительными, то есть движущееся в одной системе тело, в другой может покоиться. Если же система отсчета не задана, то задача изучения движения тела становится неопределенной.

В механике важную роль играют инерциальные системы отсчета (собственное движение таких систем не может быть обнаружено никакими механическими опытами). Законы механики таковы, что предположение о существовании одной инерциальной системы приводит к существованию бесконечного числа таких систем. Все системы, движущиеся относительно исходной прямолинейно, равномерно и без вращения будут инерциальными.

Для описания механического взаимодействия тел вводится понятие о силе. Под механическим взаимодействием понимается такое действие тел друг на друга, в результате которого происходит или изменение движения этих тел, или изменение взаимного положения частей тел (деформация). Мерой механического взаимодействия является сила. Для данного тела сила является внешним фактором, изменяющим движение. Кроме этого внешнего фактора характер движения зависит от "степени податливости" тела оказываемому на него внешнему воздействию, или, как говорят степени инертности тела. Чем больше инертность тела, тем

медленнее изменяется его движение под действием данной силы и, наоборот. Мерой инертности материального тела является масса.

Как и в любой естественной дисциплине, основой теоретической механики является опыт и наблюдение (эксперимент), а свои результаты она соотносит с практикой.

Традиционно теоретическую механику делят на три составные части: кинематику, статику, динамику.

В кинематике движение изучается без учета причин, вызывающих последнее (то есть изучаются кинематические характеристики: уравнение движения, скорость, ускорение, геометрические свойства объекта). В статике изучается равновесие совокупности тел относительно некоторой системы отсчета. В динамике изучают движение под действием сил. Иногда статику и динамику объединяют в один раздел - кинетику.

Законы и аксиомы теоретической механики были сформулированы в результате трудов многих поколений ученых. Первые закономерности механики были получены в древнем Египте и Греции на основании опыта использования простейших механизмов и машин. Первая попытка изложить замкнутый круг идей, включающий известные тогда факты, была предпринята Аристотелем (384 - 322 г.г. до н.э.). Испытывая недостаток в экспериментальных фактах, Аристотель привлекал умозрительные гипотезы, что привело к неверным выводам (скорость падающих тел пропорциональна их весу; под действием постоянной силы тело движется с постоянной скоростью и т.п). Первые существенные результаты в области механики содержатся в работах Архимеда (287 - 212 г.г. до н.э.): закон гидростатики, работы по теории рычага, центр тяжести тел. Во II веке н.э. Птолемей сформулировал геоцентрическую картину мира. Интенсивное развитие естественных наук начинается в эпоху Возрождения. Кратко перечислим основные достижения в области механики в этот период. Леонардо да Винчи (1452 - 1519) - теория механизмов, трение в машинах, движение по наклонной плоскости. Коперник (1473 - 1543) - гелиоцентрическая картина мира. Кеплер (1571 - 1630) - благодаря работам Коперника и Тихо Браге, сформулировал три закона движения планет, послуживших Ньютону основанием его закона всемирного тяготения. Галилей (1564 - 1642) - закон инерции, свободное падение тел, движение тел, брошенных под углом к горизонту, прочность сооружений. Гюйгенс (1629 - 1695) - теория колебания математического маятника, понятие о моменте инерции твердого тела относительно оси. Ньютон завершил построение основ классической механики. Ему принадлежат закон действия и противодействия, закон всемирного тяготения. Основной закон механики (второй закон Ньютона) был впервые сформулирован в дифференциальной форме, что дало возможность рассмотреть многочисленные задачи. Известна также роль Ньютона (совместно с Лейбницем) в развитии анализа бесконечно малых. Эйлер (1707 - 1783), используя дифференциальное исчисление, рассмотрел задачи о движении несвободной точки, твердого тела, о течении идеальной жидкости, дал расчеты баллистических траекторий в сопротивляющейся среде. Даламбер (1717 - 1783) сформулировал вариационный принцип механики (в форме уравнений статики). Лагранж (1738 - 1813) открыл метод виртуальных перемещений и на его основе изложил основные результаты механики. Дальнейшее развитие теоретической механики связано с работами Лапласа, Гаусса, Гамильтона, Кирхгоффа, Гельмгольца, Герца, Остроградского, Ковалевской, Чебышева, Ляпунова, Жуковского, Мещерского, Циолковского, Четаева и многих других ученых.

меняется при циклической перестановке сомножителей, т.е.

(a ×b) cr = (b ×cr) ar = (cr×av) b .

Вектор a ×(b ×cr) называется двойным векторным произведением. Имеем по

∑εαβγεστβ =∑εγαβεστβ =δγσδατ −δγτδασ ,

ββ

Упражнение 1.2 Доказать, что

ar×(b ×cr) + b ×(cr×ar) + cr×(ar×b) = 0

Из (1.1.8) имеем для компонент вектора ar×(b ×cr) :

[ar×(b ×cr)]i = bi (∑aα cα ) − ci (∑aα bα ) , i = 1,2,3.

αα

k =1

В дальнейшем вспомогательные сведения будут излагаться по мере возникновения необходимости.

2. Векторные функции скалярного аргумента.

Пусть a(t) = (a1 (t), a2 (t), a3 (t)) ,

где параметр t [0,T ], T ≤ ∞ .

где aα (t) проекции вектора a(t) на оси координат. Производная по параметру t вектора a(t)

Производные высших порядков определяются аналогично.

Следует отметить, что вектор dar направлен по касательной к годографу. Действительно (см. dt

рис.), пусть значению t отвечает точка M годографа вектор-функции a(t) . Вектору

a(t) + ∆a = a(t + ∆t) соответствует на годографе точка M ′, а ∆a - приращение a(t) , соответствующее приращению ∆t .

∆a

Приращение ∆t есть вектор, направленный

по секущей MM ′. При ∆t → 0 точка M стремится к M ′ , а секущая MM ′ стремится к касательной к годографу в точке M .

Потому вектор dar направлен по касательной dt

к годографу вектор-функции a(t) .

Следующие свойства операции дифференцирования вектор-функций проверяются по определению:

а) Если ar(t) = ∑n ari (t) , то

i =1

Кривая, описываемая точкой М в пространстве, называется траекторией движения точки. Траектория движения является, очевидно, годографом радиус-вектора точки М, а (1.1.14) есть векторная запись уравнения траектории.

являются уравнения r = r(t),ϕ =ϕ(t) . Связь векторного и координатного способов очевидна.

вектора, однозначно определяются компоненты r (t) и, следовательно уравнения (1.1.15).

в) Естественный способ. Пусть кривая АВ - известная траектория точки М. Выберем начальную точку О и условимся полагать одно направление

от точки О положительным, а другое - отрицательным. Выберем масштаб. Тогда положение точки М на ее траектории можно

определить дуговой координатой ОМ, которую еще называют расстоянием точки М от начала О. Движение точки будет определено, если для любого t будет известна дуговая координата s, т.е.

(1.1.16)

Предполагается, что S C2[0,T ] . Уравнение

(1.1.16) определяет закон движения точки по траектории, но не в пространстве. Закон движения

точки в пространстве определяется совокупностью всех факторов: траекторией движения (ее "формой" и положением в пространстве), положением начальной точки О на траектории с указанием положительного направления, линейным масштабом и уравнением (1.1.16). Если известны координаты точки (и, следовательно, радиус-вектор), то дуговая координата определяется элементарно:

Выбор знака определяется направлением отсчета. Обратный переход от естественного описания к векторному (координатному) будет изложен в лекции 4.

4. Кинематические характеристики: скорость, ускорение.

4.1. Скорость. Рассмотрим два близких положения M и M1 материальной точки,

соответствующих t и t + ∆t . Им

соответствуют радиус-векторы rr и rr + ∆→r .

Вектор → 1 = ∆r есть приращение за

)

t

(

r

r

MM

время ∆t . Среднюю скорость точки M

определяют как отношение ∆r к ∆t .

Истинная же скорость точки в момент t есть вектор

Поскольку производная любой вектор-

функции направлена по касательной к годографу, то v направлен по касательной к траектории.

Скорость в естественном описании. Пусть известна траектория и уравнение движения по траектории S = S(t) . Каждой точке траектории соответствует определенный радиус-вектор r , но каждая точка траектории определяется дуговой координатой S. Поэтому можно

где τr1 - единичный вектор касательного к траектории направления. То, что τ1 касательный вектор есть свойство производной радиус-вектора. Рассматривая отношение ∆rr - длины хорды

единичного радиуса. Производная ddsτ1 должна быть направлена по касательной к окружности

и, следовательно, ортогональна τr1 (к кривой r = r (s) ). Это направление называется главной нормалью к кривой. Если τr2 - единичный вектор нормали (направлен в сторону вогнутости кривой), то