Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алтайский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1.Папин А.А. Теоретическая механика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.05.2015

Размер:

1.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

=Vα

+ω

× ρ ,

(1.5.18)

Проекции Vr

на оси

x1x2 x3 есть ( ρ = rr − rr0 ):

Vα

+ ∑εδταωσ (xτ

(1.5.19)

= xα

− xτ

στ r

€

Проекции V

на оси Oξ1ξ2ξ3:

€

(1.5.20)

Vα

=V0α + ∑εδταω€σξτ

V0α ≡V0

kα = ∑x&σγασ ,

στ

Механическая интерпретация (1.5.18): скорость любой точки твёрдого тела есть скорость

полюса V плюс скорость скорость вращения вокруг оси ω . Пусть ρ

= ρ

+ R , где

||ω ,

R ω . Тогда ω

× ρ

=ω × R .

Возьмём две любые точки A, B твёрдого тела. Пусть e -орт прямой AB. Взяв точку A за

полюс, формулу (1.5.18) представим в виде

VB =VA +ωr× AB ,

VB er =VA er

(1.5.21)

Умножая обе части равенства скалярно на

e , получим

т.е. проекции скоростей любых двух точек твёрдого тела на соединяющую их прямую равны друг другуr. Аналогичный результат справедлив и для проекции на направление угловой

скорости ω .

5. Угловое ускорение твёрдого тела.

По определению вектор угловой скорости ε есть

εr = ddtω ,

Поэтому в системе координат Oξ1ξ2ξ3 компоненты углового ускорения равны

α=1,2,3,

ε€α =ω€α

а в системе

x1x2 x3 :

α=1,2,3,

εα =ωα

Если же для ω воспользоваться представлением (1.5.12), то

+ ϕ

+ ϕ3 k3

+ ϕ

3 .

ε = ϕ1k1

2 n

+ ϕ3 k

&& €

& €

Прямой проверкой устанавливаются, следующие равенства

(− k1

sin ϕ1

= ϕ1

+ k 2 cos ϕ1 )= ϕ1k3 ×n

= ω1

×n ;

€

r r

=ω1

€

= ω1 ×ω3 + ω2 ×ω3 .

ϕ2n

×ω2 , ϕ3 k = ϕ3 (ω×k3 )= ω×ω3

Окончательно

€

ε =ϕ1k3

+ϕ2n

+ϕ3k3

+ω1

×ω2

+ω1 ×

ω3

+ω2 ×ω3 ,

(1.5.22)

(1.5.23)

(1.5.24)

(1.5.25)

В (1.5.23), (1.5.24) компоненты ω€α и ωα должны быть выражены с помощью формул Эйлера (1.5.10) и (1.5ю14) соответственно.

6. Линейные ускорения точек твёрдого тела.

С учётом (1.5.18), по определению вектора ускорения

a точки имеем

dV0

r r

dω

r r

dρ

r r r r r

(ω×ρ) =

×ρ + ω×

= a 0

+ ε×ρ + ω×(ω×ρ) , (1.5.26)

Здесь ar	=	dV0	- ускорение полюса, ε×ρ – называется вращательным ускорением;

0		dt
r r r	r r		r r	2
ω×(ω×ρ)	≡ ω (ω ρ) −ρω			– осестремительное ускорение. Если тело совершает плоское

движение (все точки тела в течение всего времени движения расположены на постоянном расстоянии от некоторой фиксированной плоскости П, причём ω Π, а ρ лежит в плоскости

П), то формулы (1.5.26) упрощаются, т.к. ω ρ = 0 .

Проекции ускорения на оси Ox1 x 2 x3

&&0	0	0	0	2	(1.5.27)
aα = xα + ∑εσταεσ(xτ − xτ ) + ωα∑ωσ(xσ − xσ) − (xα − xα)∑ωσ ,					(1.5.27)
στ	σ			σ

на оси Oξ1ξ2ξ3

a€α = a€0α + ∑εσταε€σξτ στ

+ ω€α ∑ω€σξσ

	σ
0	r	€
a€α	= a 0	k α

− ξα ∑ω€σ2 ,			(1.5.28)
σ
&&	0	γαβ ,	(α,σ,τ)=1,2,3.
= ∑x	β	γαβ ,	(α,σ,τ)=1,2,3.

Лекция 6. Сложное движение материальной точки. Относительное, переносное и абсолютное движения. Абсолютная и относительная производные. Пример (самолет-ракета).

1. Сложное движение материальной точки.

x3	x3			Пусть точка M движется относительно
	x3	M(x1,x2,x3)	x2	неизменяемой среды S, т.е. относительно ‘жёстко’
			x2	связанной с S системы Oξ ξ ξ . Среда же

rдвижется по отношению к неподвижной системе1 2 3

Ox1 x2 x3 .

Условимся в следующих понятиях.

Движение точки M в системе Ox1 x2 x3

называется абсолютным; а в системе Oξ1ξ2ξ3 -

относительным; движение системы Oξ1ξ2ξ3

относительно

Ox1 x2 x3 называют переносным.

Относительное и переносное движения называют составляющими движениями, а абсолютное -

результирующим.

2. Абсолютная и относительная производные от вектора.

Любой вектор C(t) имеет единственное разложение как в абсолютной системе Ox1 x2 x3 ,

							€	€
так и в подвижной системе Oξ1ξ2ξ3 , причём во втором случае нужно помнить, что kα								= k(t)
по отношению к системе					x1 x2 x3 . Таким образом	C(t) = ∑cα kα
по отношению к системе				O	x1 x2 x3 . Таким образом	C(t) = ∑cα kα	;
r		€ €				α
r	=	€ €	.
C(t)		∑cα kα (t)	.
		α

По определению величина

dc ≡ ∑ dc€ € dt α dt kα , (1.6.1)

называется относительной производной, а величина dcr ≡ ∑ dcα krα ,

dt α dt

(1.6.2)

называется абсолютной производной. Их связь:

€

dkα

€

dcα

€

∑

kα

ω×

∑cα (t)kα (t)

∑cα

∑cα (

Если Cr

- постоянный вектор, то оба понятия совпадают.

€ = dc + ωr × r

kα ) dt ( c) ,(1.6.3

3. Относительное движение точки.

При движении точки относительно системы Oξ1ξ2ξ3 уравнения движения имеет вид:

ρ = (ξ1 ,ξ2 ,ξ3 ) = ρ(t) , (1.6.4)

Скорость Vr и ускорение arr относительного движения вычисляются как относительные производные по времени соответственно первого и второго порядков от ρ(t) :

d~ρr

€

≡

= ∑ξα kα ,

(1.6.5)

~2 r

€

dVr

≡

= ∑ξ

(1.6.6).

4. Переносное движение.

Движение системы Oξ1ξ2ξ3 будет определено (относительно Ox1 x2 x3 ), если задать

уравнение движения полюса O и три угла Эйлера:

xα0 = xα0 (t) , ϕαe = ϕαe (t) , α =1,2,3,

(1.6.7)

Переносное движение точки M - это движение той точки среды S, с которой в данный момент совпадает точка M. Неизменяемость среды S позволяет рассматривать последнюю как твёрдое тело, а точку M - как точку твёрдого тела.

Воспользуемся соответствующими результатами Лекции 5. Уравнения переносного движения:

xα	= xα0 (t) + ∑ξβ γβαe (t) , α =1,2,3,
	β

(1.6.8)

где γ βαe -γ матрица определяется через углы ϕαe .

Поскольку в переносном движении точку M ‘переносят на себе’ различные точки среды, то говорить о её переносной траектории не имеет смысла.

r Переноснаяr скорость

Ve =V0 +ωre × ρr , (1.6.9).

Ускорение

ae = a0 +εe × ρ +ωe ×(ωe × ρ) ,

(1.6.10)

обозначены угловая скорость и угловое ускорение среды S, а Vr0 и a0 –

где через

ωe

и εe

скорость и ускорение полюса O. Здесь

V0 = ∑xα kα

ωe

и εe задаются формулами (1.5.14), (1.5.22) с заменой ϕα

на ϕαe .

5. Абсолютное движение.

Уравнение абсолютного движения точки M

r = r (t) ,

(1.6.11).

Скорость и ускорение

d 2 rr

& r

Va =

∑xα kα ;

= ∑xα kα ,

(1.6.12).

€

ρ ,

С другой стороны

= r0

ρ =

∑ξσ kσ .

drr

& €

€

Поэтому

Va =

+ ∑ξσ kσ + ∑ξσ kσ

=V0

+ω

× ρ

+ ∑ξσ kσ .

Первые два слагаемых правой части этого равенства дают переносную скорость, последнее –

относительнуюr r r. Поэтому

Va =Ve +Vr , (1.6.13).

Установленное равенство составляет суть следующей теоремы.

Теорема 1. Если точка совершает сложное движение, то в каждый момент времени её абсолютная скорость равна векторной сумме переносной и относительной скоростей.

Проекция (1.6.13) на оси Oξ1ξ2ξ3					и
Проекция (1.6.13) на оси Oξ1ξ2ξ3					и	Ox1 x2 x3 имеют вид
		€		=V0α + ∑				e	&
		Vaα		=V0α + ∑				ελναω€λξλ +ξα ,
							λν
	Vaα		0	+			e	0	&	.
	Vaα	= xα		+	∑εσταωα			(xτ − xτ ) +	∑ξσ γσα	.
		&
					στ				σ

Теорема 2 (Кориолиса). Если точка совершает сложное движение, то в каждый момент

времени её абсолютное ускорение равно векторной сумме переносного, относительного и добавочного (кориолисова) ускорении:

ara = are + arr + ark ,	ark = 2ωre ×Vr ,	(1.6.14).
Доказательство.	Из (1.6.13) следует

dVe

dVr

€

aa =

ρ = ∑ξα kα ,

где

dVre

{Vr0

+ωre × ρr}=

dVr0

dωre

× ρr +ωre

× dρr

= ar0 +εre × ρr +ωre

= a0

+εe

× ρ

+ωe ×(ωe × ρ)

+ωe

×Vr

= ae +ωe ×Vr ,

€

&& €

€

∑ξα kα = ∑ξα kα +∑ξα kα

= ∑ξα kα

+ωe ×∑ξα kα

	&	&	€
	€	&	€	=
× ∑ξα kα +∑ξα kα				=
	α	α

= arr +ωre ×Vrr .

В подвижных осях (1.6.14) принимает вид:

a€aα = a€α0 + ∑εστα (ε€σeξτ + 2ω€σe ξ&τ ) +ω€αωre ρr −ξαωe2 +ξ&&α , α =1,2,3

στ

ωre ρr = ∑ω€σe ξσ ,

a€α0 = ∑&x&σ0 γασ ,

ωe2 = ∑(ω€σ )2 .

В неподвижных осях:

e r

&&0

εστα [ε

r r

0 2

aaα = xα + ∑στ

σ ( xτ

− xτ ) + 2ωσVrτ ]+ arα

+ ωα ωe

(r − r0 ) − ( xα

− xα )ωe

Vrτ = ∑ξ&λγλτ ,

ωe2 = ∑

ωσe

2 ,

arα = ∑ξ&&σ γσα ,

ωre (rr−rr0 ) = ∑ωσe (xσ − xσ0 ) .

Пример (самолёт – ракета).

В начальный момент t=0 самолёт (точка M) находится в точке

(0,h). В дальнейшем движется с постоянной

					скоростью U в направлении x1 на высоте h. С
x1			M U M		точкой M связана система Mξ1ξ2 . Из точки (0,0)
x1					запускается ракета, скорость V которой постоянна
					запускается ракета, скорость V которой постоянна
		V q			по величине и всегда направлена в точку M.
k2	[r]	N	q		Определить абсолютную и относительную траектоии
k2			[q]		ракеты (траектории преследования).
O	k1		x2	x1	а) Относительная траектория определяется на основе
					(1.6.13):	Vr =V −Ve ,
(1.6.15).
В полярной системе координат (ось [ρ] направлена по MN) (ρ,θ ) соотношение (1.6.15)
имеет вид

Vrρ ≡ ρ& = −V −(−U cosθ) = −V +U cosθ ,

Vrθ ≡ ρθ& = 0 −U cos(π2 −θ) = −U sinθ .

Исключая из этих уравнений время, получим

dρ

cosθ

−

dθ

k =

= const .

sinθ

−1 θ

ρ = 1 h

sin k

При t=0 имеем ρ = h ,

θ =

. Поэтому

cos

есть искомая относительная

траектория. Случай ρ = 0 (попадание ракеты в самолёт)

возможен лишь при k<1, т.е. V>U. Если k=1, то ρ

→ h

при θ → 0 . Если k>1, то ρ → ∞ при

θ → 0 .

б)

Абсолютная траектория.

В системе координат Ox1 x2

(см. рис.)

Ut − x

h − x

cos(V

,k ) =

cos(V

, k

)

и, следовательно, компоненты скорости ракеты есть

=V cos(V ,k1 ) ;

V1 ≡ x1

V2 ≡ x2 =V cos(V ,k2 ) .

Откуда

dx1

Ut − x1

dx2

h − x2

(1.6.16).

∩

Исключим здесь параметр t, используя, что ON = s =Vt . Тогда

(h − x

)

dx1

− x = ks − x .

dx2

После дифференцирования последнего равенства по

и замены

ds =

2 + dx

для

z ≡

dx1

получим уравнение

dx2

1+ z2 = k h − x2

При t=0 имеем x2

= 0

2z = 2

− x

h − x

−k

. Поэтому

= −

dx2

и, следовательно, искомая

dx2

траектория имеет вид

2x +C

h − x

1+k

h h

− x

1−k

k ≠1

−

1+ k

1−k h

где

C = −

2hk

1 − k 2

Если k=1, то 2x

− x

)

−hln

h − x

Вычислим расстояние между самолётом и ракетой:

MN = (Ut − x )2 +(h − x				)2 =		1	(h − x2 )1+k	+	hk .
	1	2				2	hk		(h − x2 )k −1
Легко видеть, что	MN → h	при	x2 → h		и k=1. Если k>1, то NM → ∞ при					x2 → h	. И
	2

лишь при k<1 существует точка M* (x1* = 1−hkk 2 , x2* = h) пересечения траекторий самолёта и ракеты.

Лекция 7. Сложное движение твёрдого тела. Поступательное
движение. Сферическое движение. Сложение угловых
скоростей и ускорений. Представление произвольного
конечного перемещения твёрдого тела.
1.Сложное движение твёрдого тела.
		x3		M		Пусть в неизменяемой среде S движется
x3	h3			M		твёрдое тело T. Пусть Ox1x2 x3 абсолютная
x3	h3			T		система координат, а kα , α =1,2,3 , её
	R			T	x2
	R			r	x2
			r			направляющие орты. Система координат
			r	O		~
		R0	r0	O		Cη1η2η3 связана со средой, а kα ,
	Rc	R0	r0	x1		α =1,2,3 , её направляющие орты. Система
	Rc	C		x1	h2	€
O		C			h2	Oξ1ξ2ξ3 “жёстко” связана с телом, а kα ,
O		S		x2		α =1,2,3 , её направляющие орты. Движение
				x2		α =1,2,3 , её направляющие орты. Движение
						твёрдого тела T относительно среды S, т.е.
h1						твёрдого тела T относительно среды S, т.е.
h1						движение системы координат Oξ1ξ2ξ3
x1						относительно системы Cη1η2η3 , называется
						относительным и в дальнейшем
“выделяется” индексом “r”. Движение среды S в абсолютной системе координат, т.е. движение
системы Cη1η2η3	относительно Ox1x2 x3 , называется переносным и “выделяется” индексом
“e”. Наконец, движение твёрдого тела T в абсолютной системе координат, т.е. движение
системы Oξ1ξ2ξ3	относительно Ox1x2 x3 , называется абсолютным.

2. Относительное движение.

Относительное движение определяется заданием во времени координат точки O и углов Эйлера, т.е.

η0	=η0	(t) ,	ϕr	=ϕr	(t) , α =1,2,3	,
α	α		α	α	~	€
					~	€	≠ const . С учётом (1.7.1)
	Предполагается, что в этом движении k					β = const , k β	≠ const . С учётом (1.7.1)

известным образом вводится угловая скорость относительного движения, а именно,

ω = ∑ω€ € = ∑ω

r r ~r ~

r α kα α kα ,

αα

Компоненты ω€αr , ω~αr определяются кинематическими формулами Эйлера:

(1.7.1).

(1.7.2).

ω€1

= ϕ&1

sin ϕ2

sin ϕ3

+ ϕ& 2

cos ϕ

3 ;

ω1

= ϕ& 3 sin ϕ

sin ϕ3

+ ϕ& 2 cos ϕ1

~ r

ω€ 2

= ϕ&1

sin ϕ2

cos ϕ3

− ϕ& 2

sin ϕ

3 ;

ω2

= −ϕ& 3 sin

ϕ2 cos

ϕ2

+ ϕ& 2

sin ϕ1

~ r

ω€ 3

= ϕ&1

cos ϕ2

+ ϕ& 3 ;

ω3

= ϕ& 3 cos ϕ2

+ ϕ&1

~ r

Угловое ускорение относительного движения:

~ r

€

dωr

dω€α

dωα

εr

kα =

kα

∑ dt

где

ε€r

dω€α

ε~r

dωα

(1.7.3).

(1.7.4)

(1.7.5).

3. Переносное движение.

Переносное движение определяется заданием во времени координат точки C и

соответствующих углов Эйлера:
xαC = xαC (t) ,		ϕαe = ϕαe (t) ,	α =1,2,3 ,			(1.7.6).
r		~		~	€
Здесь kα	= const , kα ≠ const			. ( kα	играет роль kα	в формулах (1.7.1)-(1.7.5)). Для
этого движения справедливы формулы (1.7.2)-(1.7.5), в которых вместо ω€α , ε€α нужно
~	~	~	~	соответственно ωα ,		εα .
написать ωα , εα , а вместо ωα , εα				соответственно ωα ,		εα .

4. Абсолютное движение.

Абсолютное движение определяется заданием во времени координат точки O и

соответствующих углов Эйлера:
xα0 = xα0 (t) , ϕα =ϕα (t) , α =1,2,3 ,	(1.7.7).

Формулы (1.7.2)-(1.7.5) остаются справедливыми с очевидными поправками индексов.

5. Уравнения результирующего движения.

Введём обозначения:

R C =

OC,

R O =

OO,

R =

OM,

rr0 = CO,

rr = CM,

ρr = OM

Тогда центры всех трёх систем координат удовлетворяют равенству:

R O = R C + r0

(1.7.7)

где в системе

Ox1x2 x3

R O

= ∑xαo kα , R C = ∑xαc kα , r0

= ∑ηβo kβ = ∑ηβo γ βαe kα .

βα

Поэтому соотношение

xαO = xαC +

∑γ βαe (t)ηβ0 (t) ,

α =1,2,3 ,

(1.7.8)

определяет уравнения результирующего движения, а также означает, что абсолютное

движение есть “сумма” относительного и переносного. Какова γ – матрица результирующего


движения? Используя связь		€	,	~	и	~	имеем,
движения? Используя связь		kα	,	kα	и	k	имеем,
€	= ∑γαβ k β ,						(1.7.9).
kα	= ∑γαβ k β ,						(1.7.9).

Но справедлива и следующая цепочка равенств:

€	r ~	,
kα	= ∑γασ kσ	,
	σ

~	= ∑γσβe k β
kσ	= ∑γσβe k β
	β

и, следовательно,

€	r	e	,	(1.7.10).
kα	= ∑γαβγσβ k β		,	(1.7.10).
	σβ
Из (1.7.9) и (1.7.10) получаем искомую зависимость
γαβ	= ∑γασr	γσβe ,		(1.7.11).

6. Поступательное движение твёрдого тела и среды.

η0	=η0	(t) ,	ϕr	= 0 ;		xC = xC (t) ,			ϕe	= 0 .
α	α		α				α	α	α
В этом случае
γασr	= δασ ;				γβσe	= δβσ ,		(α, β,σ ) =1,2,3 ,
и, в силу (1.7.11),
					γαβ = δαβ		.

Соотношение (1.7.8) принимает вид

xαO = xαC + ∑ηβ0 δαβ = xαC +ηα0 .

Таким образом, сложение двух поступательных движений приводит поступательному движению.

7. Сферические движения среды и твёрдого тела.

	ηα0 = const	, ϕαr = ϕαr (t) ;	xαC = const , ϕαe = ϕαe (t) .
Результирующее	движение	есть:	γαβ = ∑γασr γσβe ,
	xαO = xαC + ∑ηβ0 γβαe ,		γαβ = ∑γασr γσβe ,
		β	δ
			δ

т.е. это движение общего вида. В частном случае O = C, т.е. ηβ0 = 0 , уравнения движения имеют вид

xαO = xαC = const , γαβ =γαβ (t) ,

т.е. приводят к сферическому движению. Если же γαβr = (γαβe )−1 , то γαβ =δαβ , т.е. переходим к поступательному движению.

8.Сферическое движение среды и поступательное движение твёрдого тела приводят к движению общего вида.


Имеем						xαC = xαC (t) , ϕα0 = 0 .
		ηα0 = const		, ϕαr =ϕαr (t) ;
Тогда	γαβe =δαβ		и, следовательно,		γαβ =γαβr	. из (1.7.8) следует

xαO = xαc + η0α ,

это движение общего вида. Если же среда движется поступательно, а твёрдое тело вращается вокруг неподвижной точки, т.е.

η0	=η0	(t) ,	ϕr	= 0 ;	xC = const ,	ϕe =ϕe (t) .
α	α		α		α	α α

Результирующее движение:

xαO = xαC + ∑ηβ0 γβαe , γαβ =γαβe

есть движение общего вида. Таким образом, произвольное движение твёрдого тела можно представить как поступательное с полюсом плюс сферическое движение вокруг этого полюса.

9. Зависимость между угловыми скоростями.

Теорема 1. Если твёрдое тело совершает сложное движение, то в каждый момент времени

			ω =ωe +ωr		,	(1.7.12).
	Доказательство		.	Для	любой точки M твёрдого тела справедливо равенство (1.6.13), т.е.
Vr	=Vre +Vrr	,				(1.7.13)

где

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.12.2018257.02 Кб291. Криминалистика как наука.doc
#
09.09.201958.37 Кб201. Социально-экономическое развитие в 1964-1982...doc
#
18.03.201621.17 Кб811. частное право.docx
#
14.05.2015457.22 Кб271.doc
#
14.05.2015154.11 Кб171.doc
#
14.05.20151.19 Mб491.Папин А.А. Теоретическая механика.pdf
#
16.07.201975.26 Кб211.Семилет - Деминовой заоч Культуролог.doc
#
03.09.201955.81 Кб1810 пунктов Фашистской политики.doc
#
19.12.201880.19 Кб2410-20.docx
#
12.09.2019173.06 Кб710-Рабочие программы учебных дисциплин.doc
#
16.11.201983.97 Кб1210. Иоанн де Мурис.doc