1.Папин А.А. Теоретическая механика

m.ν

x3

.mµ

ξ3

Fν µ

Fµ ν

ρµ

ρν

ξ2

C

rµ

rν

rc

O

x2

ξ1

x1

х1х2х3 задаётся радиус-вектором

rrν (t) .

Силы,

действующие на точку системы условно

O

делятся на внешние Frν(e)

и внутренние Fν(i)

- силы взаимодействия между точками системы.

Центром масс (центром инерции) системы материальных точек ( в

дальнейшем

с.м.т.)

называется точка С, определяемая радиус-вектором

n

r

r

∑mν rν

ν =1

r

=

,

(14.1)

c

m

n r

где n – число точек в системе, mν

- масса ν точки ,

×mν

r

m = ∑rν

υν

. Величины

Kr = ∑mν υrν ,

Lr0

= ∑rrν ×mν υrν

,

ν =1

, (14.2)

T = 1 ∑mν υν2

n

n

ν =1

ν =1

2

называется соответственно импульсом, моментом импульса и кинетической энергией

с.м.т.

Производные величины:

n

r

r

,

n

r r

,

r

t2

n

r

(14.3)

A = ∑ ∫Fν drν

N = ∑Fν υν

S

= ∫

∑Fν dt

,

ν =1 ( L)

ν =1

t1 ν =1

r

r

r

r

r

r

∑mν

r

r

= rc

×mυc + ∑(ρν ×mν

ρ&ν )+ rc ×

∑mν ρ&ν

+

ρν

×υc

ν

ν

ν

Но два последних слагаемых равны нулю в силу (14.8). Поэтому

L0

= rrc ×mυrc + Lr c ,

Lr c ≡ ∑ρrν ×mν ρr&ν

,

(14.9)

ν

Дифференцируя (14.9) по времени

dLr

r

dυr

dLr c

r

r

r

r

0

≡ rc ×m

c

+

= ∑rc

× Fν(e) +

∑ρν × Fν(e)

,

dt

dt

dt

ν

ν

и учитывая очевидное равенство

dυc

= rrc ×∑Frν(e)

rrc ×m

dt

ν

dL

= ∑

r

r

r c

ρν × Fν(e)

, (14.10)

dt

ν

с.м.т. равна сумме мощностей

Лемма 3. Производная по времени от кинетической энергии

действующих на систему внешних и внутренних сил

dT

= N (e)

+ N (i)

, (14.11)

dt

Доказательство:

Умножая

скалярно

уравнение

(14.5)

на

скорость

υrν

и суммируя

по всем ν

от 1 до n, получим

r dυrν

d

1

2

r(e) r

r(i)

r

(e)

(i)

∑mνυν

=

∑mν

υν

= ∑Fν υν + ∑Fν υν

≡ N

+

N

dt

dt

2

ν

ν

ν

ν

Теорема

Кёнига

Кинетическая

энергия

с.м.т. равна

сумме

кинетической

n

энергии точки массы m = ∑mν ,

находящейся в центре инерции,

и кинетической энергии

T =

1

mυc2 +T′ ,

T′ =

1

∑mν ρr&ν2 , (14.12)

2

2

ν

Доказательство: С учётом (14.71 ) имеем

+ ρr&

υr

= υr

,

(14.13)

ν

c

ν

Поэтому

1

∑mν (υrc + ρr&ν )2 =

1

1

T =

υc2

∑mν +

∑mν

ρr&

2 +υrc ∑mν ρr&ν

2

2

2

ν

ν

ν

ν

где последнее слагаемое правой части, в силу (14.8 2 ), равно нулю.

Подставляя (14.12) в (14.11)

∑υrc (Frν(e) + Frν(i) )+ ∑ρr&ν (Frν(e) + Frν(i) )

dT

= mυrν

dυc

+

dT′

=

dt

dt

dt

ν

ν

и учитывая равенство

dυc

= υrc ∑(Fν(e) + Fν(i) )

mυc

dt

ν

получим

dT′

= N)(e) + N)(i) ,

N)(e)

≡

∑ρr&ν Frν(e) ,

N)(i) ≡ ∑ρr&ν Frν(i)

, (14.14)

dt

ν

ν

T −T = A(e) + A(i)

,

T = T (0) ,

(14.15)

0

0

где

A(e) = ∫t

N (e) (τ) dτ

,

A(i)

= ∫t

N (i) (τ) dτ

0

0

точек. Если с.м.т. является

есть

работы внешних и внутренних

сил по

перемещению

2°.Принцип Даламбера для с.м.т.

Введение силы инерции Jrν = −mν arν

позволяет уравнение (14.5) представить в виде

Frν(e) + Fν(i) + Jν

= 0 , (14.16)

Суммируя (14.16) по ν, получим аналог (14.6):

Fν(e) + Fγ = 0

,

Fγ ≡ ∑Jν

,

(14.17)

rrν

ν

Если же (14.16) умножить векторно на

и просуммировать по всем ν от 1 до n, то

(14.16) можно придать вид

≡ ∑rrν × Jν

M0(e) + M0γ = 0

,

M0γ

,

(14.18)

Скалярное умножение (14.16) на υrν

ν

и суммирование даёт

N (i) + N (e) + Nγ = 0

,

Nγ ≡ ∑Jν

υrν

, (14.19)

ν

пусть в момент времени

t скорость точки равна υ , а масса m(t) = m1(t) + m2 (t) , где m1(t)

d m

r

- масса присоединившихся частиц

1

≥ 0 , имеющих скорость

u

,

m (t) - масса

dt

1

2

d m

r

отделившихся частиц

2

≤ 0 , имеющих скорость u2

;

dt

за малый промежуток времени ∆t

к частице присоединяется масса ∆m1 и отделяется

∆m2

,

т.е.

в момент времени t система состоит из точек {m,υr}, {∆m1 ,ur1},

а в момент t′ = t + ∆t

′

= m + ∆m1 −

∆m2

,

r′

r

r

∆m2

r

},

соответственно из точек {m

υ

= υ + ∆υ}, {

, u2

2

u

m

υ

υ

∆ m2

u1

∆ m1

где

∆υ

- изменение

скорости за ∆t .

Импульсы этих

систем соответственно в моменты

времени t и

t′

есть

K = mυr + ur1 ∆m1

Пусть F , ∆F1 , ∆F2

Kr′ = (m + ∆m1 −

∆m2

)(υr + ∆υr)+

∆m2

ur2

-r

равнодействующие

внешних сил, приложенные к

массам

m, ∆m1 , ∆m2 , причём ∆Fi

→ 0

при

∆t → 0,

а

F - конечен. Тогда, с учётом (14.6),

Kr′− Kr = Sr = ∫t′ (Fr + ∆Fr1 + ∆Fr2 )dτ = (Fr + ∆Fr1 + ∆Fr)(Θ) ∆t

t

где

Θ [t , t + ∆t ]. Поделив

на

∆t

и

переходя к

пределу при

∆t → 0 ,

окончательно

получим

(

∆m2

= −∆m2 ):

dυ

r

r

dm

r

dm

m

=

F + ur

1

+ ur

2

, (14.20)

dt

dt

urr = ur −υr ,

urr

−υr

1

dt

2

где

= ur

относительные

скорости

частиц,

а

силы

1

1

2

2

r

r

dm

r

r

dm

Φ = ur

1

,

Φ

= ur

2

называются соответственно тормозящей и реактивной.

dt

dt

1

1

2

2

γν

=

∆mν . Если существует конечный предел этого отношения при n → ∞ и ∆Vν → 0 ,

∆Vν

то он является функцией точки (ξ1, ξ2 , ξ3 ) и называется плотностью γ твёрдого тела в данной

точке. Таким образом,

∑∆mν

= ∫d m = ∫γ dV , (14.21)

m = nlim→∞

∆Vν →0

ν

(m)

(V )