Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алтайский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1.Папин А.А. Теоретическая механика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.05.2015

Размер:

1.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

ark , позволяет получить следующее

(12.3)

Лекция 12. Динамика относительного движения точки. Основной закон, силы инерции. Принцип Галилея. Относительное равновесие точки. Относительное движение у поверхности Земли. Относительный покой. Зависимость веса от широты места. Закон Бэра. Отклонение падающих тел от вертикали.

При изучении сложного движения точки наряду с неподвижной (абсолютной) системой координат O x1x2 x3 вводится относительная система Oξ1ξ2ξ3 , которая в общем случае

может быть неинерциальной. Если установить закон относительного движения точки, то можно оценить ошибку, которую допускают, пренебрегая неинерциальностью системы. Здесь используется тот же приём, что и при изучении движения несвободной точки – присоединение дополнительных специальных сил к закону Ньютона.

1°. Основной закон, силы инерции.

Предполагается, что система Oξ1ξ2ξ3 «жёстко» связана с некоторым твёрдым телом (средой), уравнения движения которого (положение полюса О и углы Эйлера) имеют стандартный вид

Xα0 = Xα0 (t), ϕα = ϕα (t), α =1,2,3,

(12.1)

ξ2

ξ3

ξ1

Закон движения точки М с массой m в системе

x1x2 x3

d 2rr

drr

F(t

,r,

(12.2)

dt2

с учётом известного результата о представлении абсолютного ускорения ar в виде суммы относительного arr , переменного are и кориолисова

соотношение

m arr = F + J e + J k ,

Здесь J e , J k называются соответственно переменной силой инерции и кориолисовой силой инерции: Jr e = − m are = − m [ ar0 + εre × ρr + ωr e × (ωr e × ρr )] , (12.4)

Jrk = −m ark = −2m[ωre ×υrr ] ,

(12.5)

где a0 − ускорение полюса, ωe и εe суть угловые скорость и ускорение, выражающиеся через углы Эйлера по формулам (в Oξ1ξ2ξ3 )

ω)1 = ϕ&1 sinϕ2 sinϕ3 +ϕ&2 cosϕ3 ω)2 = ϕ&1 cosϕ3 −ϕ&2 sinϕ3

ω)3 = ϕ&1 cosϕ2 +ϕ&3

Поскольку относительная скорость υr по определению равна относительной производной от «относительного» радиус-вектора ρ , силы инерции в общем случае можно считать функциями

	~r
времени t, ρr	и ddtρ . Сила F(t, ρr, υr) , определяя величину механического взаимодействия

материальной точки с другими телами, зависит не от абсолютного положения и абсолютной скорости точки, а от относительного расположения и относительной скорости взаимодействующих тел. Эти относительные характеристики определяются равенствами

r2 − r1 = ρ2 − ρ1 ,

υr2 −υr1 = ρr&2 − ρr&1 ,

которые не зависят от системы отсчёта. Тем самым, силы взаимодействия не зависят от системы

и, следовательно, силу F

можно представить как функцию переменных t, ρr

dρ

. Тогда

(12.3) принимает вид

dρ

m ar

≡ m

f (t, ρ

) ≡ F

+ J

(12.6)

аналогичный основному закону динамики свободной точки. Соотношение (12.5) называется

уравнением относительного движения материальной точки. Обычно (12.6) записывают в виде нормальной системы

dξα

dξ&α

1 )

(Fα + Jα + Jα ),

= ξα ,

α =1,2,3,

(12.7

)

для которой, как правило, рассматривается задача Коши

ξα (0) = ξ0 α ,

ξ&α (0) = ξ&0 α ,

(12.7 2 )

2°. Принцип относительности Галилея.

Предположим, что

система

Oξ1ξ2ξ3

движется поступательно

и прямолинейно, т.е.

ar = ωr = εr = 0, J e = Jrk

= 0

уравнение

(12.6)

принимает

вид,

совпадающий с

уравнением абсолютного движения (9.1). Это означает, что относительное движение тел будет проходить по тем же законам, что и абсолютное, т.е. система Oξ1ξ2ξ3 будет инерциальной. Тем

самым, инерциальных систем оказывается бесчисленное множество и все они равноправны. Это утверждение и составляет суть принципа Галилея.

3°. Относительное равновесие точки.

Будем говорить, что точка находится в положении относительного равновесия покоя, если

υrr =0.

Fr + Jre = 0 является необходимым и достаточным для относительного

Теорема Условие

равновесия первоначально покоившейся точки.

Доказательство.

Если υrr = 0 , то указанное условие следует из (12.6)

Если же F

+ J e = 0 , то из (12.6) имеем

~ r

dυr

= −2ωre ×υrr

Откуда

1 d

υrr

2 = −2(ωre ×υrr )υrr = 0

2 dt

υrr

= const = 0.

и, следовательно,

4°. Относительное движение у поверхности Земли.

ξ3

S (Солнце)

ξ2

ξ1

Предполагается, что гелиоцентрическая система

Sx1x2 x3

является

инерциальной. Система

Oξ1ξ2ξ3 , связанная с Землёй,

таковой не является, в связи с вращением Земли вокруг своей

оси и Солнца. На точку М действуют силы: G -сопротивления,

F0 - притяжения к Земле ( m0 -

масса Земли), Frs

- притяжения к Солнцу, ( ms

- масса Солнца).

Угловая скорость

Ω вращения Земли постоянна (Ω = 729•10−7

); расстояние d0 и d

сек

соизмеримы ( d0 ≈ d ). Уравнение (12.6)

имеет в этом случае вид

~ r

dυ

F + F

+ J e + J k

+ G , (12.8)

где

Jre = −m[ar

+ Ω×(Ω× ρr)]

(12.9)

= − f

m ms

≈ − f

m ms

dr0

(12.10)

d 2

d02

Поскольку точка О движется по закону

m ar

= − f

m0 ms

≈ d, можно

d02

считать Frs = m ar0 и придать правой части (12.8) следующий вид

~ r

dυ

= P + G

+ J k

(12.11)

где сила

Pr = Fr0 − m Ω×(Ω× ρr) ≡ m gr

, (12.13)

называется силой тяжести или весом, а

g - ускорением силы тяжести у поверхности Земли.

Сила тяжести «образуется»

силой притяжения и силой инерции.

5°. Относительный покой (точка на нити у поверхности Земли).

Ω

ψ P

Условие равновесия точки М:

Причём

P + G = 0 ,

(12.14)

P = F + J e

(12.15)

В ∆-ке OMS угол

ϕ – геоцентрическая широта места, ψ - географическая; α = OMS =

=ψ −ϕ. Радиус Земли R, угловая скорость Ω. Из ∆-ка OMS :

sinα

sin(π

−ψ)

Jre

= mΩ

R = ρ cosϕ, ρ =

Величина отклонения направления силы тяжести от направления земного радиуса, характеризующаяся углом α , имеет значение

tgα =	1		ρ Ω2 sin 2ϕ					, (12.15 )
tgα =	2	F0		2		2		, (12.15 )
			− ρ Ω		cos		ϕ
		m	− ρ Ω		cos		ϕ		π ) .
		m
Это отношение равно нулю на экваторе (ϕ = 0)					и на полюсах (ϕ = ±
									2

6°. Зависимость веса от широты места.

Равенству (12.15) после скалярного умножения на вектор er = PPr можно придать вид

P =	Fr	(cosα −	m ρ Ω2 cos	ϕr	cos(ϕ +α)	) , (12.16)

	0			F0

позволяющий исследовать поведение силы тяжести в зависимости от широты места. Считая α ≈ 0 , получим более простую зависимость

P = Fr0 (1 − m ρ Ω2rcos2 ϕ )

Заметим, что

min P = P	ϕ=0,π	, max P = P	ϕ=	π	,	3π	= m g0


				2		2

где g0 - ускорение силы тяжести на полюсах.

7°. Закон Бэра.

Ω

Ω1

Ω

. 2

Рассматривается движение точки в касательной к поверхности Земли плоскости. Вектор угловой скорости Ω = Ω1 + Ω2 , где Ω1 лежит в указанной плоскости, а Ωr2 - ортогонален этой плоскости. На точку действуют сила тяжести P и реакция плоскости N . В силу

(12.11)	m ar = P + N + J k + J k
	m ar = P + N + J k + J k				,
где	r		1	2
где	= −2mΩ ×υr						×υr
J k	= −2mΩ ×υr		, J k	= −2mΩ		2	×υr
1	1	r	2			2	r
и ясно, что J1k - ортогонален плоскости, а			J2i лежит в плоскости. Предполагая отсутствие

движения в нормальном к плоскости направлении, получим P + N + J1k = 0 и, следовательно,

m arr = J2k .

Анализ последнего соотношения показывает, что в северном полушарии точка должна отклоняться вправо от направления своего движения.

8°. Отклонение падающих тел от вертикали.


	Ω		ξ3
			ξ3
			M.
O. .			ξ2
O. .
		ϕ	ξ1
.			ξ1
.

Рассмотрим падение на Землю с весом Н материальной точки М с массой m, считая:

H R << 1 (R –

радиус Земли),

геоцентрическая широта есть

ϕ =const, отклонением от

вертикали (углом

α) можно пренебречь. Система

Oξ1ξ2ξ3

указана на рисунке. В

этой

системе

P = (0,0,−m g),

Ω = (−Ωcosϕ,0,Ωsinϕ)

уравнение

относительного движения

точки

имеет вид

dρ

P − 2mΩ×

ρ = (ξ ,ξ

,ξ

)

dt2

В том числе, в проекциях

ξ&&

= 2Ωξ& sinϕ ,

(12.171 )

ξ&&

= −2Ω(ξ& cosϕ +ξ&

sinϕ) ,

(12.172 )

ξ&&3

= −g + 2Ωξ&2 cosϕ ,

(12.173 )

ξ (0) = ξ

(0) = 0 ,

(0) = H ,

ξ&(0) = 0 ,

i =1,2,3 , (12.174 )

Решение задачи (12.17) имеет вид

sin2 Ωt

g sin 2ϕ[1 −

Ω2 t2

ξ2

g cosϕ

[1 −

sin 2Ωt

]t ,

2Ω

2Ωt

ξ3

= H

−

g t2

[sin2

ϕ +

sin2 Ωt

cos2

ϕ]

Ω2 t2

И в случае Ω = 0

совпадает с известным

= ξ

= 0 ,

H −

g t2

Лекция 13. Сферический маятник. Маятник Фуко.

1°. Уравнения движения сферического маятника.

	O.		Θ		x1
			.
		ϕ N		eϕ
		M.		eϕ
x2		M.			er
eΘ	x3		P = mg		er
eΘ

Точка

веса

P = m gr

движется по сфере радиуса R. Сферические

координаты:

= ϕ ,

q2 = Θ ,

q3 = r

Идеальная связь:

f ≡ r −l = 0 ,

(13.1)

Начальные условия при t=0:

r = r

= l , υ

= υ0

ϕ = ϕ

, Θ = Θ

, υ

= 0 , (13.2)

Физические компоненты силы тяжести

P = m g k

есть

= mg cos(90 +ϕ) = −mg sinϕ

= mg cos90 = 0

= mg cosϕ

Уравнения движения в проекциях на оси ϕ , Θ , r :

sinϕ cosϕ) = −m g sinϕ ,

ml (ϕ − Θ

(13.3 )

sinϕ dt

(Θsin

ϕ)

= 0 ,

(13.3 )

− m g (ϕ

sin

ϕ) = m g cosϕ − N ,

+ Θ

(13.3 )

Первые интегралы. Из

(13.32 )

следует

ϕ = c = const ,

(13.4)

Θ sin

Тогда

(13.32 )

принимает вид

(13.5)

ϕ − sin3 ϕ cosϕ + l sinϕ = 0

Откуда, после умножения (13.5) на

ϕ , имеем последовательно

d 1

dt ( 2

+ 2sin2 ϕ − l

+ sin2 ϕ −

l cosϕ) = h = const

cosϕ) = 0 ϕ

Замена u = cos ϕ приводит к уравнению

2 g

= (h + l u)(1 −u

) − c

≡ F(u) ,

(13.6)

Если дополнительно к (13.2) предположить

< 0 , ϕ0 < 0 ,

0 < ϕ0 < π , υϕ

то можно определить знак

u в начальный момент времени

t =0= −ϕ0 sinϕ0

> 0

и, следовательно, придать (13.6) стандартный вид

F(u)

t = U∫

dξ

(13.7)

U 0

F(u)

Поскольку F(u) есть кубический многочлен, то интеграл в (13.7) будет эллиптическим.

Зависимость между u и t может быть выражена с помощью эллиптической функции Вейерштрасса. Таким образом, функция u(t) найдена. Из (13.4) имеем

dΘ

Θ − Θ0

= c

dτ

(13.8)

−u2

∫0 1 −u2

(τ)

Искомые углы ϕ(t), Θ(t)

определяются соотношениями

(13.7),

(13.8). Искомая реакция

связи N определяется из (13.3 3 ):

N = ml h + 3m g cosϕ ,

(13.9)

А постоянные интегрирования

c, h – из начальных данных

c =

υΘ0

sinϕ0 ,

h =

υΘ0

−

cosϕ0

Проведём краткий качественный анализ полученного решения. В силу (13.6) функция

неотрицательна и, очевидно,

F(−∞) = +∞ ,

F(−1) = −c2 ,

F(u0 ) ≥ 0 , F(1) = −c2 , F(+∞) = −∞,

т.е. F(u) имеет три вещественных корня

uα (α = 1,2,3) :

− ∞ < u3 < −1 < u2 ≤ u0 ≤ u1 < 1 ,

из которых, в силу свойств

u = cosϕ , третий

корень −

u3 отбрасывается, а

для

двух

оставшихся из представления

F(u) = −

[(u −u )(u −u

)(u −u )] ≥ 0 ,

вытекает условие (u −u1)(u −u2 ) ≤ 0 .

Тем самым,

u2 ≤ u ≤ u1

ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2

и, следовательно, точка

М движется в шаровом поясе

ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 . Заметим,

что при

ϕ1 = ϕ2 т.е. u = const ,

решение отвечает

круговому

коническому маятнику.

Условия

υΘ0 = ϕ0 = 0 приводят к решению Θ = Θ0 , описывающему круговой математический маятник.

2°. Маятник Фуко (эффект Фуко).

Рассматривается задача о движении сферического маятника с учётом вращения Земли, а именно, система Ox1x2 x3 , связанная с Землёй, вращается с постоянной угловой скоростью

Ω = Ωk .

ξ3

ξ2

O ϕ

ξ1

Точка О подвеса маятника находится на широте ϕ.

С точкой О связана система координат

Oξ1ξ2ξ3 , где Oξ3 направлена «вверх» по вертикали,

Oξ2 - по параллели на восток, Oξ1 –

по меридиану на юг. На точку М действуют:

сила тяжести

P = m gr ; кориолисова сила

инерции J k = −2m Ω×υrr ; реакция нити N = λ f ,

λ - множительсвязи f :

f ≡ ∑ξi2 −l = 0 .

i =1

(12.11) для данного случая имеет вид

Связь считается идеальной. Уравнение движения точки

m ar = P + N + J k

(13.10)

В дальнейшем удобнее воспользоваться цилиндрической системой (ρ,Θ, z) :

ξ1 = ρ cosΘ,

ξ2 = ρsin Θ,

ξ3 = z .

При этом уравнение связи принимает вид

f ≡ ρ2 + z2 −l2 = 0

z = −l (1−

ρ2

)2 , (13.11)

Откуда
	∂ f		= 2 ρ ,	∂ f	= 0 ,	∂ f
	∂ρ			∂Θ		∂z

Отклонением силы тяжести		от	направления		радиуса
r			€
пренебрегаем, т.е. считаем g		= −g k3 .
Из равенства			r	r
					3 €	€
			Ω = Ωk3 = ∑Ωα kα

α =1

= 2 z .

OO (углом α из (12.15*))

выводим	r	€	€

	Ω = −(Ω cosϕ) k1		+ (Ωsinϕ) k3 .

Пусть (erρ , erΘ , erz ) - орты системы (ρ, Θ, z)

Поскольку	€
r	€	r
g	= −g k3	= g1 eρ +

		r	€	,	r	€
. Нетрудно видеть, что eρ k3				,	eΘ k3 .
g er	+ g er	,
2 Θ	3 z

				то	g = g = 0, g = −g .
					1	2	3
Аналогично для		Ω :
Ω = Ω er		+ Ω er	+ Ω er		= −Ωcosϕ cosΘ er		+ Ωcosϕsin Θ er	+ Ωsinϕ er	,
1	ρ	2 Θ		3 z		ρ	Θ	z
а для вектора	ur = Ω×υrr			имеем

erρ ur = Ω1

ρ&

Система

erΘ

erz

+ Ω(ρsin

ϕ + z cosϕ cosΘ)eΘ −

Ω2

Ω3

= Ω(z cosϕsin Θ − ρ Θsinϕ)eρ

ρ Θ

Θ)ez

− Ω(ρ Θcosϕ cosΘ + ρ cosϕsin

(13.10) принимает вид

& 2

ρ −

= 2

ρ −

2Ω( z cosϕsin Θ − ρ Θsinϕ) ,

(13.12 )

(13.12

)

ρ Θ + 2 ρ Θ = −2Ω( ρsinϕ + z cosϕ cosΘ)

z = −g +

λ + 2Ω(ρ Θcosϕ cosΘ + ρ cosϕ sin Θ)

, (13.12

)

Начальные условия

t =0= Θ0 , ρ

t =0

= 0 , ρ

t =0= υ0 ,

(13.12

)

t =0= Θ0

В силу (13.11) считаем

z = z(ρ) .

Искомыми

являются

ρ = ρ(t) , Θ = Θ(t) и

постоянная λ . Ограничимся рассмотрением случая малых колебаний и примем условие

ρ << l . Тогда		z = −l , т.е. движение является плоским. Из (13.12 2 ) имеем
	d	&	2		2		&
	dt	[Θρ		+ Ωρ		sinϕ]= 0	Θ = −Ωsinϕ ,	(13.13)

Угол Θ характеризует плоскость, в которой движется маятник (плоскость качания). Скорость «вращения» этой плоскости, в силу (13.13), равна Ωsinϕ . Сама плоскость поворачивается в

сторону отрицательного направления отсчёта угла Θ , т.е. против вращения Земли (эффект Фуко, 1851 г.). Полный оборот совершается за время

T =	2π	=	2π	1		;	2π	≈ 24 часа .
T =	&	=	Ω sin		ϕ	;	Ω	≈ 24 часа .
	Θ		Ω sin		ϕ		Ω

Втом числе за один час угол поворота составит

α= 360T ° =15°sinϕ .

Для маятника в Исаакиевском соборе

С. Петербурга

( l

= 98 м , ϕ =

′

59°57 ) имеем

α = 13°. Пусть Ω ≈ 0 .

Из (13.12 3 ) имеем λ

= −

g m

а из (13.121 ):

l ρ = 0

ρ = ν

l .

sinγ t

;

υ0

Тогда реакция связи Nr

равна

Nr = λ f = − gem [ρ erρ + z erz ]= −m g ρl erρ − erz ≈ m g erz

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.12.2018257.02 Кб281. Криминалистика как наука.doc
#
09.09.201958.37 Кб201. Социально-экономическое развитие в 1964-1982...doc
#
18.03.201621.17 Кб811. частное право.docx
#
14.05.2015457.22 Кб271.doc
#
14.05.2015154.11 Кб171.doc
#
14.05.20151.19 Mб491.Папин А.А. Теоретическая механика.pdf
#
16.07.201975.26 Кб211.Семилет - Деминовой заоч Культуролог.doc
#
03.09.201955.81 Кб1810 пунктов Фашистской политики.doc
#
19.12.201880.19 Кб2410-20.docx
#
12.09.2019173.06 Кб710-Рабочие программы учебных дисциплин.doc
#
16.11.201983.97 Кб1210. Иоанн де Мурис.doc