1.Папин А.А. Теоретическая механика
.pdf
и, следовательно, вектор F = (F1 , F2 ,0) лежит в плоскости ξ3 |
= 0 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ3 |
|
|
|
|
|
ξ2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ξ1 F |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кроме того, (15.11 ) даёт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
€ |
dω€1 |
|
+ |
|
€ |
− |
€ ω€ |
ω€ |
= |
|
|
c |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||
|
dt |
|
M 1 |
0 |
, |
|
|
(15.7 |
|
) |
||||||||||||||||||||||||||||||
I1 |
|
|
(I3 |
|
|
|
I 2 ) |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
€ |
dω€2 |
+ |
|
€ |
|
− |
€ ω€ |
ω€ |
= |
|
|
c |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||
dt |
|
M 2 |
0 |
, |
|
|
(15.7 |
|
) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
I 2 |
|
|
(I1 |
|
|
|
I3 ) |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
и, следовательно, вектор Mrc |
|
= (0,0, M 3c ) |
перпендикулярен плоскости ξ3 |
= 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть F = 0 , M c |
= M c = 0 и при t=0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
c |
|
|
&c |
|
= ϕ2 |
& |
|
= ϕ3 |
& |
= 0 |
, |
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x3 |
= x3 |
|
= ϕ |
2 |
|
= ϕ3 |
|
|
(15.8 ) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Из (15.1) в частности имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I€ |
− I€ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
dx c |
|
|
|
|
|
|
|
dω€ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3 |
= x&c , |
|
|
|
1 |
|
= |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
ω€ ω€ |
, |
|
|
(15.82 ) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I€1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
3 |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
dx&c |
|
|
|
|
|
|
dω€ |
|
|
I€ |
− I€ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
3 |
= 0 , |
|
|
|
2 |
= |
|
3 |
|
|
|
1 |
ω€ |
ω€ |
|
, |
|
|
|
(15.83 ) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I€2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Нетрудно видеть, что система (15.8) имеет нулевое решение. Но система (15.8) удовлетворяет условиям теоремы об однозначной разрешимости нормальной системы
дифференциальных уравнений. Тем самым, x3c |
=ϕ2 |
=ϕ3 |
= 0 и, следовательно, |
тело совершает |
|||||||||||||||||||||||||||
плоское движение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения плоского движения твёрдого тела следуют из системы (15.1) и имеют вид |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
&&c |
|
|
|
&&c |
= F2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(15.9 |
1 |
) |
|
|||||
m x1 = F1 , |
m x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ), |
|
|
|
|||||||||||
ω€ |
= ω€ |
= |
|
|
ω€ |
= ϕ& |
|
€ |
ϕ&& |
= |
|
€ c |
c |
& |
c |
|
ϕ |
|
ϕ& |
|
2 |
|
|
|
|||||||
0 , |
1 |
, I3 |
|
|
|
|
|
|
1 , |
(15.9 |
|
) |
|
||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
1 |
|
M 3 (t, xα , xα , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Начальные условия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=ω€0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
xc |
= xc |
, |
|
x&c |
=υc |
, α =1,2 |
, |
ϕ |
1 |
=ϕ0 , |
ϕ& |
1 |
, |
(15.93 ) |
|
||||||||||||||||
α |
0α |
|
|
α |
|
0 α |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В качестве примера рассмотрим движение тяжелого цилиндра радиуса R по наклонной |
|||||||||||||||||||||||||||||||
плоскости, считая, что движение происходит в плоскости |
x3 |
|
= 0 и |
ось |
цилиндра |
(ось |
|||||||||||||||||||||||||
симметрии) |
есть |
главная |
ось |
инерции. |
На |
|
цилиндр |
действуют вес |
P , |
реакция |
связи |
||||||||||||||||||||
R = N + Q , пара трения качения с моментом М. Движение начинается из состояния покоя, в котором ось цилиндра ортогональна плоскости x3 = 0 .
M |
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
O |
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
α |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
||
x2 
α
Это означает, согласно теореме, что и в дальнейшем движение будет происходить в этой плоскости. Уравнения движения имеют вид (15.9):
|
|
|
|
&&c |
= N |
− P cosα , |
&&c |
= P sin |
α −Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
m x1 |
m x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
€ |
&& |
= Q R − M , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
I3 |
ϕ1 |
|
|
|
|
= x2 |
= ϕ1 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
t = 0 : x1 |
= R , x2 = ϕ1 = x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
c |
c |
|
|
&c |
&c |
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение связи xc = R определяет реакцию N = P cosα . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A) |
Чистое скольжение: Q = M = 0 . Решение есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
ϕ |
1 |
= 0 , xc = R , |
xc |
= |
1 |
g t 2 |
sinα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
B) |
Чистое качение (x2 = Rϕ1 ) : |
M = −R N |
. Решение имеет вид |
€ |
= |
|
|
P R |
|
|
: |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
I |
2 |
2 g |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Q = |
P |
(sin α + 2 f cos α ), ϕ1 = |
g t 2 |
(sin α − f cos α ), |
x2 |
= R ϕ1 |
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и существует при следующих ограничениях: x2 ≥ 0, т.е. tgα ≥ f . Отсутствие скольжения означает, что сила трения Q < K1 N , т.е. tgα < 3 K1 − 2 f . Т.о. f ≤ tgα < 3K1 − 2 f . C) Качение со скольжением ( tgα > 3K 1 − 2 f ) : Q = K N . Решение имеет вид
x 2c = |
1 |
g t 2 (sin α − K cos α ), |
ϕ 1 = |
g t 2 |
(K − f ) cos α |
|
2 |
R |
|||||
|
|
|
|
4°.Вращение свободного твёрдого тела вокруг главной центральной оси.
Теорема. Для вращения свободного твёрдого тела вокруг исходного положения одной из его главных осей инерции необходимо и достаточно, чтобы тело первоначально вращалось вокруг этой оси, а внешние силы имели равный нулю главный вектор и параллельный оси главный момент относительно центра масс.
Доказательство. Оси системы координат |
Cξ1ξ2ξ3 есть главные оси инерции. Уравнения |
||||||||
вращения тела вокруг оси |
Cξ3 есть rrc |
= 0 , |
ϕ1 = ϕ1 (t) , ϕ2 = ϕ3 |
= 0 . Из (15.4) следует |
|||||
ω€ |
= ω€ |
= 0 , ω€ |
= ϕ& |
1 |
, |
а из (15.71 ), (15.7 |
2 ) вытекает, что M c = M c = 0 . Тем самым, в |
||
1 |
2 |
3 |
|
|
r |
|
1 |
2 |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
таком движении F |
= 0, |
M c = (0, 0, M 3c ). |
|
|
|||||
x3
ξ3
|
|
|
|
|
|
Mc |
|
ξ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
ϕ1 |
ξ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
r |
|
c |
) |
c |
&c |
c |
&c |
= ϕ2 |
& |
& |
при t=0. |
|
|
|
||||||||||||
F = 0, M c = (0, 0, M 3 |
и x1 |
= x1 |
= x2 |
= x2 |
= ϕ2 |
= ϕ3 = ϕ3 |
|||||||
Как и |
в |
случае |
системы |
(15.82 ), (15.83 ) , |
в |
силу |
единственности, |
получим |
|||||
rc = 0 , |
ω€1 |
= ω€2 |
= 0 , что и доказывает теорему. |
|
|
|
|
|
|
||||
5°. Вращение несвободного твёрдого тела вокруг неподвижной оси,
закреплённой в точках О (опорный подшипник) и A (осевой подшипник). Сопутствующая система координат Oξ1ξ2ξ3 выбирается таким образом, чтобы центр масс лежал в плоскости
ξ2 |
= 0 . На тело действуют внешние силы F , момент M 0 относительно точки О, реакции |
|||||||||||||||||||||||
r |
r |
, A2 |
, 0). Причём радиус-вектор OA = (0, 0,ξ3A ). |
|||||||||||||||||||||
O |
= (O1 , O2 , O3 ), A = (A1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
ξ3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
O |
|
|
|
|
K |
3 |
|
|
k3 .C |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K2 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
K1 ϕ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
k |
1 |
|
|
ξ1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Уравнения движения |
|
r |
|
r |
r |
|
|
|
(ξ1c , 0, ξ3c ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
m arc = F + O + A, OC = |
||||||||||
|
r |
|
~r |
|
r |
r |
|
r |
|
r |
|
dL |
|
dL |
0 |
|
|
||||
|
0 |
= |
|
+ω |
× L |
0 |
= M |
0 |
+ OA× A , |
|
|
dt |
dt |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
(ϕ1 |
= ϕ1 (t), ϕ2 = ϕ3 = 0) |
|||||
Кинематические формулы Эйлера |
||||||||||
ω€1 = ω€2 = 0, ω€3 = ϕ&1
(15.101 )
(15.102 )
(15.4) принимает вид
Тем самым, |
|
r |
|
€ |
|
r |
|
€ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ω = ϕ1 |
k3 |
ε = ϕ1 |
k3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
& |
|
|
|
&& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
€ |
|
|
€ |
|
r r |
r r |
r |
|
|
2 |
|
r r |
|
2 |
c |
|
c |
; |
|||
ac = ε ×OC +ω ×(ω ×OC) |
= ε ×OC −ω |
|
OC +ω (ω OC) |
= −ϕ1 |
ξ1 |
K1 |
+ϕ1 ξ1 |
K2 |
||||||||
|
Lr0 = {L10 , L20 , L30 }, Lα0 |
= ∑I€δ0α ω€δ = I€α0 |
& |
|
|
|
&& |
|
|
|
||||||
|
3 ϕ&1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ =1
Кроме того, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
€A |
€ |
|
€ |
€A |
€ |
€ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
OA× A = −ξ3 |
A2 K1 |
+ξ3 |
A1 K2 |
|
|
|
|||||||||||
Система (15.10) может быть представлена в следующем виде |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
c |
&2 |
= |
€ |
|
€ € |
|
|
|
€0 |
&& |
&2 |
€0 |
= |
€ |
1 |
A € |
, |
||||
− mξ1 |
ϕ1 |
F1 |
+ O1 + A1 , |
I13 |
ϕ1 |
−ϕ1 |
I2 3 |
M |
0 |
−ξ3 A3 |
||||||||||||
c |
&&2 |
|
€ |
|
|
€ |
+ |
€ |
|
|
|
€0 |
&& |
&2 |
€0 |
= |
€ 2 |
A € |
, |
|||
mξ1 |
ϕ1 = |
F2 + O2 |
A2 , |
I2 3 ϕ1 |
+ϕ1 |
I13 |
M |
0 |
+ξ3 A1 |
|||||||||||||
|
|
|
€ |
|
|
€ |
|
|
|
|
|
|
|
€0 |
&& |
|
€ |
3 |
|
|
||
|
O = F3 |
+ O3 , |
|
|
|
|
|
|
I33 |
ϕ1 |
= M 0 |
|
|
|||||||||
€ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В общем случае M 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
есть функция t, ϕ1 , ϕ2 . Поэтому последнее уравнение данной системы |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
€0 |
&& |
|
€ |
3 |
|
|
|
& |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
I |
33 ϕ1 = |
M |
0 (t, ϕ1 ,ϕ1 ), |
|
(15.11 ) |
|
|
|||||||||||||
при начальных условиях |
|
|
|
|
|
|
0 ; |
|
|
|
|
= ω€0 |
|
(15.112 ) |
|
|||||||
|
|
ϕ |
1 |
|
t |
=0 |
= ϕ |
ϕ& |
1 |
|
t=0 |
, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
служит для определения угла Эйлера ϕ1 (t) . Условие разрешимости задачи Коши (15.11) можно записать стандартным образом, переходя к рассмотрению нормальной системы для
функций ϕ1 (t), |
ω€3 (t) = ϕ&1 (t) . |
После определения ϕ1 (t) в исходной системе остаётся пять |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
€ |
€ |
€ |
|
|
€ € |
. Легко видеть, что |
|
||||||||||||||||||||
уравнений для определения O1 , O2 , O3 |
, |
A1 , A2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
€ |
|
|
|
1 |
|
|
€0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
€0 |
|
|
€ |
2 |
)≡ |
€ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
A1 |
= |
ξ€3A |
|
(I2 3 ϕ1 |
+ϕ1 |
I13 |
− M |
0 |
A1 |
(t) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&& |
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
€ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
€ |
1 |
|
|
€0 |
|
|
|
|
|
2 |
€0 |
|
|
€ |
|
|
||
|
|
|
|
|
A2 |
= |
ξ€3A |
(M |
0 |
− I13 |
ϕ1 +ϕ1 |
I2 3 |
)≡ |
A2 |
(t) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&& |
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
€ |
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
& |
|
|
€ |
|
|
|
€ |
, |
€ |
|
€ |
|
|||||
|
|
|
|
|
O1 |
= −mξ1 ϕ1 − F1 |
|
− A1 |
O3 |
= −F3 , |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
€ |
|
|
|
|
|
|
c |
&& |
|
|
|
|
€ |
|
|
€ |
|
|
€ |
|
= 0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
O2 |
= mξ1 |
ϕ1 |
− F2 − |
A2 , A3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
€ |
€ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
€ |
€ |
|
Величины A1 , |
A2 называются динамическими реакциями. Реакции Ai |
, Oi имеют порядок |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
r |
|
2 |
. Они отличны от нуля даже в случае отсутствия внешних сил |
€ |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
ω |
|
|
(Fi = 0). Если тело |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
& |
&& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
покоится, т.е. ϕ1 |
= 0, ϕ1 = 0 , реакции называются статическими. Имеем |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
€ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
€ |
|
|
|
|
|
M |
0 |
|
|
|
€ |
|
|
|
€ |
|
€ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
A1 |
= − |
|
ξ A |
, |
O1 |
= −F1 |
− A1 |
, |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
€ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
€ |
|
|
|
M |
0 |
|
|
|
|
|
€ |
|
|
|
€ |
|
€ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
A2 |
= |
|
ξ A |
|
|
, |
|
|
O2 |
= −F2 |
− A2 , |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
€ |
= 0 , |
|
|
|
|
|
€ |
|
|
|
€ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A3 |
|
|
|
|
O3 |
|
= −F3 |
|
|
|
|||||||||||||
Необходимым и достаточным условием совпадения динамических и статических реакций является выполнение следующих равенств
I2 3 |
ϕ1 + I13 |
ϕ1 = 0 , |
ϕ1 |
ξ1 = 0 , |
|||
€0 |
&& |
€0 |
&2 |
&2 |
c |
||
− I |
13 |
ϕ1 |
+ I |
2 3 |
ϕ1 = 0 , |
ϕ1 |
ξ1 = 0 |
€0 |
&& |
€0 |
&2 |
&&2 |
c |
||
Последние, ввиду возможности выбрать значение |
угла |
ϕ1 (t) произвольным, приводят к |
|||||
равенствам |
|
I€103 = I€203 = 0 , ξ1c = 0 |
|||||
|
|
||||||
6°. Физический маятник (вращение твёрдого тела вокруг горизонтальной неподвижной оси под действием силы тяжести).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ2 |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ3 |
|
|
|
|
ϕ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
C |
|
x2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
ξ1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|||||||
Неподвижная |
система |
Ox1 x2 x3 |
и |
|
подвижная Oξ1ξ2ξ3 указаны на рисунке. Ось Ox1 |
||||||||||||
направлена вниз. Сила |
тяжести |
P = m gr |
параллельна |
этой оси. Центр масс точки С |
|||||||||||||
принадлежит |
оси |
Oξ1. Угол |
|
|
между |
осями |
Ox1 |
и Oξ1 |
равен |
ϕ1 . |
|||||||
OC =h, CC′=h sinϕ1 , I€303 - момент |
инерции |
относительно оси |
Oξ3. Уравнение момента |
||||||||||||||
импульса имеет вид |
|
€0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&& |
= −m g h sin ϕ1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
I 3 3 |
ϕ1 |
|
|
|
|||||||||||
Поделив на I€303 , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
&& |
|
+ |
m g h |
|
sinϕ1 = 0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ϕ1 |
|
|
I€303 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При изучении движения математического маятника возникает аналогичное уравнение, которое записывается в виде
ϕ |
+ ω |
|
|
sin ϕ |
= 0 , ω |
|
= |
l |
||
&& |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если положить |
|
|
|
I€303 |
|
|
|
|
|
|
|
l = |
|
, |
(15.12) |
|
|||||
|
mh |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
то исходную задачу можно свести к задаче о движении математического маятника. Такой математический маятник называют синхронным данному физическому, а его длину l - приведённой длиной физического маятника. Точку O′ такую, что OO′ = l , называют центром
качения физического маятника. Пусть I€3c3 = mrc2 , rc - радиус инерции тела относительно оси
Cξ3′ |
|
|
|
Oξ3 . |
Согласно теореме Гюйгенса-Штейнера I€303 |
= I€3c3 + m h2 . Из последнего |
||||||||
|
|
|||||||||||||
соотношения и (15.12) следует |
|
I€303 |
|
|
rr2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
l = |
+ h = |
+ h > h |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
m h |
h |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поскольку rc |
= const , то l – функция h. Причём |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
lim l → ∞, |
lim l = ∞, |
|
d 2l |
> 0, min l |
= l (r ) = 2 r . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
h→+0 |
h→∞ |
|
|
|
d h2 |
|
|
c |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если рассмотреть период малых колебаний |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
T |
= 2π |
|
l |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
то нетрудно заметить следующее интересное свойство:
если h > rc и h → rc , то h, l и T уменьшаются; если же h < rc и h → rc , то h, l и T увеличиваются. Таким образом, меняя точку подвеса, можно регулировать величину периода.
Теорема (Гюйгенса). Точка подвеса и центр качания физического маятника являются взаимными точками, если центр качания сделать точкой подвеса, то бывшая точка подвеса станет центром качания.
Доказательство. Пусть O′- точка подвеса, h′ = O′C , l′ - приведённая длина. Из рисунка
имеем h′ = l − h = rc2 . Кроме того, по определению h
l′= rc2 +h′ h′
и, следовательно,
|
r 2 |
r 2 h |
|
r 2 |
r 2 |
|||
l′ = |
c |
+ h′ = |
c |
+ |
c |
= h + |
c |
= l , |
h′ |
rc2 |
h |
h |
|||||
что и завершает доказательство.