5.8. Методы наивысшей алгебраической точности
Подынтегральную функцию f(x) так же, как и в методах Ньютона-Котеса, будем аппроксимировать полиномами различных степеней. Однако в отличие от методов Ньютона-Котеса узлы для построения интерполяционного полинома выберем из условия обеспечения минимальной погрешности интегрирования. Впервые задача построения квадратурных формул подобного типа была решена Гауссом для интегралов вида
(5.43)
а для интегралов
(5.44)
с произвольной весовой функцией (х) - Кристоффелем [1].
Для того, чтобы узлы квадратурных формул не зависели от пределов интегрирования, линейным преобразованием переменной х осуществляется переход к стандартным пределам интегрирования [-1,1],
,
(5.45)
где t - новая переменная.
Тогда интеграл (5.43) принимает вид
(5.46)
В дальнейшем будем рассматривать вычисление следующего интеграла:
Квадратурная формула Гаусса-Кристоффеля для интегралов типа (5.44) при n узлах содержит 2n параметров
где сk - весовые коэффициенты; хk - узлы; R - погрешность квадратуры. Полином степени 2n-1 также имеет 2n коэффициентов. Следовательно, можно так подобрать параметры сk и хk, чтобы формула (5.47) была точной, т.е. R=0, для любого полинома степени не выше 2n-1 [1].
Так, при n=1 квадратура (5.47) будет точной для полиномов нулевой и первой степени. Этому требованию удовлетворяет метод средних прямоугольников, который и является простейшим из методов Гаусса-Кристоффеля для весовой функции р(х)=1.
В случае двух узловых точек (n = 2) квадратура будет точной для полиномов не выше третьей степени (2n-1=3). Пусть подынтегральная функция интеграла (5.46) представима полиномом с коэффициентами аk
(5.48)
тогда интеграл от полинома принимает значение
(5.49)
Рис. 5.8. Метод Гаусса при n = 2
Интерполяционный полином Ньютона, совпадающий в узлах t0 и t1 со значениями подынтегральной функции 0 и 2, будет иметь первую степень (рис. 5.8).
(5.50)
где
Возьмем интеграл от полинома (5.50) и подставим в результат значения функции (5.48) в узлах t0 и t1:
(5.51)
Сравнивая правые части выражений (5.49) и (5.51), получим систему двух уравнений относительно узлов t0 и t1
откуда получим
(5.52)
При таких узлах формула (5.47) с учетом соотношения (5.51) принимает вид
(5.53)
где
узлы t0 и t1 являются корнями полиномов Лежандра второй степени. Весовые коэффициенты сk равны единице.
С увеличением числа узлов их значениями остаются корни полиномов Лежандра степени n, а весовые коэффициенты ck определяются через узлы по формуле [1]:
Обычно в вычислительной практике весовые коэффициенты и узлы задаются в виде констант из справочных таблиц. Обширные таблицы для различных весовых функций р(х) имеются в справочнике [36].
Верхняя граница погрешности квадратурной формулы Гаусса оцениваете выражением [1]
(5.54)
которое позволяет сделать вывод об эффективности метода для интегрирования функций высокой гладкости.
5.8A. Методы наивысшей алгебраической точности
Общий вид квадратурной формулы для любого из рассмотренных выше методов можно записать в виде:
(1)
В предыдущих методах интегрирования узлы xk квадратурной формулы были заданы, и мы определяли только веса функции - ck.
Однако, формула (1) содержит 2n параметров, столько же коэффициентов имеет многочлен степени 2n-1. Значит, параметры xk и ck можно подобрать так, чтобы формула (1) была точной для любого многочлена степени не выше 2n-1. Впервые задача построения квадратурных формул подобного типа была решена Гауссом для интегралов вида
(5.43)
а для интегралов
(5.44)
с произвольной весовой функцией (х) - Кристоффелем [1].
Рассмотрим частные случаи. Пусть нужно получить квадратурные формулы для n=1. Необходимо определить два параметра: с1 и x1. Она должна быть точной для всех полиномов степени не выше 2*1-1=1, в частности, для полиномов P0(x)=1 и P1(x)=x. Запишем уравнения:
Из первого уравнения получаем, что
Из второго:
Итак, квадратурная формула для n=1 имеет вид:
А это есть, собственно, формула средних прямоугольников для интервала [a,b].
Пусть нужно получить квадратурные формулы для n=2. Необходимо определить четыре параметра: с1 , с2 , x1 и x2. Она должна быть точной для всех полиномов степени не выше 2*2-1=3, в частности, для полиномов P0(x)=1, P1(x)=x, P2(x)=x2 и P1(x)=x3. Запишем уравнения:
Эту систему четырех алгебраических уравнений можно решить. Однако, решить ее проще, если рассмотреть сначала общую теорию.
Известно, что существует полная система алгебраических многочленов, ортогональных на отрезке [a,b]:
Составим по узлам интегрирования многочлен степени n:
Функция
при m≤n-1
есть многочлен степени не выше 2n-1.
Поэтому для нее формула (1) должна быть
точной:
так как
.
Значит многочленωn(x)
ортогонален всем многочленам Pm(x)
степени m≤n-1.
Разложим ωn(x) в ряд по ортогональным многочленам Pm(x):
Подставим этот ряд в условие ортогональности:
,
для m≤n-1. Следовательно,
Значит, узлами функции Гаусса нули многочлена Pn(x), ортогональной на отрезке [a,b].
Получим выражения для весов ck. Составим функцию:
Эта функция равна во всех узлах, кроме m-го, где она равна 1.
Эта функция есть многочлен степени n-1, т.е. для нее формула Гаусса точна. Подставим ее в формулу (1):
Из этой формулы нельзя ничего сказать о знаке ck. Заметим, что функция ψ2(x) есть многочлен степени 2(n-1)=2n-2, т.е. для нее формула (1) тоже верна:
отсюда видно, что все веса строго положительны. Кроме того, подставляя в формулу (1) функцию f(x)=1 , получим соотношение:
откуда следует равномерная ограниченность весов.
Полиномы Лежандра.
Список:
L0(x)=1
L1(x)=x
L2(x)=(1/2)(3x2-1)
L3(x)=(1/2)(3x3-3x)
L4(x)=(1/8)(35x4-30x2+3)
L5(x)=(1/8)(63x5-70x3+15x)
Существует рекуррентное соотношение между полиномами Лежандра разной степени:
(n+1)Ln+1(x)=(2n+1)xLn(x)-nLn-1(x)
Nn= 2/(2n+1)
Все корни полиномов вещественные, положительны, и расположены в интервале [-1,1]. Между каждой парой корней многочлена Ln(x) расположен один и только один корень многочлена Ln-1(x).
Параметры формулы Гаусса:
n=1; c1=2;
Для того, чтобы узлы квадратурных формул не зависели от пределов интегрирования, линейным преобразованием переменной х осуществляется переход к стандартным пределам интегрирования [-1,1],
,
(5.45)
где t - новая переменная.
Тогда интеграл (5.43) принимает вид
(5.46)
Квадратурная формула Гаусса-Кристоффеля для интегралов типа (5.44) при n узлах содержит 2n параметров
где сk - весовые коэффициенты; хk - узлы; R - погрешность квадратуры. Полином степени 2n-1 также имеет 2n коэффициентов. Следовательно, можно так подобрать параметры сk и хk, чтобы формула (5.47) была точной, т.е. R=0, для любого полинома степени не выше 2n-1 [1].
Так, при n=1 квадратура (5.47) будет точной для полиномов нулевой и первой степени. Этому требованию удовлетворяет метод средних прямоугольников, который и является простейшим из методов Гаусса-Кристоффеля для весовой функции р(х)=1.
В случае двух узловых точек (n = 2) квадратура будет точной для полиномов не выше третьей степени (2n-1=3). Пусть подынтегральная функция интеграла (5.46) представима полиномом с коэффициентами аk
(5.48)
тогда интеграл от полинома принимает значение
(5.49)
Рис. 5.8. Метод Гаусса при n = 2
Интерполяционный полином Ньютона, совпадающий в узлах t0 и t1 со значениями подынтегральной функции 0 и 2 будет иметь первую степень (рис. 5.8).
(5.50)
где
Возьмем интеграл от полинома (5.50) и подставим в результат значения Функции (5.48) в узлах t0 и t1:
(5.51)
Сравнивая правые части выражений (5.49) и (5.51), получим систему двух уравнений относительно узлов t0 и t1
откуда получим
(5.52)
При таких узлах формула (5.47) с учетом соотношения (5.51) принимает вид
(5.53)
где
узлы t0 и t1 являются корнями полиномов Лежандра второй степени. Весовые коэффициенты сk равны единице.
С увеличением числа узлов их значениями остаются корни полиномов Лежандра степени n, а весовые коэффициенты ck определяются через узлы по формуле [1]:
Обычно в вычислительной практике весовые коэффициенты и узлы задаются в виде констант из справочных таблиц. Обширные таблицы для различных весовых функций р(х) имеются в справочнике [36].
Верхняя граница погрешности квадратурной формулы Гаусса оцениваете выражением [1]
(5.54)
которое позволяет сделать вывод об эффективности метода для интегрирования функций высокой гладкости.