Глава 5 определенные интегралы

5.1. Классификация методов

Ставится задача вычислить интеграл вида

(5.1)

где а и b - нижний и верхний пределы интегрирования; f(x) - непрерывная функция на отрезке [а, b].

К численному интегрированию обращаются, когда аналитическую формулу для первообразной интеграла (5.1) нельзя записать через элемен­тарные функции или когда подобная запись имеет сложный вид.

Сущность большинства методов вычисления определенных интегралов состоит в замене подынтегральной функции f(x) аппроксимирующей функ­цией (x), для которой можно легко записать первообразную в элементарных функциях, т.е.

(5.2)

где S - приближенное значение интеграла; R - погрешность вычисления интеграла.

Используемые на практике методы численного интегрирования можно сгруппировать в зависимости от способа аппроксимации подынтегральной функции. Дадим краткую характеристику групп наиболее распространенных методов.

Методы Ньютона-Котеса основаны на полиномиальной аппроксимации подынтегральной функции. Методы этого класса отличаются друг от друга степенью используемого полинома, от которой зависит количество узлов, где необходимо вычислить функцию f(x). Алгоритмы методов просты и легко поддаются программной реализации.

Сплайновые методы базируются на аппроксимации подынтегральной функции сплайнами, представляющими собой кусочный полином. Методы различаются по типу выбранных сплайнов. Такие методы имеет смысл использовать в задачах, где алгоритмы сплайновой аппроксимации приме­няются для обработки данных.

В методах наивысшей алгебраической точности (методы Гаусса-Кристоффеля и другие) используют неравноотстоящие узлы, расположенные по алгоритму, обеспечивающему минимальную погрешность интегрирования для наиболее сложных функций при заданном количестве узлов. Методы различаются способами выбора узлов и широко используются для интегри­рования, в том числе они применимы и для несобственных интегралов. Хотя из-за необходимости хранения числовых констант и стандартизации пределов интегрирования программы указанных методов требуют несколько большего объема памяти по сравнению с методами Ньютона-Котеса.

В методах Монте-Карло узлы выбираются с помощью датчика случайных чисел, ответ носит вероятностный характер. Методы оказываются эффек­тивными при вычислении большой кратности.

В класс специальных группируются методы, алгоритмы которых разра­батываются на основе учета особенностей конкретных подынтегральных функций, что позволяет существенно сократить время и уменьшить погреш­ность вычисления интегралов.

Рис. 5.1. Зависимость полной погреш­ности R от количества разбиений N интервала интегрирования

Независимо от выбранного метода в процессе численного интегри­рования необходимо вычислить приближенное значение S интеграла (5.1) и оценить погрешность R (5.2). Погрешность будет уменьшаться при увели­чении количества разбиений N интервала интегрирования [а, b] за счет более точной аппроксимации подынтегральной функции, однако при этом будет возрастать погрешность за счет суммирования частичных интегралов, и последняя погрешность с некоторого значения N₀ становится преобла­дающей (рис. 5.1) [20]. Это обстоятельство должно предостеречь от выбора чрезмерно большого числа N и привести к необходимости разработки способа оценки погрешности R выбранного метода интегрирования.

В многих методах интегрирования (Ньютона-Котеса, сплайновые и.др.) используется равномерная сетка узлов. Обозначим и. Разобьем интервалнаn участков равной длины, тогда координатыi-го узла будут иметь вид .Значения функции в узлах сетки будем записывать в виде:.