5.4. Метод трапеций

Подынтегральную функцию заменим на участке [х_j, х_j + h] полиномом первой степени P₁(х). Как и в методах прямоугольников, такая аппрокси­мация неоднозначна. Одним из возможных способов является проведение прямой через значения функции на границах интервала интегрирования (рис. 5.6). В этом случае приближенное значение интеграла определяется площадью трапеции

(5.20)

Формула интегрирования для метода трапеций имеет вид:

(5.20а)

Рис. 5.6. Метод трапеций

Априорную погрешность R_i метода трапеций получим путем интегри­рования тейлоровского разложения подынтегральной функции около точки х_j

(5.21)

и интеграл

(5.22)

С помощью разложения (5.21) вычислим подынтегральную функцию в точке x_j+h

откуда

(5.23)

Подставляя произведение (5.23) в выражение (5.22), получим

Следовательно, главный член погрешности метода трапеций на одном интервале будет

(5.24)

Если интегрирование проводится путем разбиения отрезка [x₀, х_n] на несколько интервалов, то общую погрешность получим суммированием частичных погрешностей (8.24)

(5.25)

Отсюда мы видим, что метод трапеций имеет второй порядок интегрирования. Это ожидаемый результат.

С другой стороны, метод средних прямоугольников также имеет второй порядок интегрирования. И как видно, из формул (5.7) и (5.25) погрешность метода трапеций даже больше в два раза больше по абсолютной вели­чине по сравнению с методом средних прямоугольников, хотя аппроксимация подынтегральной функции проводилась полиномом первой, а не нулевой степени. По-видимому, выбранный вариант аппроксимации подынтегральной функции прямой, проходящей через ее значения на границах, не является оптимальным. Задача выбора способа аппроксимации полиномом заданной степени с наименьшей возможной погрешностью была решена Гауссом, что привело к развитию целого класса методов (п. 5.8)

Поскольку метод трапеций и метод средних прямоугольников имеют одинаковый порядок интегрирования, то если подынтегральная функция задана аналитически, то предпочтительнее из методов второго порядка применять метод средних прямоугольников вследствие его меньшей погрешности.

5.5. Метод Симпсона

Будем заменять подынтегральную функцию f(x) на частичном интервале интерполяционным полиномом второй степени. Для этого число разбиений должно быть четным – 2n. Итак, рассмотрим интервал от x_i до x_i+2, заменим подынтегральную функцию f(x) на этом интервале интерполяционным полиномом второй степени Р₂(х) - параболой, проходящей через узлы х₀, х₁, x₂, (рис. 5.7), тогда

где R_i - погрешность вычисления интеграла.

Рис. 5.7. Метод Симпсона

Для записи полинома Р₂(х) воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона (3.6) для трех узлов

(5.27)

где

разделенные разности; h - расстояние между узлами.

Введем новую переменную z = х – x_i, тогда х = z + x_i и полином (5.27) принимает вид

(5.28)

Теперь вычислим интеграл от полинома (5.28)

(5.29)

Последнее соотношение называют квадратурной формулой Симпсона, или формулой парабол.

Окончательная формула интегрирования по методу Симпсона для интервала [a,b] имеет вид:

Формулу Симпсона можно получить и с помощью первой и второй формул Рунге, примененных к вычислению интеграла методом трапеций. Запишем два приближенных значения интеграла от функции f(x) на интервале [x₀, х₂] с шагами h и 2h по формуле трапеций (5.20).

(5.30)

Интегралы (5.30) подставим в формулы (5.15) и (5.16) и получим уточненное значение интеграла

которое совпадает с формулой Симпсона (5.29). Для оценки погрешности формулы Симпсона разложим подинтегральную функцию f(x) в ряд Тейлора около точки х₁ и проинтегрируем разложение почленно в интервале [x_i,x_i+2]

(5.31)

Суммируя разложение около точки x₁ для функции f(x) в узлах x₀ и x₂ получим, что

тогда интеграл (5.31) принимает вид

Первое слагаемое в правой части формулы (5.32) совпадает с формулой Симпсона, значит, второе слагаемое является главным членом погрешности для интеграла на интервале [x₀, x₂]

Если интеграл вычисляется на интервале [x₀, x_n] путем разбиения на четное число интервалов [x_j-1, x_j], на каждой паре которых приме­няется формула Симпсона для узлов x_j-1, x_j, x_j+1, то полная погрешность будет суммой правых частей соотношения (5.33). При малой величине шага h нa основании метода средних прямоугольников получим

тогда полная погрешность запишется в виде

(5.34)

Следовательно, формула Симпсона имеет четвертый порядок точности с очень малым численным коэффициентом в остаточном члене. Формула Симпсона позволяет получить высокую точность, если четвертая производная подынтегральной функции не слишком велика. В противном случае методы второго порядка могут дать большую точность, чем метод Симпсона. Например [51], для функции f(x) = -25x⁴ + 45х² - 7 формула трапеций при n=2 для интеграла в пределах [-1, 1] дает точный результат, равный 4, тогда как по формуле Симпсона получим результат, не совпадающий даже по знаку (-8/3).