5.6. Вычисление интегралов с заданной точностью

Программная реализация формул Рунге или Эйткена позволяет вычислить определенные интегралы с заданной точностью, когда выбор необходимого числа разбиений интервала интегрирования осуществляется автоматически. При этом, конечно, можно использовать многократное обращение к подпрограммам соответствующих методов интегрирования, не изменяя алгоритмов самих методов. Однако для методов, использующих равноотстоящие узлы, удается модифицировать алгоритмы и уменьшить вдвое количеств вычислений подынтегральной функции за счет использования интегральных сумм, накопленных при предыдущих кратных разбиениях интервала интегрирования.

Так, два приближенных значения S_k и S_k-1 интеграла

(5.36)

вычисляемые по методу трапеций с шагами h_k и h_k-1 связаны соотношением

(5.37)

где

Формула (5.37) получена методом математической индукции. Если выбрать начальный шаг интегрирования h_o = х_n - x_о, то приближенное значение интеграла (5.36) по методу трапеций запишется в виде

(5.38)

где

При уменьшении шага h₀ вдвое получим приближенное значение того же интеграла

(5.39)

где

Сравнение формул (5.38) и (5.39) позволяет записать соотношение между значениями S_o и S₁

которое позволяет получать приближенное значение интеграла S₁ с шагом h₁, вычислив подынтегральную функцию только в одном дополнительном узле х_n/2. Продолжая процесс уменьшения шага интегрирования вдвое, приходим к формуле (5.37), по которой каждое новое приближенное значение интеграла (5.36) получаем, вычислив дополнительно подынтегральную функцию только в 2^k-1 узле. Обращение же к подпрограмме метода трапеций по­требовало бы вычисления функции в (2^k+1) узле.

Аналогичным способом получены соотношения между двумя прибли­женными значениями S_k и S_k-1 интеграла (5.36), вычисляемые по методу Симпсона с шагами h_k и h_k-1

(5.40)

где

5.7. Применение сплайнов для численного интегрирования

В п. 3.6 рассмотрена интерполяция кубическими сплайнами, коэффициенты которых определяются из условий Лагранжа, условий непрерывности первой и второй производных в узлах и условий на концах интервала. Вследствие этого коэффициенты всех сплайнов оказываются связанными системой линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Рассмотрим применение сплайнов для вычисления определенных интегралов или так называемую сплайн-квадратуру [19]. Пусть необходимо вычислить интеграл вида

(5.41)

Разобьем интервал [x₀, x_n] на участки

i=1,…n, на каждом из которых подынтегральную функцию f(x) заменим кубическим сплайном _j(х):

где

Тогда интеграл (5.41) запишется как сумма интегралов от сплайнов:

Последняя формула упрощается при подстановке в нее выражений (3.26), (3.34) и (3.35) для коэффициентов а_j, b_j, и d_j.

(5.42)

Нетрудно видеть, что первая сумма в формуле (5.42) есть формула трапеций, а вторая сумма - поправочное слагаемое для формулы трапеций, примененной к сплайнам, так как при малых значениях h, коэффициенты с_j и с_j+1 близки по величине, коэффициент, следовательно,

Значит, погрешность сплайн-квадратуры меньше, чем погрешность метода трапеций. Однако алгоритм интегрирования с помощью сплайнов сложнее алгоритмов методов трапеций и Симпсона за счет необходимости решения системы линейных уравнений для определения коэффициентов сплайнов с_j. Поэтому рационально использовать сплайн-квадратуры в комплексе, когда сплайны применяются для сглаживания зависимостей, обработки экспериментальных данных и т. п.