5.3. Апостериорные оценки погрешностей по Рунге и Эйткену

Априорные оценки погрешностей (5.7) и (5.10) можно записать в виде

(5.12)

где А - коэффициент, зависящий от метода интегрирования и вида подын­тегральной функции; h - шаг интегрирования; р - порядок метода. Зависи­мости (5.12) подчиняется главный член погрешности большинства методов численного интегрирования. При численном дифференцировании погрешность также может быть оценена с помощью формулы (5.12), при этом порядок р зависит от количества узловых точек.

Пусть вычисляется значение некоторой переменной w с шагом h, тогда

(5.13)

где w_h - приближенное значение w, Ah^p - главный член погрешности; О(h^р+1)- бесконечно малая величина порядка h^p+1. Вычислим ту же самую переменную w с шагом kh

(5.14)

где коэффициент пропорциональности k может быть как больше, так и меньше единицы. Коэффициент А в выражениях (5.13) и (5.14) будет одинаковым, так как вычисляется одна и та же переменная, одним и тем же методом, а от величины шага h значение А не зависит.

Пренебрегая бесконечно малыми величинами, приравняем правые части соотношений (5.13) и (5.14) с учетом формулы (5.12) и получим

откуда найдем главный член погрешности

(5.15)

Формула (5.15) называется первой формулой Рунге [1] и позволяет путем двойного просчета величины w с шагами h и kh оценить погрешность. Так как оценка осуществляется после вычисления, то она является апосте­риорной. Формула (5.15) имеет большое практическое значение, так как позволяет провести оценку погрешности без изменения алгоритма исполь­зуемого вычислительного процесса. При уменьшении шага h главный член погрешности R₀ будет стремиться к полной погрешности R.

После определения R₀ можно вычислить уточненное значение искомой величины

(5.16)

последнее соотношение называют второй формулой Рунге. К сожалению, погрешность уточненного значения остается неопределенной, хотя, как правило, она меньше значения R₀.

Формулы Рунге справедливы для всех вычислительных процессов, для которых выполняется степенной закон (5.12). Для определения порядка метода p необходимо проведение априорной оценки погрешности, что не всегда легко осуществить.

Английский математик Эйткен предложил способ оценки погрешности для случая, когда порядок р метода неизвестен. Более того, алгоритм Эйткена позволяет опытным путем определить и порядок метода. Для этого необходимо третий раз вычислить значение величины w с шагом k²h, т.е.

или

(5.17)

Приравнивая правые части выражений (5.14) и (5.17), получим соотношение

подставляя в которое значение R₀ из первой формулы Рунге (5.15), найдем

(5.18)

Полученное соотношение (5.18) совместно с первой формулой Рунге (5.15) позволяет оценить погрешность при использовании вычислительного метода с неизвестным порядком р. Более того, порядок р можно определить, логарифмируя левую и правую части формулы (5.18),

(5.19)

Для выбранного вычислительного процесса алгоритм Эйткена доста­точно применить только один раз определения порядка метода, а затем использовать формулу Рунге, требующую только двукратного вычисления искомой величины. Формулу (5.19) можно использовать для тестирования программ, реализующих вычислительные методы с известной априорной погрешностью. Априорный и апостериорный порядки должны получаться совпадающими для правильных программ. Конечно, это совпадение будет приближенным, так как при получении алгоритмов Рунге и Эйткена учиты­вались только главные члены погрешности.