Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум2013

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

5.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 209 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

5. Обчислення визначеного інтеграла

5.4.Обчисліть:

1 2

1) dx;

12 4x2 4x 5

	1				dx
3)					dx			;


	1 2				8 2x x2
	1				dx
5)					dx		;


				x2 2x 2
	0			x2 2x 2
	2				3x 2
7)					3x 2		dx;


				4 2x x2
	0			4 2x x2
	1		x		1
9)			x		1	dx;
9)		x	3		2	dx;
	2	x			x
	2

1x2 3x

11)0 (x 1)(x2 1) dx;

13) sin2 d ;

15) tg4 xdx;

17) 0 1 2 sin2 x;

5.5. Обчисліть:

1) 1 x dx;

3)	cos x cos3 xdx;
4

3									dx
2)									dx				;

		2x				2
2		2x					3x 2
2
3									dx
4)									dx						;



2					5 4x x2
5										1
6)										1						dx;



4					x2 5x 6
1							5x 2
8)							5x 2									dx;


0					x2 4x 5
	3			3x2 7x 2
10)																	dx;
10)												2					dx;
	2					x(x 1)
	2
	0			x2 6x 8										dx;
12)							x	3		8				dx;
1							x			8
1

14) cos4 x sin2 xdx;
	0
2
16) ctg3 d ;
6
arctg2 3											6 tg x
18)											6 tg x								dx.

									9 sin		2	x					2
				0					9 sin			x		4 cos				x
				0
2
2)			x2 3x 2											dx;
2)			x2 3x 2											dx;
0

					1 cos 2xdx;
4)					1 cos 2xdx;
0										2
0

82	Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

	2		2
			x ,	0 x 1,
5)			x ,	0 x 1,

		f (x)dx, якщо f (x)	2 x,	1 x 2;
	0		2 x,	1 x 2;
	0
	3		0	x 0,
			0	x 0,
6)
6)		f (x)dx, якщо f (x)	2x, 0 x 3.
			2x, 0 x 3.
	3
	3
5.6. Обчисліть:
				2
1) ex2 sin xdx;				2)	(x cos2 x x2 sin x)dx;
				2

3) (x5e x2 5x4 3x3 x)dx;

5) (x5 3x3 x) cos xdx;

7) ln(x x2 1)dx;

5.7.Знайдіть похідну функції:

1) F(x) ln tdt, x 0;

3)	F(x)		sin t	dt;
3)	F(x)			dt;
	0		t
	0

		x
5)	F(x) sin t2dt;
	1 x

4	x7	3x5	2x3 x 4
4)						dx;
4)			cos	2	x	dx;
4			cos		x
4
2

6) (x7 7x) ln3(x4 1)dx;

8) cos x ln 11 xx dx.

1 2

2) F(x) 1 t4dt;

4) F(x) cos t2dt;

6)F(x) e t2dt.

5.8.За допомогою інтегруванням частинами, обчисліть:

	1		3	xdx
1)	xe xdx;	2)		xdx		;
1)	xe xdx;	2)		2		;
	0		4	sin	x
	0		4
	0		3
3)	(x2 2x 1) cos 3xdx;	4)	(x2		6x 9) sin 2xdx;

					5. Обчислення визначеного інтеграла						83
	e					1
5)	ln3 xdx;					6) x ln(1 x2 )dx;
	1					0

	3					1	arcsin x
7)	x arctg xdx;					8)	arcsin x			dx;
7)	x arctg xdx;					8)
	0					0			1 x
	0					0
	2		dx				1		x2dx
9)			dx		;	10)			x2dx			.
9)		(4	2	2	;	10)			2		3	.
	2	(4	x	)			0	(1 x			)

5.9.Застосовуючи Валісову формулу, обчисліть:

2 2

1)	sin5 xdx;				2)	cos8 xdx;
	0					0
			x			4
3)	sin6		x	dx;	4)	cos7 2xdx;
3)	sin6	2		dx;	4)	cos7 2xdx;
	0	2				0
	0					0

5)	sin9 xdx;				6)	sin8 xdx.

5.10. За допомогою заміни змінної, обчисліть:

8			xdx														1
8																	1			xdx
1)											;						2)			xdx					;
1)											;						2)								;
3			1 x														0		x 1
3																	0
29																	64								6							3
	3			(x						2
	3									2										1						x 2
3)								2)					dx		;		4)			1						x 2							x	dx;
																																3
	3																	x 2 x3														3
3	3		3 (x 2)2														1	x 2 x3															x4
ln 2																	ln 5
ln 2																	ln 5		ex			ex 1
5)						1 e2xdx;											6)		ex			ex 1							dx;
5)						1 e2xdx;											6)				e	x							dx;
0																	0				e			3
0																	0
3									dx								2							dx
7)									dx							;	8)							dx						;


1		x x2 5x 1																		x x2							1
		x x2 5x 1															2		3	x x2							1
																	2		3

3																		3
3			1 x							2								3						dx
9)			1 x							2		dx;					10)							dx							;

					x		2													(x2						5 2
1					x													0		(x2						3)
	1																	1
	1						4 x						2					1					1 x					2
11)							4 x						2	dx;			12)						1 x					2		dx;

								x		2															x	6

		2 2															1			2
		2 2															1			2

84	Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

																6																																																					2
																6							x2	9																																													2								dx
								13)															x2	9										dx;																															14)												dx								;
								13)																4										dx;																															14)																				;
																3							x																																																		x5					x2 1
																3							x																																																2		x5					x2 1
																2								dx																																												2								dx
								15)																dx													;																												16)											dx								.

																					2 cos x															3																																						2 sin x
																0					2 cos x															3																																	0					2 sin x
																0																																																					0
Відповіді
						7																		(e 1)5																																																										8) 1 ln 1
5.3. 1)													2) 5; 3)																								; 4)											5)										6) 1 cos1;												7) e																			5
										;																																					;							;																									e;										5	;
				72						;																						5															;				2			;																									e;											;
				72																												5											12								2																																	3				2
9)		3		(12 73																4); 10) 2 .
9)	32			(12 73																4); 10) 2 .
	32																							7
																																;																			5) ln 2																6) ln 5 2
5.4. 1)										;			2) 1 ln										4 ;	3)												4) arcsin												1 ;																	5	;															6		; 7) 10 arcsin								1	;
5.4. 1)										;			2) 1 ln										4 ;	3)												4) arcsin												1 ;																		;																	; 7) 10 arcsin									;
				16												5						3										6																3											1 2																3 2 2															5
																															2																			4								1																													9						;
8) 5																				12 ln																			5			; 9) ln																		2 arctg 3 2 arctg 5; 10)																														11)
			10 5															5																					5																																															ln		1;
			10 5															5												3																				3								2																												ln	2	1;
																														3							10													3								2																													2						4
12)									ln 2															1																2				; 13)														1		; 14)							; 15)													8			; 16) 3				ln 2; 17)
																					7			1								arctg								2																		1																						8																	;
																					7											arctg																																																																	;
		6		3																				3																	3									8								4						16											6		9					3				2							3			3
18)									1					ln 4.
18)		4					36							ln 4.
		4					36
																									4																				5 ;
5.5. 1)				1;						2)						1; 3)					4				4				2			; 4) 2; 5)																	6) 9. 5.6. 1)–8)																		0.
5.5. 1)				1;						2)						1; 3)					4			3								; 4) 2; 5)																	6) 9. 5.6. 1)–8)																		0.
																					3			3																					6
																																																			sin						x						1				1			; 6) 2xe x4 e x2 .
5.7. 1) ln x;																2)							1 x 4 ; 3) 0; 4) 0; 5)																												sin						x						1	sin			1
5.7. 1) ln x;																2)							1 x 4 ; 3) 0; 4) 0; 5)																																									sin			x2
																																																			2					x						x2					x2
5.8. 1)					1							2				; 2) (9 4																			3)						1 ln 3							; 3)					2								2		sin 3;				4)					17					1 cos 6; 5)									6 2e; 6) ln 2										1	;
5.8. 1)					1							e				; 2) (9 4																			3)						1 ln 3							; 3)					9							27			sin 3;				4)					17					1 cos 6; 5)									6 2e; 6) ln 2										2	;
												e												36																	2				2								9							27												4					4																			2
	2										3																											1																					.
7)	2										3				; 8)								2 4; 9)															1										; 10)
7)	3									2					; 8)								2 4; 9)														16								32			; 10)
	3									2																											16								32									32
5.9. 1)						8				;			2)						5							; 3)		5					; 4)							8			;		5)			0;		6)					35							.
				15												256								16																35														64
							32						; 2) 2 ; 3)																																				4) 6 ln 4
5.10. 1)																																		8 3									3			;														; 5)				3			ln(2
																																											3																					3																3);
							3																																		2																							2																3);
							3																2																		2																	3						2
																																																										ln 2
6) 4 ; 7)																ln 7 2								7 ; 8)																	9)											2																3	; 10)								1
																																								;							2					2																3									1					;
																																				6				;							2																																			;
																							9													6																		3									1				2								8					3
																											1																						8											1																												2						1
11)																	arcsin																								; 12)										; 13)														; 14)										7					3				1 ;		15)
			7												3																																																																	3									arctg						;
			7												3																									6								15																																									arctg						;
																								2									2							6								15												24			3						32								64							4				5					5
16)		2						.
16)								.

3 3

6. Застосування визначеного інтеграла

Навчальні задачі
6.1.	Знайти площу фігури, обмеженої кривими y ex 1,	y e2x 3,		x 0 .
Розв’язання. [2.4.2.]
[Записуємо формулу, виходячи із шуканого застосування інтеграла.]
Площу	фігури, обмеженої лініями y f (x),y g(x),		y
x a,x b знаходять за формулою			y e2x 3

[2.4.2] b

S f (x) g(x) dx.

Знаходимо точку перетину графіків функцій: e2x 3 ex 1; t ex .

	2						t 1 x ;
t	2	t 2		0			1
t		t 2		0			t2 2 x ln 2.


На відрізку [0; ln 2] маємо ex							1 e2x			3 :
		ln 2										ln 2
	S		(ex 1) (e2x 3) dx (ex 2 e2x )dx
		0									ln 2	0
								1					1

					x	2x			e	2x		2 ln 2		.
				e		2x			e			2 ln 2		.
								2					2
								2			0		2
											0

y ex 1

ln 2

Рис. до зад. 6.1

6.2.1. Знайти площу області, обмеженої еліпсом x2		y2	1,a,b
Розв’язання. [2.4.4.]	a2	b2
Розв’язання. [2.4.4.]
Параметризуємо рівняння еліпса:

x a cost,
	t [0;2 ].
	t [0;2 ].
y b sint,

Площу криволінійної трапеції, обмеженої кривою, заданою

	x(t),
x	x(t),
		t [t ;t		] знаходять за формулою
	y(t),	t [t ;t		] знаходять за формулою
y	y(t),	1	2


				[2.4.4]	t2
				S
				S	y(t)x (t)dt
					t1

Ураховуючи симетрію фігури, одержимо:

параметрично

a x

Рис. до зад. 6.2.1

86	Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

S 4

6.2.2.

2	2		1
b sint( a sint)dt	4ab sin2 tdt 4ab		1	ab.
0	0	2	2
0	0

x 2(t sint),

Знайти площу фігури, обмеженої циклоїдою та прямою

y 2(1 cost)

y 3(0 x 4 ,y 3).

Розв’язання. [2.4.4.]
Площу криволінійної трапеції, обмеженої кривою,	y	y 3
що задана параметрично знаходять за формулою		y 3
що задана параметрично знаходять за формулою
t2

S y(t)x (t)dt .	O	x1	x2	x
t1	O	x1	x2	x

Рис. до зад. 6.2.2

Обмеження 0 x 4 вказує на те, що розглядають лише І арку циклоїди. Пряма перетинає циклоїду в точках з абсцисами x1 та x2 . Шукану площу фігури

можна знайти віднявши від площі під циклоїдою в межах x1 x x2 площу прямокутника . Знайдімо значення параметра t в точках перетину прямої і ци-

клоїди:
			2(1 cost),
y			2(1 cost),																													1
												3			2(1 cost) cost																	1	(0	t		2 );
			3

y																																2
																																2
																t 2 ,t								4 .
																t 2 ,t					2			4 .
																1		3			2				3
																		3							3
					2										4											4									8

x		2						sin			2							3,		x								sin				4						3.
x		2						sin										3,		x					2			sin										3.
	1					3					3					3						2				3						3			3
						3					3					3										3						3			3


								S		3(x				x					4								4 6 3.
								S		3(x			2	x			) 3						2 3				4 6 3.
													2			1				3
																				3
									4 3											4			3								1 cos 2t
	S					4										2		4													1 cos 2t
	S					4					(1 cost) dt							4						1 2 cost												dt

																							3										2
									2 3											2			3										2
																			4	3
																			4	3

							3								1												9			3
				4				t 2 sint															4									4 9					3.
				4			2	t 2 sint							4	sin 2t							4									4 9					3.
							2								4														4

																			2	3
																			2	3

S (4 93) (4 63) 33.

6. Застосування визначеного інтеграла

6.3.Знайти площу фігури, обмеженої кривими: 4 cos 3 , 2 ( 2).

Розв’язання. [2.4.3.]
Площу фігури, обмеженої трипелюстковою розою та ко-
лом знаходимо, враховуючи симетрію:
							S 3S .
							S 3S .																								9
Знайдімо за якого значення кута (для розглядуваної пе-																												O		2	P
люстки), перетинаються коло і роза:																												O		2	P

	2,																				1
						4 cos 3							2 cos 3								1		.
					,	4 cos 3							2 cos 3										.
	4 cos				,																2
																					2

		3 2 k,k															.											Рис. до зад. 6.3.
					3										1,2				9
					3														9
												S			S S ,
де S	— площа «розового» сектора ,																			S — площа кругового сектора.
				9											9														9
			1				2									1 cos 6												sin 6
	S				16 cos 3 d								16									d				8
	S				16 cos 3 d								16									d				8
			2 9												0			2										6
			2 9												0			2										6	0
													1						8					2	3
							8						1	sin		2			8					2	3	.
							8							sin												.
										9			6			3			9						3
										9			6			3			9						3
							S				1		9		4d 4					9					4 .
											2									0					9
												9
						S		8 2 3										4		4					2 3		;
										9				3				9			9				3
												S 4						2	3.
																3
6.4.	Обчислити об’єм								тіла			,			обмеженого								еліпсоїдом x2						y2 z2		1,
																												a2	b2	c2

a 0,b 0,c 0.

Розв’язання. [2.4.5.]

Об’єм тіла за відомою площею перерізу його площиною, перпендикулярною до осі Ox знаходять за формулою:

[2.4.5] b

V S(x)dx

Кожний переріз тіла, обмеженого еліпсоїдом, площиною x x0, a x0 a, є

плоскою фігурою, що обмежена еліпсом:

88	Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

a x

з півосями b

та c

a2 x2

, a x a.

Рис. до зад. 6.4

Площа фігури (задача 6.2.1):


				2		2
S(x		b	a	2	x	2	c
S(x	0	)	a		x	0
	0					0
		a					a

Отже, позначаючи x0	через x, a
a	a	bc
V S(x)dx			(a2
		2
a	a	a

					bc
	2		2						2	2
a	2	x	2					(a	2	2	), a x		a.
a		x	0				2	(a		x	), a x	0	a.
			0		a		2			0		0
					a
x a,				одержимо:
						bc		a				4
x2 )dx 2						bc			(a2 x2 )dx			4	abc.
x2 )dx 2						2			(a2 x2 )dx			3	abc.
					a			0				3

6.5.Обчислити об’єм, обмежений тором, і площу тора, утвореного обертанням кола x2 (y b)2 a2 навколо осі Ox (b a).

Розв’язання. [2.4.6, 2.4.7.]

1. Об’єм тіла, одержаного обертанням криволінійної трапеції навколо осі Ox знаходять за формулою

V f 2(x)dx.

Об’єм тіла, утвореного обертанням криволінійних трапецій, обмежених зверху лініями

y1 b a2 x2 та y2 b a2 x2

знаходимо за формулою:

a O a x

Рис. до зад. 6.4.2

a		a
Vт V2 V1 (b a2 x2 )2dx (b a2 x2 )2dx
a		a
a		a2 2 2a2b.
4 b	a2 x2dx 4 b	a2 2 2a2b.
a		2
a

2. Площу поверхні обертання, утвореної обертанням кривої y f (x), x [a;b], навколо осі Ox знаходять за формулою

[2.4.7] b

Q 2 f (x)1 (f (x))2dx.

Площу поверхні обертання, утвореної обертанням ліній

y1 b a2 x2 та y2 b a2 x2

6. Застосування визначеного інтеграла

знаходимо за формулою:

Q Q1 Q2 2 (b a2 x2 ) 1

2 (b a2

x2 ) 1

4 ba arcsin x

4 2ab.

4 ba

a2 x2

6.6.Матеріальна точка M рухається прямолінійно зі швидкістю

v(t) 3t2 2t 1 м/с.

Знайти шлях, який пройде точка від моменту t0 0 за 3 секунди.

Розв’язання. [2.4.10.]

Шлях, пройдений матеріальною точкою із швидкістю v v(t) за проміжок ча-

су [t1; t2 ], знаходять за формулою

s v(t)dt.

Отже,

S (3t2 2t 1)dt (t3 t2 t) |30 39 м.

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

6.7.Знайдіть площу фігур, обмежених:

1)параболою y x2 2x і прямою y x 2;

2)параболою y 2x x2 і прямою y x;

3)параболами y2 8x 16 та y2 24x 48;

4)	параболами y x2			8x 12 та y	18x x2;
5)	колом x2	y2	16 і параболою y2		6x;
6)	колом x2	y2	8	і параболою y x2 .
					2
7*) еліпсом		x2 y2 1 і гіперболою x2 y2				1.
		4		2

90	Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

6.8.Знайдіть площу фігур, обмежених лініями:

1)	y x(x 1)2,y 0;	2)	x y2(y 1), x 0;
3)	y ex ,y e x ,x 1;	4)	y tg x,y	2 cos x,x 0.
				3

6.9.Знайдіть площу фігури, обмеженої:

x a(t sint),

1) однією аркою циклоїди та віссю абсцис;

y a(1 cost)

x a cos3 t,

2) астроїдою

y a sin3 t;

	a(2 cost cos 2t),		2 3 cos t,
x	a(2 cost cos 2t),	x	2 3 cos t,

3) кардіоїдою	a(2 sin t sin 2t);	4) еліпсом	3 2 sin t.
y	a(2 sin t sin 2t);	y	3 2 sin t.

6.10. Знайдіть площу петлі лінії:

	2			2
	2	,	x t	2	1,
x 3t		,	x t		1,
1)			2)		t.
y 3t t3;			y t3		t.

6.11.Знайдіть площу фігури, обмеженої:

1)двопелюстковою розою a sin 2 ;

2)п’ятипелюстковою розою a cos 5 ;

3)лініями 3 cos 4 та 2 cos 4 ;

4)лінією 2 cos 2 , що лежить поза лінією 2 sin ;

5). лемніскатою Бернуллі (x2 y2 )2 a2(x2 y2 );

6) лемніскатою Бернуллі (x2 y2)2 a2(x2 y2), яка лежить усередині

кола x2 y2 a2 . 2

6.12.Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої лініями, навколо осі Ox :

1) y x 3,x 0,y 8;	2) y	2	,y 0, x 0, x 1;

		1 x2
		1 x2
3) xy 4, x 1, x 4, y 0;	4) y a ch x		, y 0, x a, x a.
		a

6.13.Крива обертається навколо осі Ox. Обчисліть площу поверхні обертання:

1)	y2 x,x [0; 4];	2)	y2 4 x, x [0; 2];
3)	y sin x, x [0; ];	4)	y a ch x	, x [0;a].
			a

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 209 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.11.2019157.7 Кб0Практика НМ.doc
#
12.05.201528.08 Кб7практика, мова1.docx
#
12.05.2015165.58 Кб14практика.pdf
#
17.03.2016393.04 Кб15ПРАКТИКА_ФММ1.docx
#
17.03.20165.29 Mб50Практикум 2.pdf
#
12.05.20155.25 Mб9Практикум2013.pdf
#
17.03.20162.86 Mб47Практикум_Ромашко.pdf
#
12.05.201524.81 Кб176Практичні роботи.docx
#
14.11.201954.78 Кб3Практична робота 2.doc
#
11.09.2019205.82 Кб1Практична робота 3.doc
#
11.09.2019301.57 Кб15Практична робота 4.doc