Практикум2013

Розділ 3. Диференціальні рівняння

41

Тип ДР

Метод розв’язання

Рівняння з відокремленими

змінними.

f1(x)dx f2(y)dy C

f1(x)dx f2(y)dy

ДР з відокремлюваними змінними.

dy

f(x)dx C

або g(y) 0

y f (x)g(y)

g(y)

M(x)N(y)dx P(x)Q(y)dy 0

M(x) dx

Q(y) dy 0

P(x)

N(y)

або P(x) 0 чи N(y) 0

y f (ax by c)

Заміна z ax by c

Однорідні ДР.

Заміна y u(x)x

y

y

du

f

y

x u

x

dx



ДР, звідні до однорідних

t

,

x

ax by c

1) Заміна

y

s

y

,

a1x

b1y c1

якщо

a

b

0;

a,b,c,a ,b ,c const

1

1

1

a1

b1

2) заміна z ax by c,

якщо 0

Лінійне однорідне рівняння

y p(x)y 0

y Ce p(x )dx

Лінійне неоднорідне рівняння

1. Метод Лаґранжа. Шукаємо

y p(x)y q(x)

розв’язок у вигляді

y C(x)e

p(x)dx

.

Рівняння Бернуллі

y p(x)y q(x)y ,

2. Метод Бернуллі. Шукаємо

{0, 1}

розв’язок у вигляді

y u(x)v(x)

42

Розділ 3. Диференціальні рівняння

Рівняння в повних диференціалах

P(x, y)dx Q(x, y)dy 0,

x

y

P

Q

P(t, y0 )dt Q(x, t)dt C

y

x

x0

y0

3.3. Нелінійні диференціальні рівняння вищих порядків

Тип ДР

Метод розв’язання

y(n) f (x)

Безпосереднє n -кратне інтегрування

F(x, y(k), ..., y(n)) 0

Заміна y(k) p(x)

y(k 1)

p (x), ..., y(n) p(n k)

(k)

, ..., y

(n)

) 0

Заміна y

p(y)

F(y, y , ..., y

y

2

p

2

p, ...

p p, y

p p

3.4. Лінійні диференціальні рівняння

Лінійний диференціальний

L[y] y(n) a (x)y(n 1) .... a (x)y

оператор

1

n

Лінійне однорідне диференціальне

y

(n)

a1(x)y

(n 1)

.... an(x)y 0;

рівняння (ЛОДР)

L[y] 0

Лінійна залежність

і незалежність функцій. Систему

Систему функцій y1, y2, ..., yn

функцій y1,y2, ..., yn

називають лінійно

називають лінійно залежною, якщо

незалежною, якщо з рівності

існують такі числа 1, 2, ..., n, не

1y1 2y2 ... nyn 0

рівні одночасно нулеві, що

випливає, що

1y1

2y2

... nyn

0

1 2

... n 0.

Розділ 3. Диференціальні рівняння

43

Вронскіан системи функцій

y

y

2

...

y

1

n

y ,y , ..., y

y

y

...

y

1

2

n

1 2

n

W

...

... ... ...

y(n 1)

y(n 1) ...

y(n 1)

1

2

n

Властивості вронскіана.

1. Якщо функції y1,y2,..., yn лінійно

2. Якщо y1,y2,..., yn лінійно незалежні

залежні на проміжку [a;b], то

функції, що є розв’язками деякого

вронскіан тотожно дорівнює нулеві на

ЛОДР n -го порядку, то вронскіан

цьому проміжку.

такої системи не дорівнює нулеві в

жодній точці.

Фундаментальна система

які утворюють фундаментальну

розв’язків. Лінійне однорідне

систему розв’язків (ФСР) ЛОДР:

диференціальне рівняння порядку n

{y1(x),y2(x), ..., yn(x)}

має рівно n лінійно незалежних

розв’язків y1(x), y2(x),..., yn(x),

Теорема про структуру загального

yзаг. одн.

розв’язку ЛОДР. Якщо

C1y1(x) C2y2(x) ... Cnyn(x)

{y1(x), ..., yn(x)} — ФСР ЛОДР, то

загальний розв’язок системи є

лінійною комбінацією цих розв’язків.

Лінійне неоднорідне ДР

y(n) a (x)y(n 1)

.... a

n

(x)y f (x);

1

L[y] f (x)

Теорема про структуру загального

yзаг. неод.

yзаг. одн.

yчаст. неодн.

розв’язку ЛНДР

Принцип суперпозиції

Якщо y1(x) та y2(x) — розв’язки

відповідно ЛНДР L[y] f1(x) та

L[y] f2(x), то y1(x) y2(x) є

розв’язком ЛНДР L[y] f1(x) f2(x).

ЛОДР зі сталими коефіцієнтами

y

(n)

a1y

(n 1)

.... any 0

Метод Ейлера

Шукаємо розв’язок у вигляді

y e x ,

Характеристичне рівняння

n

a1

n 1

... an

0

Лінійно незалежні розв’язки ДР залежно від розв’язків

характеристичного рівняння

1. — дійсний корінь кратності 1

y e x

2. — дійсний корінь кратності r

y1

e

x

, y2

xe

x

, ..., yr

x

r 1

x

e

3. 1,2 i — пара комплексно-

y1

e x

cos x,

спряжених коренів

y2

e x

sin x

Схема методу Ейлера.

3. Знаходять лінійно незалежні

1. Записують характеристичне

розв’язки ЛНДР для кожного кореня

характеристичного рівняння (ФСР).

рівняння для ЛОДР.

4. Записують загальний розв’язок

2. Розв’язують характеристичне

ЛОДР.

рівняння.

ЛОДР 2-го порядку

Диференціальне рівняння

y

py qy 0

Характеристичні рівняння

2

p q 0

Лінійно незалежні розв’язки ДР залежно від розв’язків

характеристичного рівняння (ФСР)

1. Дійсні різні корені 1, 2

y

e 1x , y

2

e 2x

1

2. Дійсний кратний корінь

y1

e

x

, y2

xe

x

1 2

3. Пара комплексно-спряжених

y1

e

x

cos x, y2

e

x

sin x

коренів 1,2 i

Загальний розв’язок

y C y (x) C y (x)

1

1

2

2

Розділ 3. Диференціальні рівняння

45

Метод Лаґранжа (варіації

3. Знаходять C1(x),...,Cn(x),

довільних сталих).

розв’язуючи систему

1. Розв’язують відповідне однорідне

C y

C

y

... C y

0,

ДР.

1

1

2 2

n n

C y C y ... C y

0,

yзаг. одн. C1y1 C2y2 ... Cnyn .

1

1

2 2

n n

.......................................................

2. Загальний розв’язок неоднорідного

(n 2)

(n 2)

(n 2)

0,

рівняння шукають у вигляді

C1y1

C2y2

... Cnyn

(n 1)

(n 1)

(n

1)

C y

... C y

f(x).

C y

n

yзаг. неодн.

1 1

2 2

n

4. Інтегруванням знаходять функції

C1(x)y1 C2(x)y2 ... Cn(x)yn .

C1(x), ...,Cn (x).

5. Записують загальний розв’язок,

підставляючи знайдені функції

C1(x), ...,Cn (x).

Метод Лаґранжа для рівняння

1. yзаг. одн.

C1y1

C2y2.

y py qy f(x)

2. yзаг. неодн.

C1(x)y1

C2(x)y2.

(x)y

(x) 0,

C

1

(x)y (x) C

1

2

2

3.

(x)y (x) C (x)y (x) f (x).

C

1

1

2

2

L[y] f (x),

де f (x) e x Pn(x) cos x Qm(x) sin x

— функція спеціального вигляду

(квазімногочлен)

Схема методу невизначених

коефіцієнтів (застосовний до ДР зі

3.

Записують частинний розв’язок

спеціальною правою частиною).

ЛНДР з невизначеними коефіцієнтами.

1. Записують теорему про структуру

4.

Визначають коефіцієнти,

розв’язку ЛНДР.

підставляючи частинний розв’язок у

yзаг. неод. yзаг. одн. yчаст. неодн.

ЛНДР.

2. Знаходять загальний розв’язок

5. Записують загальний розв’язок

відповідного ЛОДР (метод Ейлера).

ЛНДР.

46

Розділ 3. Диференціальні рівняння

Права частина спец. вигляду

Шаблон для частинного розв’язку

Pn (x) k 0

k 0 не є коренем ХР

n

Pn(x) A0 A1x ... Anx

.

k 0 корінь кратності s ХР

s

Pn(x)

x

P (x)e x k

n

k не є коренем ХР

x

Pn(x)e

k корінь кратності s ХР

s

x

Pn(x)e

x

e x(Pn(x) cos x Qm(x) sin x)

l max(n,m)

k i

k i не є коренем ХР

e x Pl

(x) cos x Ql sin x

k i корінь кратності s

ХР

xse x Pl

(x) cos x Ql sin x

Окремі

випадки

ae x k

k не є коренем ХР

Ae x

k корінь кратності s ХР

Axse x

a cos x b sin x k

i

k i не є коренем ХР

A cos x B sin x

k i корінь кратності s

ХР

xs A cos x B sin x

e x a cos x b sin x k i

k i не є коренем ХР

e x A cos x B sin x

k i корінь кратності s

ХР

xse x A cos x B sin x

Розділ 3. Диференціальні рівняння

47

Лінійна однорідна система ДР зі

x

a

x a

y,

11

12

сталими коефіцієнтами

a21x a22y

y

Матричний запис системи