Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум2013

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

5.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 208 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

	4. Екстремуми функції кількох змінних								71
					1			1
z(M	3 ) z(0, 3)	6;	z(M		1	, 0		1	;
z(M	3 ) z(0, 3)	6;	z(M	4 ) z		, 0			;
								4
				2				4
					3		3	3
z(M	5 ) z(3, 0)	6;	z(M		3	,	3	3	.
z(M	5 ) z(3, 0)	6;	z(M	6 ) z		,			.
							2	4
				2			2	4

[Висновуємо.]

max z(M ) z(0, 3) z(3, 0) 6;

M D

min z(M ) z(1, 1) 1.

M D

4.3.2. Знайти найбільше та найменше значення функції z x y в області

D : x 2 y2 4.

Розв’язання. [1.9.1, 1.9.6.]

1. zx 1, zy	1 стаціонарних точок функція не має.	y
		y	D
			D
2. Межу області коло x2 y2 4 задаємо параметрично				2 x
				2 x
x 2 cos t,
	(0 t 2 ).
	(0 t 2 ).	O
y 2 sin t		O

		Рис. до зад. 4.3.2
z(x, y) \|x 2 cos t, z(t) 2 cos t 2 sin t, t [0; 2 ].		Рис. до зад. 4.3.2
z(x, y) \|x 2 cos t, z(t) 2 cos t 2 sin t, t [0; 2 ].

y 2 sin t

z (t) 2 sin t 2 cos t.

z (t) 2 sin t 2 cos t 0;

tg t 1; t1

, t2

M1( 2; 2), M2( 2; 2).

z M1 z(

2) 2 2;

z(M2 ) z( 2; 2) 22.

max z(M ) z(2, 2) 22;

M D

min z(M) z( 2, 2) 22.

M D

4.4.1. Дослідити на екстремум функцію z (3x2 4y)2 13 x 23 y за умови

зв’язку 34 x2 y 16 0 методом виключення змінних.

Розв’язання. [1.9.2.]

[Виражаємо одну із змінних з рівняння зв’язку.] y(x) 43 x2 16 .

[Підставляємо вираз у функцію z(x, y).]

72	Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних

z(x, y(x)) (x) 12 x2 13 x 59 .

[Досліджуємо на локальний екстремум одержану функцію.]

(x) x 13 0 x0 13 .

[Перевіряємо виконання достатніх умов існування локального екстремуму.]

							1
							1		1 0 .
									1 0 .
							3
							3
У точці x0			1	функція (x) має локальний мінімум.
У точці x0			3	функція (x) має локальний мінімум.
			3
З умови зв’язку знаходимо відповідне значення
				y0		3		1				1	1	.
				y0	4			9				6	4	.
					4			9				6	4
	1		1
Точка M0	1	;	1
Точка M0		;		є точкою локального умовного мінімуму функції z(x, y).
	3		4
	3		4
[Обчислюємо значення функції z(x, y)в цій точці.]
										1		1			1
										1	,	1			1
				zmin z							,				.
										3					2
										3		4			2

4.4.2.Дослідити на екстремум функцію z (3x2 4y)2 13 x 23 y за умови зв’язку 34 x2 y 16 0 методом множників Лаґранжа.

Розв’язання. [1.9.2, 1.9.7.]
[Крок 1. Записуємо функцію Лаґранжа для задачі.]
	2	2	1	2		3		2
L(x, y; ) (3x	2	2	x				x	2	y
L(x, y; ) (3x		4y)	x		y		x		y
			3	3
			3	3	4

де — невизначений Лаґранжів множник.

[Крок 2. Знаходимо стаціонарні точки Лаґранжової функції.]

										1		3
						4y)				1		3	x	0;
L 12x(3x2						4y)							x	0;
	x
										3		2
										3		2
				2						2
				2	4y)					2	0;
L 8(3x					4y)						0;
	y									3
										3
			3		2				1
	(x, y)		3	x	2	y			1		0.
	(x, y)			x		y					0.
			4						6
			4						6
		1					1								1		1
x		1	, y				1	,			6 M0				1	;	1
x			, y					,			6 M0					;		; 6 .
		3					4								3		4
		3					4								3		4

4. Екстремуми функції кількох змінних

[Крок 3. Перевіряємо виконання достатніх умов екстремуму для функції Лаґранжа в точці M0 .]

[Знаходимо похідні 2-го порядку Лаґранжової функції.]

12(9x

4y)

32;

Lxx

, Lxy

48x, Lyy

(M )

9, L

16, L

(M )

)

32.

[Записуємо другий диференціал функції L(x, y; ) в точці

;

; 6 .]

d2L(M0 ) 9dx2

32dxdy 32dy2 .

[Щоб визначити знак 2-го диференціала при наявності зв’язку, встановлюємо зв’язок між dx та dy з умови зв’язку.]

	3		2		1		3
	3	x	2	y	1	0	3	xdx dy 0.
d( (x, y)) d		x		y		0		xdx dy 0.
					6		2
4					6		2

У точці M0 :

12 dx dy 0, dy 12 dx .

[Підставляємо dy у вираз для d2L(M0 ).]


2		2			1					1	2		2
2		2	32dx		1		32			1		dx	2	0 .
d L(M0 ) 9dx			32dx			dx	32				dx	dx		0 .
					2					2
					2					2
У точці M0	функція L(x, y; ) має локальний мінімум
			L	L(M )				1	,
			L	L(M )					,
			min			0	2
							2

а функція

z (3x2 4y)2 13 x 23 y

при наявності зв’язку

					3	x2	y		1		0

					4					6
					4					6
	1		1
має у точці M0	1	;	1
має у точці M0		;		локальний умовний мінімум
	3
	3		4
								1		1		1
								1	,	1		1	.
				zmin z					,				.
								3				2
								3		4		2

74	Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних

Задачі для аудиторної і домашньої роботи
4.5.	Розвиньте функцію f за степенями x x0 та y y0,								знайшовши члени
	2-го порядку включно:
	1) f(x, y) x2 3xy y2, x0 1, y0 1;
	2)	f (x, y) arctg		y	, x0 1, y0	0;
	2)	f (x, y) arctg			, x0 1, y0	0;
				x
	3) f(x, y) yx , x0 1, y0 1;
	4)	f (x, y) sin x sin y, x0 y0				.
						4
4.6.	Знайдіть точки екстремуму функції:
	1)	z x2	y2 xy 2x y;			2) z 2xy 3x 2			2y2 10;
	3)	z x3	8y3 6xy 1;			4) z x 3 y3		9xy 27;
	5) z x3y2(6 x y), x 0, y 0; 6) z xy						50			20	, x 0, y 0;
	5) z x3y2(6 x y), x 0, y 0; 6) z xy						x				, x 0, y 0;
							x			y

7)z x2 y2 2 ln x 18 ln y;

8)z x2 xy y2 4 ln x 10 ln y;

9)z ex2(x y2);

10)z e x2 y2 (ax2 by2 ),a 0,b 0.

4.7.Знайдіть найбільше та найменше значення функції:

1)	z x2		y2		у крузі x2 y2 9;
2)	z	x2		y2	в області	x2	y2	1;
		9		4		9	4

3)z xy у крузі x2 y2 1;

4)z x2 y2 у крузі x2 y2 4;

5) z x2 y2 xy x y у трикутнику, обмеженому прямими x 0, y 0 та x y 3 0;

6) z x2 xy 2y2 3x 2y 1 у трикутнику, обмеженому осями координат і прямою x y 5 0;

7) z x3 y3 3xy	у прямокутнику, обмеженому прямими x 0,
x 2,y 1,y 2;

8) z x2 2xy 4x 8y у прямокутнику, обмеженому прямими x 0, y 0, x 1,y 2;

		4. Екстремуми функції кількох змінних		75
9) z x2	2xy 1 в області, обмеженій лініями y 0 та y		x2	4;
10) z x 4		2x2y2 y3 в області, обмеженій лініями y 4	та y x2.

4.8.Знайдіть умовні екстремуми функції:

1) z x y		4	при x2 y2	1;
	2

2)z 2x y при x2 y2 1;

3)z x2 y2 xy x y 4 при x y 3 0;

4)z xy2 при x 2y 1;

5)z x 2 xy y2 при x2 y2 1;

6)z 2x2 12xy y2 при x2 4y2 25.

4.9.1. З усіх прямокутних паралелепіпедів, які мають заданий об’єм V,

знайдіть той, який має найменшу поверхню.

2. З’ясуйте, яка з відкритих прямокутних ванн місткістю V має найменшу площу поверхні.

4.10.1. Доведіть, що добуток трьох невід’ємних чисел заданої суми є найбільшим тоді й лише тоді, коли ці числа рівні між собою.

2. Доведіть, що сума трьох додатних чисел, які мають заданий добуток, є найменшою тоді й лише тоді, коли ці числа рівні.

Відповіді

4.5. 1) 5 5(x 1) 5(y 1) 21![2(x 1)2 6(x 1)(y 1) 2(y 1)2 ] R2;

2) y (x 1)y R2;										3) 1 (y 1) (x								1)(y 1) R2;
																		2														2
	1		1						1						1
4)	1		1						1						1
4)					x					y							x			2	x					y				y				R2.
									2
	2 2					4			2			4			4			4						4					4		4

																							1
4.6. 1) zmin(1, 0) 1; 2) zmax(0, 0)																	10; 3)					1,	1		0;			4) zmin(3, 3)			0;
4.6. 1) zmin(1, 0) 1; 2) zmax(0, 0)																	10; 3)		zmin			1,			0;			4) zmin(3, 3)			0;

																							2
5) zmax(3, 2) 108; 6) zmin(5; 2)														30; 7) zmin(1, 3)								10 18 ln 3; 8) zmin(1, 2)												7 10 ln 2;
9)		zmin( 2, 0)						2	;		10)	zmin(0, 0) 0;						якщо a b,							то zmax( 1, 0)						a2	;	якщо a b, то
9)		zmin( 2, 0)						e	;		10)	zmin(0, 0) 0;						якщо a b,							то zmax( 1, 0)						e	;	якщо a b, то
								e																							e
zmax(0, 1)						b2	;	якщо a b, то zmax(x2 y2														1)			a2		.
zmax(0, 1)						e	;	якщо a b, то zmax(x2 y2														1)			e		.
						e																			e
4.7. 1)				max z(x,y) z x2 y2												9 9,				min		z(x,y) z 0, 0 0;

			(x;y) D																(x;y) D
											2	y	2
									x			y						min z(x, y) z 0, 0 0;
2)
		max z(x, y) z												1			1,
		max z(x, y) z												1			1,
										9		4
	(x;y) D																(x;y) D
	(x;y) D																(x;y) D

76	Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних

3) max

(x;y) D

4) max

(x;y) D

5) max

(x;y) D

6) max

(x;y) D

7) max

(x;y) D

	1		1			1							1						1
	1		1			1							1			,	1		1
z(x, y) z		,						,	min	z(x, y) z										;


	2		2			2		(x;y) D						2					2
	2		2			2								2				2	2
z(x,y) z(2, 0) z( 2, 0) 4,									min	z(x, y) z(0, 2)					z(0, 2) 4;
									(x;y) D
z(x, y) z( 3, 0)		z(0, 3)				6, min z(x, y) z( 1, 1)											1;

									(x;y) D
z(x, y) z(0, 5)		41,			min		z(x, y) z( 2, 1)					3;
				(x;y) D
z(x, y) z(2, 1)		13,			min		z(x,y) z( 1, 1)				z(0, 1) 1.
				(x;y) D

8)	max	z(x, y) z(1, 2)		17,			min			z(x, y) z(1, 0)			3;

	(x;y) D					(x;y) D
			4		20			181
9)	max		4	,	20			181			, min	z(x, y)	z(1, 3) 6;
9)	max	z(x, y) z	3	,	9				27		, min	z(x, y)	z(1, 3) 6;
			3		9				27
	(x ;y) D										(x;y) D

10) max		z(x, y) z(0, 4) 64,																			min					z(x, y) z( 2, 4)														48.

	(x;y) D																			(x;y) D
					1				1																								1					1


4.8. 1) zmin						,							1						2 2,							zmax										,				1 2 2;
4.8. 1) zmin						,							1						2 2,							zmax										,				1 2 2;
					2																													2
					2					2																								2					2
		2				1																		2					1

2)				,								5,
	zmin																		zmax									,									5;
	zmin																		zmax									,									5;
			5																							5			5
			5				5																			5			5
		3											19																								1		1		1
3)		3			3								19		; 4)																						1		1		1
	zmin		,																zmin(1, 0) 0, zmax																			,				.
	zmin		,																zmin(1, 0) 0, zmax																			,				.
		2											4																								3				27
		2			2								4																								3		3		27
		1				1								1										1						1							3
5)		1		,		1								1										1						1							3
	zmin															, zmax											,											;


			2											2										2													2
			2					2						2										2							2						2
																							3						425
																			4,				3						425
6) zmin 3, 2 50, zmax																			4,															.
																														4
																							2							4
4.9. 1) куб з ребром									3						2)		3					3								1		3
									3		V ;						3	2V				3			2V					1		3			2V .
											V ;							2V							2V					2					2V .
																														2

Розділ 2. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ КІЛЬКОХ ЗМІННИХ

5. Обчислення визначеного інтеграла

Навчальні задачі

5.1.1. Обчислити . e x ln x

Розв’язання. [2.3.2.]

 e2

[2.3.2]



d ln x dx

d ln x

ln x

ee2

x ln x

ln x

ln e2

ln e

ln 2.

Коментар. Знаходимо первісну для підінтегральної функції методом уведення функції під знак диференціала.

За формулою Ньютона — Лейбніца від значення первісної у верхній межі віднімаємо значення первісної у нижній.

	5	dx
5.1.2. Обчислити		dx	.

	x2
	x2	2x 10
	2

Розв’язання. [2.3.2.]

5	dx			 5			dx	[2.3.2]			1			x 1
2				2								arctg

	x2 2x 10				(x 1)2 9						3			3
		1	arctg 2			1	arctg 1		1	arctg 2					.
					3
	3							3					12

Коментар. Виділяємо повний квадрат у знаменнику дробу.

				x
5.1.3. Обчислити x sin				x	dx.
5.1.3. Обчислити x sin				2	dx.
		0		2
		0
Розв’язання. [2.3.3.]
						u x					du dx				[2.3.3]
						u x					du dx				[2.3.3]
		x sin x dx				dv sin	x	dx		v 2 cos				x
		0	2			dv sin	2	dx		v 2 cos				2
2x cos x									0 4 sin x
2x cos x		2 cos x dx 2 cos							0 4 sin x				4 sin				4 sin 0 4.
2	0	0	2				2				2	0				2
2	0	0									2	0

78	Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

	3
5.1.4. Обчислити x2					9 x2dx.
	0
Розв’язання. [2.3.4, 2.3.8, 2.3.9.]
							
							
														;		,
						x 3 sin t, t								;		,
3				[2.3.9]									2		2		x		0	3		[2.3.4]
x2	9 x2dx					dx 3 cos tdt;
	9 x2dx					dx 3 cos tdt;												t	0
							9 x2					9 9 sin2 t						t	0
0							9 x2					9 9 sin2 t								2
						3		cos t			3 cos t.
						3		cos t			3 cos t.
	2										2
	81 sin2 t cos2 tdt								81 sin2 t(1 sin2 t)dt
	2	0				2					0
	2					2					[2.3.8]					1					81
											[2.3.8]
		2							4
81 sin		2	tdt 81 sin						4				81				1 3
										tdt													.
										tdt													.
																					16
	0			0											2 2		2 4				16
	0			0

Коментар. Обчислюючи визначений інтеграл заміною змінних, на відміну від невизначеного інтегрування, не потрібно вертатись до старої змінної. Використовуємо тригонометричну підстановку і не забуваємо змінити межі ви-

значеного інтеграла:

x 0 3 sin t 0; t 0.

							x	3			3 sin t 3, t														.
																									2
		3					dx
5.1.5. Обчислити							dx					.



						(1 x2 )5
						(1 x2 )5
		3 3
Розв’язання. [2.3.4, 2.3.9.]										x tg t, t														,
																							;
																							;
																				2				2
3
3	dx						[2.3.9]							dt												x				3	3	[2.3.4]
							[2.3.9]																							3		[2.3.4]
										dx						;
										dx					2	;
																												3
	(1 x2 )5													cos			t										t
3 3	(1 x2 )5													cos			t		1								t	6			3
										1 tg2 t									1			.

																			2
																		cos			t
	3 cos5 tdt									3									3
										cos3 tdt									(1 sin2 t)d sin t
			cos		2		t			cos3 tdt									(1 sin2 t)d sin t
	6		cos				t			6									6
													sin3 t				3
				sin t					3								3			3				3		11			.
									3											3				3		11
									6					3			6						8			24
									6					3									8			24

										5. Обчислення визначеного інтеграла																												79

				4				3
				4				3				x2 4
5.1.6.	Обчислити																dx.
5.1.6.	Обчислити												x				dx.
								2					x
								2
Розв’язання. [2.3.4, 2.3.9.]
																						2

	4			3															x					, t		[0;
	4			3
							x	2 4 dx																					2)			x		2	3
							x	2 4 dx													cos t								2)			x		2	3
															[2.3.9]																				4	[2.3.4]
																						2 sin tdt
								x											dx			2 sin tdt						.				t		0
	2																		dx			cos2 t						.							6
								6																				6

															4							sin tdt
									cos t						4					4		sin tdt					2 tg2 tdt

																cos		2	t			cos	2		t
								0								cos			t			cos			t				0
								0																					0
						6			1															6							6			2
			2						1															6							6			2
														1 dt						2 tg t				0			2t				0							.
									2


													t																					3			3
				0				cos					t																					3			3
				0
							4
5.2.1.	Обчислити								3
5.2.1.	Обчислити								3		sin xdx.
							4
Розв’язання. [2.3.6.]
																						4								[2.3.6]
Оскільки 3					— непарна функція, то 3																									[2.3.6]
Оскільки 3			sin x		— непарна функція, то 3																						sin xdx						0.
																						4
							4
5.2.2.	Обчислити
5.2.2.	Обчислити									tg x					dx.
							4
Розв’язання. [2.3.5.]
Оскільки		tg x		— парна функція, то
Оскільки		tg x		— парна функція, то

[2.3.5]

tg x

2 tg xdx 2 ln

cos x

2 ln cos

2 ln cos 0 ln 2.

4 0

5.2.3. Обчислити sin5 xdx.

Розв’язання. [2.2.6, 2.3.6, 2.3.7.]

Функція sin5 x має період 2 .

80	Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

6	[2.2.6] 2	4	6	[2.3.7]
sin5 xdx	sin5 xdx	sin5 xdx sin5 xdx
0	0	2	4
		[2.3.6]
	3 sin5 xdx		3 0 0.

Коментар. Використовуючи властивість адитивності, розбиваємо проміжок інтегрування на відрізки завдовжки 2 .

5.2.4. Обчислити sin4 xdx.

Розв’язання. [2.2.6, 2.3.5, 2.3.6, 2.3.8.]

Функція sin4 x має період T .

2	[2.2.6]			2			[2.3.6]
sin4	xdx	sin4 xdx sin4 xdx							2 sin4		xdx
0			0						0
2		[2.3.5]	2	[2.3.8]			3 !!				1 3	3
2 sin4	xdx		4 sin4 xdx		4		3 !!	4			1 3	3	.
2 sin4	xdx		4 sin4 xdx		4	2	4 !!	4		2	2 4	4	.
2			0			2	4 !!			2	2 4	4
2			0

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

5.3.Обчисліть:

1) 2 (11 5x)3 ;

3) (ex 1)4exdx;

	0
	e							dx
5)								dx			;


		x						1 ln2 x
	1	x						1 ln2 x
	2				1 x
7)			e					dx	;
7)						x		2	;
	1					x
	1
	2
9)				cos2 x						dx;
9)				3						dx;
		4					sin x
		4

	29						dx
2)							dx				;


			5					4
	2						(3 x)
	ln		3				ex
4)							ex			dx;
4)				1 e				2x		dx;
	0			1 e
	0
	e	sin(ln x) dx;
6)		sin(ln x) dx;
	1						x
	1
	1					y2dy
8)						y2dy			;
8)									;
	0				y6 4

10) cos5 x sin 2xdx.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 208 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.11.2019157.7 Кб0Практика НМ.doc
#
12.05.201528.08 Кб7практика, мова1.docx
#
12.05.2015165.58 Кб14практика.pdf
#
17.03.2016393.04 Кб15ПРАКТИКА_ФММ1.docx
#
17.03.20165.29 Mб50Практикум 2.pdf
#
12.05.20155.25 Mб9Практикум2013.pdf
#
17.03.20162.86 Mб47Практикум_Ромашко.pdf
#
12.05.201524.81 Кб176Практичні роботи.docx
#
14.11.201954.78 Кб3Практична робота 2.doc
#
11.09.2019205.82 Кб1Практична робота 3.doc
#
11.09.2019301.57 Кб15Практична робота 4.doc