Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум2013

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

5.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 206 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

1. Функції кількох змінних

Якщо (x;y) (a;b), то

(x a)2 (y b)2 2 cos2 2 sin2 0.

Задачу зводять до дослідження lim F( , ), де

F( , ) f (a cos ,b sin ).

1.3.3. Знайти lim(2x 5y) sin	3 .
x 0	x
y 0
Розв’язання. Оскільки (2x 5y) 0, коли		x 0,		y 0, і	sin		3	1, то за
							3
						x
						x
властивістю н. м. ф. маємо, що
lim(2x 5y) sin		3	0.
x 0		x
y 0

1.3.4.Знайти lim x2 y2 .

x0 x2 y2 y 0

Розв’язання. [Переходимо до полярних координат.]

x cos ,

y sin ;



x 0,		2		2
	x	2	y	2	0.
	x		y		0.
y 0

lim

cos2

sin2

cos2

sin2

cos 2 .

cos2

sin2

cos2

sin2

x 0 x2

y 0

Границя залежить від кута , тобто від способу прямування точки (x; y) до то-

чки (0; 0). А це означає, що функція f не має границі.

Коментар. Якщо б границя існувала, то вона не залежала б від способу прямування точки (x; y) до точки (0; 0).

1.4.1. Знайти точки розриву функції z (x 1)2 (y 2)2 .

Розв’язання. [1.2.2.] Для заданої функції точками розриву можуть бути лише точки, де знаменник дорівнює нулеві:

x 1, (x 1)2 (y 2)2 0

y 2.

Оскільки lim		1	, то точка M	0(1; 2) є точкою нескін-

	(x 1)2	(y 2)2
x 1	(x 1)2	(y 2)2
y 2

ченного розриву.

52	Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних

1.4.2. Знайти точки розриву функції z	x y	.
	x3 y3

Розв’язання. Задана функція може мати розриви лише в точках, де знаменник дорівнює нулеві:

x3 y3 0 y x.

Отже, функція z має розриви в точках прямої y x.

Нехай x0 0, y0 0, x0

y0 . Тоді,

lim

x y

lim

x y

x x0 x3 y3

x x0 x2 xy y

y y0

0 0

Отже, точки прямої y x, x 0, — точки усувного розриву.

Із співвідношення

lim

x y

lim

xy y2

x 0 x3 y3

x 0 x2

y 0

випливає, що точка M0(0; 0) — точка нескінченного розриву.

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

1.5.Знайдіть і зобразіть область означення і лінії рівня функції:

1) z	x2	y2					2)	z			1
	9 4 1;														;


									9 x2 y2
							4) z ln(y2
3) z	4x y2 ;						4) z ln(y2				4x 8);
			2		2
		x	2	y	2				x	2		y	2
		x		y					x			y
						;	6) z							1.

5) z ln 1
		4		9					9			4
		4		9					9			4

1.6.Знайдіть і зобразіть область означення функції:

1) z arcsin	x	arcsin(1 y);	2) z arccos	x	;
				x y
y2

3)z (x2 y2 4)(9 x2 y2 );

4)z log3(x2 y2 1) 16 x2 y2 .

1.7.Знайдіть область означення функції і її поверхні рівня:

1) u	x2 y2		z2 92 ;		2) u ln(36 36x2		9y2 4z2 );
3) u arcsin		x2	y2	;	4) u	1		;
			z
						z x2 y2

1. Функції кількох змінних

5) u	ln(z2		x2 y2 )		;

		1 x2		y2 z2

7) u ln(1 x2 y2 z2 );

1.8.Знайдіть:

1) lim		xy		;


x 0	3		xy 9
y 0

3)	lim	tg(x y)ex y			;
3)	lim	x2 y2			;
	x 1	x2 y2
	y 1
5)	lim(x y) sin		1 cos			1	;
	x 0		x			y
	y 0
				1

7)lim(1 x2 y2 )x2 y2 ;

y 0

1.9. Покажіть, що границя не існує:

1) lim x y ; x 0 x y

y 0

3)lim x2 y2 ;

xx2 y2 y

1.10.Знайдіть точки розриву функції:

1)z e x2 y2 ;

3) z y x2 ;

1.11. Знайдіть точки розриву функції: 1) u xyz1 ;

3) u x2 y2 z2 1 ;

6) u

;

8) u 2z2 6x2 3y2 6.

2) lim

x2 (y 2)2

1 1

;

x 0

x2 y2 4y 4

y 2

4) lim

ex2 y2

;

x2 y2

x 0

y 0

6) lim(x2

y2 ) arctg

;

x 0

x2 y2

y 0

x y

8) lim

y 5

2) lim

;

x 0 x2

y 0

4) lim

x2y

x 0 x2y2 (x y)2

y 0

2) z ex2 y2 ;

4) z

x2 y2 1

2) u

;

(y 1)

4) u

x2 y2 z2 1

54	Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних

Відповіді

1.8. 1) 6; 2) 1 ; 3) e2 ; 4) 1; 5) 0; 6) 0; 7) e; 8) e3.

2 2

1.10. 1) точка розриву (0; 0); 2) лінії розриву — прямі y x; 3) лінія розриву — парабола

y x2; 4) лінія розриву — гіпербола x2 y2 1.

1.11. 1) поверхні розриву — площини x 0, y 0, z 0; 2) точка розриву (1; 1; 0);

3)поверхня розриву — однопорожнинний гіперболоїд x2 y2 z2 1 0;

4)поверхня розриву — двопорожнинний гіперболоїд x2 y2 z2 1 0.

2.Похідні й диференціали функцій кількох змінних

Навчальні задачі

2.1.1. Знайти частинні похідні 1-го порядку функції z xe xy .

Розв’язання. [1.3.1.] [Знаходимо частинну похідну за змінною x.]



zx (xe xy )x e xy xye xy .

[Знаходимо частинну похідну за змінною y.]



zy (xe xy )y x2e xy .

Коментар. Знаходячи частинну похідну функції z xe xy за змінною x, вважаємо y сталою і використовуємо правила і формули диференціювання функцій однієї змінної.

Знаходячи частинну похідну функції z xe xy за змінною y, вважаємо x сталою і використовуємо правила і формули диференціювання функцій однієї змінної.

2.1.2. Знайти частинні похідні 1-го порядку функції u zxy .

Розв’язання. [1.3.1.]

ux yzxy ln z,uy xzxy ln z,uz xyzxy 1.

Коментар. Функція u залежить від трьох змінних x,y,z. Знаходячи частинні похідні за кожною змінною, інші дві вважаємо сталими.

2.2.1. Знайти частинні диференціали і повний диференціал 1-го порядку функ-

ції u ln(x2 y2 ).

Розв’язання. [1.4.5, 1.4.6.]

	[1.4.6]	u		2x	[1.4.6]	u		2y
d	u		dx		dx; d u		dy		dy.
d	u		dx		dx; d u		dy		dy.
x		x		x2 y2	y	y		x2 y2
		x		x2 y2		y		x2 y2

2. Похідні й диференціали функцій кількох змінних							55
[1.4.5]	u dx	u dy	2x		2y
du				dx		dy.
			x2 y2		x2 y2
	x	y

Коментар. У формулах для диференціалів диференціали незалежних змінних dx та dy є сталими:

dx x,dy y.

2.2.2. Знайти диференціал

1-го порядку

функції

у точці

M0(1;2;1).

Розв’язання. [1.4.6.]

[1.4.6]

dz.

;

y2 )2

(x2

M0 (1;2;1)

підставляємо: x 1,y 2,z 1

;

y2 )2

(x2

M0 (1;2;1)

1 .

(1;2;1)

[Підставляємо знайдені похідні у формулу для диференціала.]

2dx 4dy 5dz .

M0 (1;2;1)

Знайти du

2.3.

, якщо u xy , x ln t,y sin t.

Розв’язання. [1.3.2.]

[1.3.2]

u dy

yxy 1

xy ln x cost

y dt

x dt

sin t

(ln t)sin t 1

cost ln ln t (ln t)sin t .

2.4.

Знайти z

та dz , якщо z ln(ex

ey ),y

1 x3 x;

Розв’язання. [1.3.3.]

[Знаходимо частинну похідну.]

56	Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних

[Записуємо формулу для повної похідної і знаходимо похідну.]

dz dx

ex ex ey

[1.3.3]

dy .

y dx

(x2

1) 1

x2e3

ex ey

1x3 x

ex e3


		1	x3

1	x2e3
				.

			1x3
	1 e3

2.5.Знайти zu , zv , якщо z x3 y3 3xy, x uv,y uv .

Розв’язання. [1.3.2.] [Визначаємо формули.]

[1.3.2]

z x

z y

x u

y u

[1.3.2]

z x

z y

x v

y v

[Обчислюємо всі потрібні похідні.]

3y 3u v

;

2 3x 3

3uv;

;

[Підставляємо знайдені похідні у формули.]

2 2

2 3

3u v

3 u v

3uv

2u ;

2 2

3u v

3uv

2.6.Знайти zx , zy якщо x 2y 3z ez .

Розв’язання. [1.3.4.] [Записуємо співвідношення, яке задає неявну функцію у ви-

гляді F(x, y, z) 0.]

F(x,y, z) x 2y 3z ez .

z	[1.3.4]	F	1
		x			;
x		F	3 e	z	;
x		F		z
		z
z	[1.3.4]	F	2
z		y	2		.
y		F	3 e	z	.
y		F		z
		z

2. Похідні й диференціали функцій кількох змінних

2.7. Знайти всі похідні 2-го порядку функції z xe xy .

Розв’язання. [1.3.5, 1.3.6.] [Знаходимо похідні 1-го порядку.]

(xe xy ) (1 xy)e xy ;

(xe xy ) x2e xy.

[Знаходимо похідні 2-го порядку.]

zxx

((1 xy)e

) 2ye

xy e

;

zyy

( x e

)

x e

;

2 xy

3 xy

zxy

((1 xy)e

) 2xe

x ye

;

zyx

( x e

)

2xe

x ye

2 xy

Коментар. Для функції двох змінних можна розглядати чотири похідні 2-го порядку. Якщо виконані умови теореми Шварца [1.3.6], то мішані похідні zxy та

zyx рівні.

2.8.Знайти диференціали 2-го та 3-го порядку функції u(x,y) ey sin x. Об-


числити їх у точці M0
числити їх у точці M0		;0 .

	2

Розв’язання. [1.4.7, 1.4.8.]

[Записуємо формулу для диференціала 2-го порядку функції двох змінних.]

[1.4.7] 2u

d2u x2 dx2 2

[Знаходимо похідні 2-го порядку.]

2u	ey sin x;	2u
x2		x y

	2u	dxdy 2u dy2.
	x y	dxdy 2u dy2.
	x y		y2
ey cosx;			2u ey sin x.
			y2

[Підставляємо знайдені похідні у формулу для диференціала.]

d2u ey sin xdx 2 2ey cos xdxdy ey sin xdy2.

[Обчислюємо диференціал у точці M0.]

d2u(M	) ey sin xdx2	2ey cos xdxdy ey sin xdy2				dx2	dy2.
0
			M		;0
		0
				2

[Записуємо формулу для диференціала 3-го порядку функції двох змінних.]

58	Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних

[1.4.8]	3z dx3 3		3z			3z
d3z			3z	dx2dy 3		3z	dxdy2
d3z				dx2dy 3		x y2	dxdy2
m 3	x3		x2 y			x y2
[Знаходимо похідні 3-го порядку.]
	3u ey cos x;				3u	ey sin x;
	3u ey cos x;				x2 y	ey sin x;
	x3				x2 y
		3u	ey cos x; 3u			ey sin x.
		x y2	ey cos x; 3u			ey sin x.
		x y2			y3

3z dy3.

[Підставляємо знайдені похідні у формулу для диференціала.]

d3u ey cos xdx 3 3ey sin xdx2dy 3ey cos xdxdy2 ey sin xdy3.

[Обчислюємо диференціал у точці M0.]

d3u(M	0	) ey cos xdx 3	3ey sin xdx2dy 3ey cos xdxdy2	ey sin xdy3
	0
					M		;0
					M		;0
				0
						2

3dx2dy dy3.

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

2.9.Знайдіть частинні похідні і повний диференціал функції:

1) z x3y y3x 2x 3y 1;

2) z xy y

3x 2y 2;

3) z ln x x2 y2 ;

4) z x2

2 ;

5) z xy ;

6) z (cos y)sin x ;

7) x cos ;

8) y

t sin .

2.10. Знайдіть частинні похідні і повний диференціал функції:

1) u xyz;

2) u x3

yz2 3yx x z;

3) u xyz ;

4) u x

2.11. Знайдіть du(M0 ), якщо:

1) u

,M0(1;1);

2) u x y , M0(3; 2);

x y

3) u ln arcsin(x y

), M0

; 0

;

4) u arcctg ln(x y4 ), M0(e2; 0);

2. Похідні й диференціали функцій кількох змінних

5) u

, M0(3; 4; 5);

6) u xy

, M0(1;1;1).

2.12.

Знайдіть du

якщо:

1) u ex 2y,x sin t,y t3;

2) u arcsin(x y), x 3t,y 4t3;

3) u xyz,x

t2 1,y ln t, z

tg t;

4) u yz

, x et ,y ln t, z t2

2.13.

Знайдіть dz

та

z , якщо:

1) z x2y, y sin x cos x;

2) z

, y 3x 1;

3) z arctg(xy),y ex ;

4) z arcsin x

x2 1.

2.14.

Знайдіть

z якщо:

1) z x2 ln y,x uv ,y 3u 2v;

2) z x sin y y cos x, x uv , y uv;

3) z x2 y2 , x uv ,y u ln v;

4)z xy yx , x u2 v2, y u2 v2.

2.15.Знайдіть dz, якщо:


1)	x2e2z z2e2x 0;			2)	z sin x cos(x z) 0;
3)	sin(xz) exz x2z 0;			4)	zx xz ;
5) x2 2y2 z2 4x 2z 5;				6) z3 4xy y2 4 0;
7)	z3 3xyz a3;			8) ez xyz 0;
9)	xz ez y x3 y3 0;			10) yz arctg(xz).
2.16. Знайдіть d2u, якщо:
1) u x3 xy2 5xy3 y5;				2) u x3 3x2y y3;
	1
			(x2 y2 )3 ;	4) u arcsin(xy);
3) u
		3

60	Розділ 1. Диференціальне числення функцій кількох змінних

5) u (x y)exy ;

6) u x ln

;

7) u xy ;

8) u yln x ;

9) u xy yz zx;

10) u ln(x y z);

12) u exyz .

11) u ln

x2 y2 z2 ;

2.17.

Знайдіть вказані похідні:

1) z xe y,

2) z ln(x2

y2 ),

;

x y4

x2 y

3) z sin xy,

;

4) z exy2 ,

x y2

x2 y

Відповіді

2.9. 1) zx 3x2y y3 2, zy x3

3y2x 3;

2) zx y

3, zy x 1

3) zx

, zy

;

x2 y2

x2 y2 x x2 y2

4) zx

x4 3x2y2 2xy3

, zy

y4 3x2y2 2x3y

;

(x2 y2)2

5) zx yxy 1, zy xy ln x; 6)

zx cos x(cos y)sin x ln cos y, zy (cos y)sin x 1 sin x sin y;

7) x cos , x sin ; 8)

sin , y

t cos .

2.10. 1) u

yz,u

xz, u

xy;

3x2

3y 1, u

z2 3x, u

2yz 1;

yzxyz 1,

zxyz

ln x, u

yxyz ln x;

4) ux y x yz 1;uy 1 x yz ln x;uz

x yz

ln x.

2.11. 1) du(M0 ) dx 2dy; 2)

du(M0 ) 4dx 6dy; 3) du(M0 ) 6 dx;

4) du(M0)

e 2

5) du(M

0 )

dz; 6) 2dx ln 4 dz.

dx;

2.12. 1) ex 2y(cos t 6t2);2)

3 12t2

;

1 (x y)2

2tyz

; 4)

x(z 2yt2 ) yztet

cos2 t

tx2

2.13. 1) dz

2x(3x 2)

4xy

;

2 3x 1)2

(x2 y)2

2) dxdz 2x(sin x cos x) x2(cos x sin x), xz 2xy;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 206 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.11.2019157.7 Кб0Практика НМ.doc
#
12.05.201528.08 Кб7практика, мова1.docx
#
12.05.2015165.58 Кб14практика.pdf
#
17.03.2016393.04 Кб15ПРАКТИКА_ФММ1.docx
#
17.03.20165.29 Mб50Практикум 2.pdf
#
12.05.20155.25 Mб9Практикум2013.pdf
#
17.03.20162.86 Mб47Практикум_Ромашко.pdf
#
12.05.201524.81 Кб176Практичні роботи.docx
#
14.11.201954.78 Кб3Практична робота 2.doc
#
11.09.2019205.82 Кб1Практична робота 3.doc
#
11.09.2019301.57 Кб15Практична робота 4.doc