Практикум2013

 Q

P ;

R

Q ;

P

R

Pdx Qdy Rdz

x

y

y

z

z

x

L

не залежить від шляху інтегрування

Pdx Qdy Rdz dU

Pdx Qdy Rdz 0 L

є повним диференціалом

L

 Q

P

Pdx Qdy

x

y

L

не залежить від шляху інтегрування

Pdx Qdy dU

Pdx Qdy 0 L

є повним диференціалом

L

Інтеграл від повного диференціала

dU U(B) U(A)

AB

Відновлення функції за її

x

диференціалом

U(x, y, z) P(t, y0, z0 )dt

dU Pdx Qdy Rdz

x0

y

z

Q(x, t, z0 )dt R(x, y, t)dt C

y0

z0

Відновлення функції за її

U(x, y)

диференціалом

x

y

dU Pdx Qdy

P(t, y0 )dt Q(x, t)dt C

x0

y0

Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

33

2.16. Поверхневі інтеграли 1-го роду (за площею поверхні)

Поверхневий інтеграл 1-го роду від

Mi( i ; i ; i )

функції f (x, y, z) за поверхнею

z

i

f (x, y, z)d

n

O

lim

f ( , , ) ,

max d 0

i

i

i

i

y

i

i 1

n

x

де i

— площа ділянки; di

— її діаметр.

Геометричний зміст поверхневого

інтеграла 1-го роду. Маса,

f (x, y, z)d m( )

розподілена на поверхні з густиною

f (x, y, z) 0

Основні властивості поверхневого інтеграла 1-го роду

1) 1 d S( ) (площа ); 2) лінійність; 3) адитивність.

Обчислення поверхневого інтеграла 1-го роду.

Поверхня : z

z(x, y)

f (x, y, z)d

однозначно проектується в область

DOxy

f (x, y, z(x, y))

1 zx2

zy2dxdy

d

1 z 2

z

2dxdy

DOxy

x

y

Площа поверхні

S( ) d

Маса розподілена на поверхні

m( ) (x, y, z)d

з густиною (x, y, z)

Статичні моменти поверхні

z

щодо координатних площин

M

(x, y, z)d

y

xy

xz

x

yz

Координати центра мас

x Myz ;y Mxz ; z Mxy

поверхні

c

c

c

m

m

m

Моменти інерції поверхні

2

z

щодо координатних площин

xy

2

I

y

(x, y, z)d

xz

x2

yz

Моменти інерції поверхні

2

z

2

y

2

щодо осей координат

Ox

z

2

I

x

(x, y, z)d

Oy

y2

x2

Oz

Момент інерції поверхні

IO

(x

2

y

2

z

2

) (x, y, z)d

щодо початку координат

2.18. Поверхневі інтеграли 2-го роду

Орієнтовані поверхні. Поверхню

n

, у кожній точці якої вказано

нормальний вектор

й напрям обходу

n

контуру , називають орієнтованою.

Поверхневий інтеграл 2-го роду

z

0

i

від вектор-функції

n

(Mi )

P(x, y, z)

Q(x, y, z)

a

i

j

R(x, y, z)k

a

за вибраним боком поверхні

Mi

Pdydz Qdxdz Rdxdy

O

y

x

(a

,

0)d

n

де i

— площа ділянки;

n

di — діаметр ділянки;

lim

(M

),

0(M

))

(a

n

max d 0

i

i

i

i

i 1

n

0 — одиничний вектор нормалі.

n

Фізичний зміст поверхневого

(a

,

n

0 )d

(

a

)

інтеграла 2-го роду. Потік векторного

поля через вибраний бік поверхні