Практикум2013

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

16.1.2. Обчислити (5x2

5y2 z2 )dxdy, де — зовнішній бік частини пі-

y2 , вирізаної конусом z

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

5.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2015 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

15. Поверхневий інтеграл 1-го роду

141

3) du

(3y x)dx (y 3x)dy

;

(x y)3

4) du

12x y

dy;

5) du

dx dy dz

;

6) du

dx 3dy

3y x z3

dz.

y z

Відповіді

14.5. 1)

0; 2) 113

; 3)

7 ;

4) 18;

3 ; 6) ab; 7)

6 a2;

; 9)

a2b

ab; 10) .

14.6. 1) а) 22; б) 106; 2) а) 1; б) 1.

14.7. 1) 27;

R2; 3)

4 ; 4) 9 .

14.8. 1) ab; 2) 6 a2.

14.9. 1) u xe2y

5y3ex C;

u x3

x2y xy2 y3

3) u

x y

(x y)

4) u

4x3y

C; 5) u ln

C; 6) u

x 3y

x y z

15. Поверхневий інтеграл 1-го роду

Навчальні задачі

15.1. Обчислити

(x2 y2

3z2)d

за

частиною

поверхні конуса

z x2

y2 , відтятою площиною z

Розв’язання. [2.16.4.]

Поверхня проектується на площину Oxy у круг D, обмежений колом

y ,

[Знаходимо диференціал поверхні.]

[2.16.4]

1 z 2

z 2dxdy.

, z

;

x2 y2

2dxdy.

Рис. до зад. 15.1

x2 y2

142	Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

[2.16.4]

(x2 y2 3z2)d

(x2 y2

3(x2 y2))

2dxdy

[2.7.4]

(x2 y2)dxdy

3d d 4

d 3d 2

15.2. Знайти площу частини поверхні : x2

y2 z2 3,

вирізаної повер-

хнею : 2z x2

y2.

Розв’язання. [2.17.1.]

Площу поверхні знаходять за формулою

S( ) d .

Частина поверхні сфери, вирізаної параболоїдом, проекту-

ється на площину Oxy у круг, обмежений колом:

Рис. до зад. 15.2

Верхню півсферу задає рівняння z 3 x2 y2 .

[2.16.4]

1 z 2

z 2dxdy.

;

3 x2

3 x2 y2

dxdy

dxdy.

3 x2

3 x2 y2

3 x2

[2.16.4]

[2.7.4]

d d

S( ) d

dxdy

3 x2 y2

3 2

DOxy

2 d(3 2 )

3 d

3 2 | 2 (6 2

3) .

15. Поверхневий інтеграл 1-го роду

143

15.3.1. Знайти масу частини поверхні : z2

2px (p 0), відтятою площинами

y z, y z, z

( z y z, 0 z , 0), з

густи-

ною 0.

Розв’язання. [2.17.2.]

Масу поверхні з густиною (x,y,z) знаходять за формулою

[2.17.2]

m( )

(x,y,z)d 0d .

Частина поверхні

параболічного циліндра

: x

DOyz

однозначно проектується на площину Oyz в область DOyz .

[2.16.4]

2 y

1 xy2

xz2dydz

dydz.

Рис. до зад. 15.3.1

[2.16.4]

m( ) 0d

dydz

DOyz

dy 0( )

3 2

( ) p

15.3.2. Знайти масу частини поверхні : 2az x2 y2,a рхнею : x2 y2 a2, з густиною 15 z .

Розв’язання. [2.17.2.]

Масу поверхні з густиною знаходять за формулою

				[2.17.2]
		m( )		(x, y, z)d 15		z	d .
		m( )		(x, y, z)d 15		z	d .

Частина			поверхні		гіперболічного		параболоїда
z	x2	y2	,	вирізана	коловим циліндром	x2 y2		a2
z		2a	,	вирізана	коловим циліндром	x2 y2		a2
		2a

0, вирізаної пове-

y a

a x

Рис. до зад. 15.3.2

проектується на площину Oxy у круг D : x2 y2 a2.

[2.16.4]

a2 x2 y2

1 z 2

z 2dxdy

dxdy

dxdy.

144	Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

	m x, y, z d 15																									x2 y2									a2 x2 y2																	[2.7.4]
																																																				[2.7.4]
																																																	dxdy
																											2a															a							dxdy
																			D								2a															a
										15									D

																	cos2 sin2														a2 2											d
										2							cos2 sin2														a2 2											d
									2a
															D
												15							a																											
															d 2								cos 2						a2			2									d

												2
												2
											2a								0
							4												0
							4											a
	15					1												a										3
																							2				2	3						2						2											2		2
				8				cos 2 d													a		2				2			a				2						2						2		a			2		2
																																					a										d
			2																																		a										d
		2a				2
		2a				2		0										0
								0										0																																a
					15								4					2		2					2 5 2					2a			2					2							2 3 2



								sin 2											a																a
							2	sin 2											a																a
					a		2											5												3
					a								0					5												3																				0
													0																																					0
													4 2 1

											3													2 2 1															3
																								2 2 1

									30a																											4a								2 1 .
																5									3
																5									3

																[2.3.7]						4													[2.3.5]								4
Коментар. 									cos 2					d				4								cos 2					d											8 cos 2 d .
Коментар. 									cos 2					d				4								cos 2					d											8 cos 2 d .
																	T					4																					0
																	T					4																					0
																			2

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

15.4. Обчисліть поверхневий інтеграл:

(x2 y2)d , де — сфера x2

a2;

x2 y2

z2 d , де — півсфера y

R2 x2

z2 ;

x2 y2d , де — частина поверхні конуса

(0 z b);

(2z2 x2 y2)d ,

де

—

частина поверхні

конуса

яка вирізана циліндром x2

z x2 y2 ,

2x;

15. Поверхневий інтеграл 1-го роду		145
5) (x y z)d ,	де — частина площини	x 2y 4z 4,

(x 0,y 0,z 0);

6) xyzd , де — частина поверхні параболоїда 2z x2 y2, z 1.

15.5. Обчисліть площу частини:
1)		сфери	x2 y2		z2	a2,	що	міститься	всередині	циліндра
x2 y2 ax 0;
2)		сфери	x2 y2		z2	2a2,	що міститься		всередині	конуса
x2		y2 z2;
3)	конуса x2		y2 z2, розташованої в 1-му октанті й обмеженої пло-
щиною y z a;

4)		конуса	z		x2 y2 , що			міститься	всередині	циліндра
x2		y2 2x;
5)		параболоїда		2z x2		y2,	що	міститься	всередині	циліндра
(x2 y2 )2 x2 y2;
6)		параболоїда		2z x2		y2,	що	міститься	всередині	циліндра
x2		y2 1;

7) гіперболічного параболоїда az xy, що міститься всередині цилінд-

ра (x2 y2 )2 2a2xy;

8) сфери x2 y2 z2

a2, що міститься всередині циліндра

(x2 y2 )2 2a2xy.

15.6. Обчисліть масу, розподілену:

1) по сфері x2 y2 z2 R2 з густиною 0
	x2 y2 ;

2) по частині параболоїда x2 y2 2z, z 1, з густиною 0z.

15.7.Знайдіть координати центра мас однорідної поверхні:

1) x2 y2 z2 R2, x 0,y 0,z 0;

2) z R2 x2 y2 ,x 0,y 0, x y R;

3) z x2 y2 ,x2 y2 x.

146	Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

Відповіді

15.4. 1) 8 a4;						2) 2 R4;			3)		2 a2				a2 b2			;	4)		3	; 5) 7				21	; 6) 0.
15.4. 1) 8 a4;						2) 2 R4;			3)									;	4)			; 5) 7					; 6) 0.
	3														3				2						3
15.5. 1) 2a2( 2);								2) 2 a2(2									a2								20 3				2
														2);		3)	a2			; 4) 2; 5)					20 3			; 6)	2	(2 2	1);
																											9		3
																		2
																		2
7) a2
7) a2	(20 3 ); 8) 2( 4 4												2)a2.
9
15.6.	1)		2 3			; 2)		2 (1 6 3)						0
		0		R											.
		0		R					15						.
									15
				R		R																	1
									2			2				2 1
	R								2			2				2 1									16
15.7.	1)		;		;		;	2)		R;				R;					R ; 3)					;0;		.
15.7.	1)	2	;	2	;	2	;	2)	4	R;		4		R;					R ; 3)				2	;0;		.
		2		2		2			4			4											2		9

16. Поверхневий інтеграл 2-го роду

Навчальні задачі

16.1.1. Обчислити (2x z)dydz 3zdxdz (x 2z)dxdy,	де — верхній

бік трикутника x 4y z 4, x, y, z 0.

Розв’язання. [2.18.6.]

Поверхня : z 4 x 4y однозначно проектується на площину Oxy.

Щоб обчислити поверхневий інтеграл, скористаємося формулою

[2.18.6]

0 )d

(a,n0)

dxdy.

cos

DOxy

z z(x,y)

Нормальний вектор до верхнього боку площини

12 42 12

;

18;

Рис. до зад. 16.1.1

								1						4						1
	0		n																						;	cos
										i							j						k
n
n
			n				3		2			3			2					3		2

						(2x z)i 3zj (x 2z)k .
					a	(2x z)i 3zj (x 2z)k .
																								2z z
																								2z z

											1			4					1
				0			)

		(a		, n								;						;						3z
											2	3				2			3
									3		2	3				2			3		2					2z
																							x			2z

			2x z 12z											x 2z 3x													13z .
											3		2													3	2

1 .

16. Поверхневий інтеграл 2-го роду

147

(			,		0 )
		a		n		(3z 13z)	z 4 x 4y	52 10x 52y.
		a		n
	cos

						z 4 x 4y
						z 4 x 4y

(2x z)dydz 3zdxdz (x 2z)dxdy,

			[2.7.2]
(52 10x 52y)dxdy			[2.7.2]
(52 10x 52y)dxdy
	DOxy
1	4 4y			128
dy		(52 10x 52y)dx		128	.
dy		(52 10x 52y)dx			.
0	0		3
0	0

Коментар. У загальному рівняння площини Ax By Cz D 0 коефіцієнти A, B,C є відповідними координатами нормального вектора. Вектор

(1; 4;1)T утворює гострий кут з віссю Oz і задає верхній бік поверхні (нижній бік поверхні задає вектор n ( 1; 4; 1)T ).

Розв’язання. [2.18.5.]

Поверхневий інтеграл обчислимо за формулою

	[2.18.5]
R(x,y,z)dxdy	R(x,y,z(x,y))dxdy.
	DOxy

На зовнішньому боці поверхні нормаль утворює гострий кут із віссю Oz, отже перед інтегралом вибираємо знак « ».

Частина поверхні однозначно проектується в область DOxy,

y x

Рис. до зад. 16.1.2

обмежену кривою


					x	2			2	,
		z			x		y			,					2			2
													x		2		y	2		2.


					4 x			2	y			2
		z			4 x				y

					[2.18.5]
(5x2 5y2 z2 )dxdy						(5x2 5y2												(4 x2 y2 ))dxdy
										DOxy
											[2.7.4]
4 (1 x2					y2 )dxdy									4 (1 2 ) d d
	DOxy
	DOxy													DOxy
			2			2											2			4	2
			2														2			4	2


4		d		(1 ) d								4		2								16 .
4		d		(1 ) d								4		2		2			4			16 .
			0													2			4		0
			0																		0

148	Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

16.1.3. Обчислити z2dxdy, де			— зовнішній


y R2 x2 z2 .

Розв’язання. [2.18.5.]

Оскільки поверхня проектується на площину Oxy неодно-

значно, то розіб’ємо поверхню на частини 1 та 2, роз-

ташовані відповідно вище й нижче площини z 0.



z2dxdy z2dxdy z2dxdy.

бік півсфери

z 1 n1

2 y x n2

Рис. до зад. 16.1.3

Поверхні 1 та 2 проектуються на площину Oxy в одну й ту саму область

: x2 y2 R2, y 0. Зовнішня нормаль до утворює з віссю Oz

гост-

Oxy

рий кут, а до 2 — тупий. Отже,

[2.18.5]

z2dxdy

(R2

y2)dxdy;

DOxy

[2.18.5]

z2dxdy

(R2

y2)dxdy;

DOxy

z2dxdy 0.

Коментар.  Властивість адитивності поверхневого інтеграла.

16.2.

Знайти потік векторного поля

zk через зовнішній бік

частини поверхні : x2

y2 a2

z a).

Розв’язання. [2.20.8.]

Потік векторного поля знаходять за формулою

		[2.20.8]				0)d .
(a	)			,
			(a		n

Проектуємо поверхню на площину Oxz. Оскільки вона проектується неоднозначно, то розіб’ємо її на частини

1 {y 0} та 2		{y 0}.
					.
			1	2
		[2.18.6]		(				,		0)
	0	[2.18.6]		(			a	,	n	0)
	0			1
(a,n1 )d						cos						dxdz.
1			DOxz			cos					y	y(x,z)

2		z	1
		z

				n10

	20
n	20

x z a

		x
O	a	x

Рис. до зад. 16.2

16. Поверхневий інтеграл 2-го роду

149

На 1 маємо:

a2 x2 .

F(x, y, z) x2 y2 a2 0.

)

.

grad F (2xi

2yj

2xi

2yj

4x2 4y2

;

, cos

x2 y2

(a,n

) (x;y;z)

;

x2 y2 .

x2 y2

(

0 )

cos

a2 x2

y a2 x2

a2dxdz

(

) (

10 )d a2

a2 dz

a2 x2

Oxz

a arcsin x

a3.

Коментар.  Для 1 нормаль утворює гострий кут з віссю Oy.

Потік для

обчислюють так само,

враховуючи,

що

2 (2xi

2yj

y a2 x2 .

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

16.3. Обчисліть:

1)	x2dydz y2dxdz z2dxdy,	де	— зовнішній бік поверхні півс-

фери x2 y2 z2 R2 (z 0);
2)	xdydz ydzdx zdxdy,	де	— внутрішній бік сфери

x2 y2 z2 R2;

150	Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

			2	y	2
	x			y
3)							де	— внутрішній

		16		9		dxdy,
		16		9

z 4 x2 y2 , відтятої площиною z 0.

16 9

4) ydxdz, де — верхній бік частини площини

бік параболоїда

x y z a, що

лежить у 1-му октанті.

16.4.

Знайти потік векторного поля

через орієнтовану поверхню , якщо:

(x 2z;x 3y z;5x y), — протилежний початку коорди-

нат бік трикутника з вершинами (1;0; 0),

(0;1;0),(0;0;1);

(y2;x2;z2 ),

—

частина

зовнішнього

боку

циліндра

x2 y2

a2,

розташованого в 1-му октанті між площинами

z 0 і

z a,a 0;

(3x; y; z),

—

частина

зовнішнього

боку

параболоїда

x2 y2

9 z, розташованої в 1-му октанті;

(x2;y2;z2 ),

—

частина

зовнішнього

боку

параболоїда

x2 y2

z (0 z H);

(xy;yz;zx),

—

частина

зовнішнього

боку

сфери

x2 y2

1, розташовану в 1-му октанті;

(x;y;

x2 y2 1),

— частина зовнішнього боку поверхні

гіперболоїда

x2 y2 z2

що міститься між площинами

z 0 і

Відповіді

16.3. 1)

; 2) 4 R3; 3) 96 ;

16.4. 1)

5 ; 2)

2a4

; 3) 81 ; 4)

R2H 2

; 4)

; 5) 2

3 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2015 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.11.2019157.7 Кб0Практика НМ.doc
#
12.05.201528.08 Кб7практика, мова1.docx
#
12.05.2015165.58 Кб14практика.pdf
#
17.03.2016393.04 Кб15ПРАКТИКА_ФММ1.docx
#
17.03.20165.29 Mб50Практикум 2.pdf
#
12.05.20155.25 Mб9Практикум2013.pdf
#
17.03.20162.86 Mб47Практикум_Ромашко.pdf
#
12.05.201524.81 Кб176Практичні роботи.docx
#
14.11.201954.78 Кб3Практична робота 2.doc
#
11.09.2019205.82 Кб1Практична робота 3.doc
#
11.09.2019301.57 Кб15Практична робота 4.doc