Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум2013

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

5.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2018 19 20 > Следующая >>>

20. Лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку. Рівняння Бернуллі

171

6) Точка масою m 6 г рухається прямолінійно. На неї діє сила, пропорційна часові (коефіцієнт пропорційності k1 4). Крім того, на точку діє опір середовища, пропорційний швидкості (коефіцієнт пропорційності k2 2). Знайдіть залежність швидкості від часу, вважаючи, що в по-

чатковий момент швидкість дорівнює нулеві.

20.7. Зінтегруйте рівняння:

1) y

y2;

2) y y tg x y2 cos x 0;

x 1

3) y

2 y

4) y

;

x y;

cos2 x

5) (x3 ey )y 3x2;

6) y

x2 cos y a sin 2y

20.8.Розв’яжіть задачу Коші:

1)y 9x2y (x5 x2 )y23,y(0) 0;

2)xy y y2 ln x,y(1) 1.

Відповіді

20.4. 1) y e

; 2)

C )(1 x

); 3) y C(x

1) x

4) y Cx2 ex ; 5)

x Ce2y

; 6)

2a(sin y 1) Cesiny;

7) x Cy y ln y; 8) x (C y)e y22.

20.5. 1)	y	x	; 2) y 1;			3) x t arctg t; 4)	x y2 y3.
		cos x

20.6. 1)	y Cx x ln			x	2;	3) x2 y2 Cx; 4)	y x Cx2; 5) ланцюгова лінія;

6) m dvdt k1t k2v,v(0) 0,v(t) 2 t 3 3e t3 .

20.7. 1)				1	(x 1)(C ln(x 1));											2) 1	(x C )cos x; 3)					tg x C
				1																	y		;
																					y		;
			y													y						x
4) 2						ln x Cx2; 5)								x3e y C y; 6)				x2 Cesin y 2a(sin y 1).
4) 2		y x2				ln x Cx2; 5)								x3e y C y; 6)				x2 Cesin y 2a(sin y 1).
							2		x	3	1		3	2	3			1
							2		x		1		3	2				1
20.8.	1)		y					e				x			,y 0;2)		y			.
20.8.	1)		y					e				x			,y 0;2)		y			.
							9				9			9					ln x 1
							9				9			9					ln x 1

172	Розділ 3. Диференціальні рівняння

21. Рівняння, що дозволяють пониження порядку

Навчальні задачі

21.1. Розв’язати задачу Коші y cos 2x,y(0) 1,y (0) y (0) 0.

Розв’язання. [3.3.1.]

Маємо ДР вигляду y f (x).

[Розв’яжемо ДР безпосереднім інтегруванням, поступово визначаючи значення сталих.]

			y cos 2xdx								1 sin 2x C1;
				(0) 0 C							2
			y	(0) 0 C				1	0			C		1	0.
								1						1
y		1	sin 2x; y		1			sin 2xdx								1		cos 2x C				;
y			sin 2x; y		2			sin 2xdx										cos 2x C				;
	2														4				2
	2														4
		y (0)		0		1	C				0 C									1	.
		y (0)		0			C			2	0 C						2				.
				4						2							2		4
				4															4
y 1 cos 2x 1 ;				y 1			(cos 2x 1)dx 1 sin 2x																1 x C		;
4	4			4															8				4	3
4	4			4															8				4
			y(0) 0 C3						1			C3			1.
Розв’язок задачі Коші y 1 sin 2x									1 x 1.
				8					4
21.2. Знайти загальний розв’язок ДР y												y	x.
21.2. Знайти загальний розв’язок ДР y												x	x.
												x

Розв’язання. [3.3.2.]

Це ДР, яке не містить невідомої функції в явному вигляді F(x,y ,y ) 0.

Позначаємо [запроваджуючи нову функцію]

y p(x),y p (x).

p xp x.

Одержали лінійне ДР 1-го порядку, яке розв’яжемо методом Бернуллі [3.2.8]:

	p u(x)v(x), p u v uv ;
					u
					u
						0,
		u	u		x	0,
v u			uv x		x
				x.
		x	uv	x.

dudx ux ;duu dxx ;u(x) x. xv x;v 1;v(x) x C1;

y p(x) x(C1 x) C1x x2;

	21. Рівняння, що дозволяють пониження порядку													173
	y (C1x x2 )dx					C		1	x2			x3	C2.
	y (C1x x2 )dx						2		x2			3	C2.
							2					3
Загальний розв’язок рівняння y		C		1	x2		x	3	C2.
				1
			2			3
			2			3
21.3.	Розв’язати задачу Коші: yy				2	y				2				1.
21.3.	Розв’язати задачу Коші: yy		(y )			y					ln y,y(0) 1,y (0)			1.

Розв’язання. [3.3.3.]

Це задача Коші для ДР, яке не містить аргументу функції в явному вигляді

F(y,y ,y ) 0. Позначаємо [запроваджуючи нову функцію]

y p(y); yxx p dpdy .

yp dpdy p2 y2 ln y; dpdy yp y lnp y .

Одержане рівняння Бернуллі розв’яжемо методом Бернуллі:

p uv, p u v uv .

y ln y

v u

y ln y

0;du

;u y.

ln y

;vdv

ln ydy

;

ln2 y

p(y) yln2 y C1 .

Визначимо сталу C1 з початкової умови: p(y(0)) 1 p(1) 1.


	p(1) C1		1		C1		1.
dy						dy
	y	ln2 y 1;						dx;
dx
				y		ln2 y 1

dlny

x ln2 y 1 ln ln y ln2 y 1 C2.

Визначимо сталу C2 з умови y(0) 1.

0 0 C2 C2 0.

Розв’язок задачі Коші x ln ln y 1 ln2 y .

174	Розділ 3. Диференціальні рівняння

Задачі для аудиторної і домашньої роботи
21.4. Зінтегруйте рівняння:
1) y x sin x;						2) y arctg x;
3) yIV	x;					4) y cos 2x;
5) xy	y ;					6) y		y	x;
5) xy	y ;					6) y		x	x;
								x
7) y 2 ctg x y sin3 x;						8) xy y 1 x;
9) 2yy			2	2	;	10) y	2	y		2	1.
9) 2yy		3(y ) 4y			;	10) y		y			1.

21.5.Розв’яжіть задачу Коші:

1)y xex ,y(0) y (0) 0;

2)y (x 2)5 1,y( 1) 121 ,y ( 1) 14 ;

3)y (x2 1) 2xy , y(0) 1,y (0) 3;

4)y y x2 , y(2) 0,y (2) 4;

5)2y 3y2,y( 2) 1, y ( 2) 1;

6)y3y 1,y(1) 1,y (1) 0.

Відповіді

21.4. 1) y

sin x C x C

;

arctg x

(x2

ln(1

x2) C x C

;

3) y

C x3

C x2

C x C

; 4) y

sin 2x

C x2

C x C

;

120

sin

5) y C1x

C2;

6) y

C1x

C2;

7) y

sin 2x

;

8) y

C x ln

C x C

; 9)

y cos2(x C

) C

;

10) y sin(C1 x) C2x C3.

21.5. 1) y (x 2)ex x 2; 2) y

; 3) y x3 3x 1;

12(x 2)

2 x2

16 ; 5) y

4) y

; 6) y 2x x2.

(x 4)2

22. Лінійні однорідні диференціальні рівняння. Метод Ейлера

175

22. Лінійні однорідні диференціальні рівняння. Метод Ейлера

Навчальні задачі

22.1.1.Знайти фундаментальну систему розв’язків і загальний розв’язок ДР y y 2y 0.

Розв’язання. [3.5.]

Маємо ЛОДР 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами.

[Складаємо характеристичне рівняння.]

2 2 0.

[Розв’язуємо рівняння і виписуємо відповідні кореням характеристичного рівняння лінійно незалежні розв’язки ЛНДР.]

1 1 y1 ex ,2 2 y2 e 2x .

ФСР диференціального рівняння [3.5.8]: {ex ,e 2x }.

Загальний розв’язок ДР [3.5.9]: y C1ex C2e 2x . Коментар.Замінюємо y 1,y ,y 2.

22.1.2.Знайти фундаментальну систему розв’язків і загальний розв’язок ДР y 2y 26y 0.

Маємо ЛОДР 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами:

2 2 26 0;

1,2 1 5i y1,2 e x cossin 55xx . ФСР рівняння [3.5.8]: {e x cos 5x,e x sin 5x}.

Загальний розв’язок [3.5.9]: y C1e x cos 5x C2e x sin 5x.

22.1.3.Знайти фундаментальну систему розв’язків і загальний розв’язок ДР y 6y 9y 0.

Розв’язання. [3.5.]

Маємо ЛОДР 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами:

2 6 9 0;

1,2 3 y1 e3x ,y2 xe3x .

ФСР рівняння [3.5.8]: {e3x , xe3x }.

Загальний розв’язок [3.5.9]: y C1e3x C2xe3x .

176	Розділ 3. Диференціальні рівняння

22.2. Розв’язати задачу Коші:

y 6y 11y 6y 0,y(0) y (0) 0,y (0) 4.

Розв’язання. [3.5.]

Маємо задачу Коші для ЛОДР 3-го порядку зі сталими коефіцієнтами.

3 6 2 11 6 0;

1 1 ex ; 2 2 e2x ; 3 3 e3x .

ФСР рівняння [3.5.8]: {ex ,e2x ,e3x }. Загальний розв’язок рівняння [3.5.9]:

y C1ex C2e2x

[Враховуємо початкові умови.]

y C1ex 2C2e2x y C1ex 4C2e2x

C3e3x .

3C3e3x ;

9C3e3x .

Використовуючи початкові умови, одержуємо систему щодо C1,C2,C3 :

		C		C			0,
C	1		2			3

		2C			3C				0,
C	1			2				3

		4C			9C				4.
C	1			2				3

Розв’язок задачі Коші y 2ex				4e2x				2e3x

		2,
C	1	2,
	1
		4,
C	2	4,
	2
		2.
C	3	2.
	3

Задачі для аудиторної і домашньої роботи
22.3. Знайдіть загальний розв’язок рівняння:
1) y y 2y 0;	2) y 9y 0;
3) y 4y 0;	4) y 9y 0;
5) y 2y y 0;	6) 4 d2x	20 dx 25x 0;
	dt2	dt
7) y 4y 0;	8) y y 0;
9) y 6y 13y 0;	10) 4y 8y 5y 0;
11) y 9y 0;	12) y(4) 13y 36y 0;
13) y(4) 8y 16y 0;	14) y(4) 16y 0.

22.4.Розв’яжіть задачу Коші:

1)y 4y 3y 0,y(0) 6,y (0) 10;

2)y 4y 0,y(0) 7,y (0) 8;

22. Лінійні однорідні диференціальні рівняння. Метод Ейлера

177

3)4y 4y y 0,y(0) 2,y (0) 0;

4)y 6y 9y 0,y(0) 0,y (0) 2;

5)y 4y 0,y(0) 0,y (0) 2;

6)y 4y 29y 0,y(0) 0,y (0) 15.

22.5.Складіть ЛОДР, знаючи їхні характеристичні рівняння:

1) 9 2 6 1 0;	2) 2 3 2 0;
3) 2 2 3 5 0;	4) ( 1)( 2) 0;

5)( 2 1)2 0.

22.6.Складіть ЛОДР, якщо відомі корені характеристичних рівнянь, і запишіть їхні загальні розв’язки:

1) 1						1, 2		2;													2) 1 1, 2					1;
3) 1 3 2i, 2 3 2i;																					4) 1 1, 2 1, 3 1.
Відповіді
22.3. 1) y C ex C e 2x ;									2) y C e3x											C e 3x ; 3)		y C e4x C						; 4) y C e 9x C								;
					1		2										1			2				1		2					1				2
5) y ex(C				1	C x);		6) x (C				1	C t)e5t 2; 7)									y C	1	cos 2x C		2	sin 2x;
				1		2					1						2					1			2
														3x																x					x
8) y C1 cos x C2 sin x; 9) y e														3x				(C1 cos 2x			C2 sin 2x);			10) y e			x			x	C			2 sin	x
8) y C1 cos x C2 sin x; 9) y e																		(C1 cos 2x			C2 sin 2x);			10) y e					C1 cos		C			2 sin		;
																														2
																														2					2
11) y C	1		cos 3x C				2	sin 3x C					3	;		12) y C e2x C e 2x								C e3x C e 3x ;
	1						2						3							1		2		3					4
13) y (C		1		C x)e2x (C					3	C x)e 2x ;										14) y	C e2x C e 2x				C		3		cos 2x C			4	sin 2x.
		1				2			3			4									1			2			3					4
22.4. 1) y 4ex 2e3x ; 2)									y 9 2e 4x ; 3) y e x													2(2 x);
4) y 2e3xx; 5) y sin 2x; 6) y 3e 2x sin 5x.
22.5. 1) 9y 6y y 0;									2) y 3y 2y 0; 3) 2y 3y 5y 0;
4) y 3y						2y 0;		5) y(4) 2y y 0.
22.6. 1) y 3y 2y 0,									y C ex									C e2x ;
													1							2
2) y 2y y 0, y (C x C															2	)ex ;
										1					2
3) y 6y 13y 0,								y e3x(C1 cos 2x C2 sin 2x);
4) y 3y						3y y 0,			y ex (C								1		C x C x2).
																	1			2	3

cos2 x

178	Розділ 3. Диференціальні рівняння

23. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами

Навчальні задачі

23.1. Знайти загальний розв’язок ЛНДР y y	1	.

	cos3 x
Розв’язання. [3.6.1, 3.6.2.]	cos3 x
Розв’язання. [3.6.1, 3.6.2.]

[Оскільки права частина ЛНДР має загальний вигляд, то загальний розв’язок рівняння знайдемо методом Лаґранжа.] [Крок 1. Розв’язуємо відповідне однорідне рівняння.]

	y y 0;
	1,2	y			cos x,
2 1 0;	1,2	i	1		sin x.
		y		2	sin x.
				2

[Крок 2. Записуємо вигляд, у якому шукатимемо загальний розв’язок ЛНДР.] y C1(x)cos x C2(x)sin x.

[Крок 3. Функції C1(x),C2(x) знаходимо з алгебричної системи
					(x)y	(x) 0,
C		(x)y (x) C		2
	1		1		2
				(x)y (x) f(x),
C (x)y (x) C
	1		1	2	2

яку можна розв’язати за методом Крамера.]

C1 cos x C

2 sin x 0,

cos x

sin x C

C sin x C cos x

;

sin x

cos x C

cos x

cos

cos x

sin x

cosx

sin x

cos x

sin x

;

cos x

sin x

cos3 x

cos2 x

cos3 x

sin x

;

cos3 x

cos2 x

[Крок 4. Знаходимо C1(x),C2(x).]

sin xdx C1(x) cos3 x

d(cosx) cos3 xtg x

2 cos2 x A1;

A2.

23. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами						179
Загальний розв’язок ЛНДР
		1
		1
y	A1	2		cos x tg x A2	sin x.
		2
		2 cos	x

23.2. Записати вигляд частинного розв’язку ДР y 5y x2 1 (з невизначеними коефіцієнтами).

Розв’язання. [3.7.]

Маємо ЛНДР 2-го порядку зі спеціальною правою частиною.

[Розв’язуємо характеристичне рівняння для однорідного рівняння. ]

3 5 2 0;1,2 0, 3 5.

[Аналізуємо праву частину диференціального рівняння.]

Функція f (x) x2 1 є правою частиною спеціального вигляду — «многочлен 2-го порядку»; йому відповідає число k 0 [3.7.1].

[Перевіряємо чи відбувається збіг числа k з розв’язками характеристичного рівняння.]

Є «резонанс» 2-го порядку, оскільки 1 2 k.

[Записуємо шаблон для частинного розв’язку ЛНДР.]

yчаст. неодн. x2(Ax2 Bx C ).

23.3.1. Знайти загальний розв’язок ДР y 5y 6y 6x2 2x 5.

Розв’язання. [3.6.3, 3.7.]

Маємо ЛНДР 3-го порядку зі сталими коефіцієнтами.

[Крок 1. Записуємо теорему про структуру розв’язку ЛНДР.]

yзаг. неод. yзаг. одн. yчаст. неодн.

[Крок 2. Знаходимо загальний розв’язок відповідного ЛОДР методом Ейлера).] y 5y 6y 0;

3 5 2 6 0;

1 0 y1 1; 2 2 y2 e2x ; 3 3 y3 e3x .

ФСР рівняння: {1,e2x ,e3x }.

yзаг. одн. C1 C2e2x C3e3x .

[Крок 3. Записують частинний розв’язок ЛНДР з невизначеними коефіцієнтами.]

Оскільки права частина

f (x) 6x2 2x 5

є многочленом 2-го степеня, а число k 0 є коренем кратності s 1 характеристичного рівняння, то частинний розв’язок шукаємо у вигляді:

y x Ax2 Bx C Ax3 Bx2 Cx.

180	Розділ 3. Диференціальні рівняння

[Крок 4. Визначаємо коефіцієнти, підставляючи частинний розв’язок у ЛНДР.]

		y 3Ax2 2Bx C;


		y 6Ax 2B;
		y 6A.

6A 5 6Ax 2B 6 3Ax2 2Bx C								6x2 2x 5.
18Ax2 (12B 30A)x (6A 10B 6C ) 6x2 2x 5.
[Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях.]
									1
									1	,
					A					,
	18A 6,
									3
									3
									1,
	12B 30A 2,			B					1,

									1
	6A 10B 6C 5,								1	.
					C					.
									2
Частинний розв’язок ЛНДР має вигляд									2
Частинний розв’язок ЛНДР має вигляд
			x	2				1
			x					1
					x

	yчаст. неодн. y x								.
			3					2
			3					2
[Крок 5. Записуємо загальний розв’язок ЛНДР.]
y	заг. неодн.	C C e2x C e	3x			1	x3 x2				1	x .
y		C C e2x C e					x3 x2					x .
		1 2 3			3					2
		заг. одн.
		заг. одн.					част. неодн.
							част. неодн.

23.3.2. Знайти загальний розв’язок ДР y y 6y (6x 7)e x .

Розв’язання. [3.6.3, 3.7.]

Маємо ЛНДР 3-го порядку зі сталими коефіцієнтами зі спеціальною правою частиною.

yзаг. неод. yзаг. одн. yчаст. неодн.

y y 6y 0;

3 2 6 0;

1 0 y1 1; 2 2 y2 e2x ; 3 3 y3 e 3x . yзаг. одн. C1 C2e2x C3e 3x .

Оскільки права частина ДР має вигляд [3.7.2]:

f (x) (6x 7)e x ,

число k 1 не є коренем характеристичного рівняння, а f (x) 6x 7 — многочлен 1-го степеня, то частинний розв’язок ЛНДР шукаємо у вигляді:

y (Ax B)e x .

y Ae x (Ax B)e x e x (A B Ax);

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2018 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.11.2019157.7 Кб0Практика НМ.doc
#
12.05.201528.08 Кб7практика, мова1.docx
#
12.05.2015165.58 Кб14практика.pdf
#
17.03.2016393.04 Кб15ПРАКТИКА_ФММ1.docx
#
17.03.20165.29 Mб50Практикум 2.pdf
#
12.05.20155.25 Mб9Практикум2013.pdf
#
17.03.20162.86 Mб47Практикум_Ромашко.pdf
#
12.05.201524.81 Кб176Практичні роботи.docx
#
14.11.201954.78 Кб3Практична робота 2.doc
#
11.09.2019205.82 Кб1Практична робота 3.doc
#
11.09.2019301.57 Кб15Практична робота 4.doc