Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум2013

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

5.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2013 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

11. Потрійний інтеграл

121

Коментар.  Тіло

обмежене

поверхнями: параболоїдом обертання

x 6(y2 z2 ), коловим циліндром y2

z2 3, твірні якого паралельні осі Ox,

площиною Oyz.

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

11.6. Обчисліть потрійний інтеграл:

dxdydz

G — область, обмежена площинами x 0,

y z 1)

y 0,z 0,x y z 1;

2) (x z)dxdydz, G — область, обмежена поверхнями x y 1,

x y 1,x z 1,z 0,x 0;

x2 z2dxdydz,

— область, обмежена

поверхнями

y x2 z2,y 1;

xydxdydz,

G — область, обмежена поверхнями

x2 y2 1,

z 0, z

1, x 0,y 0;

5) (x2

z2 )dxdydz, G : 1 x2 y2 z2 4, x 0,y 0,z 0;

dxdydz,

G : x2 y2 z2 R2,z

x2 y2 ;

2 y2 z2

dxdydz, G — область, обмежена еліпсоїдом

1 x2

z2dxdydz, G — область, обмежена еліпсоїдом

11.7. Знайдіть об’єм тіла, обмеженого поверхнями:

1) x 4,y 4, z x2 y2 1, x 0, y 0,z 0; 2) z 2x 2 y2 1, x y 1, x 0, y 0,z 0;

122	Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

3) y x,y 2x, x z 6, z 0; 4) y x2,y 1, z 0, z x2 y2; 5) az x2 y2, 2az a2 x2 y2 ; 6) x2 y2 z2 2a2,az x2 y2 ; 7) x2 y2 2az, x2 y2 z2 3a2 ; 8) z x 2 y2 , z 6 x 2 y2;

9)x2 y2 a2, x2 y2 z2 a2 ;

10)2(x2 y2 ) z2,x2 y2 z2 a2;

11)z 64 x2 y2 , x2 y2 60, z 1;

12)z 0,z ae (x2 y2 ), x2 y2 R2;

13)

z 0, x2 y2 2ax, x 2 y2

z2;

14)

x2 y2

2Rx, z x2

y2, z

15)

x2 y2

y, x2 y2

4y, z

0, z

x2 y2 ;

16)

x2 y2

a2, x2

ax, z 0;

17)

x2 y2

a2, x2

z2 ;

18)

x2 y2

2az, x2

y2 z2 ;

19)

64 x2

169,z

,y 0,y 3x;

20) 16 x2

100, 0 z

,y 0, y

;

21)

22)

11.8. 1. Знайдіть масу сферичного шару між поверхнями x2 y2

R2 та

x2 y2

z2 4R2, якщо густина в кожній його точці обернено пропор-

ційна віддалі точки від початку координат.

2. Знайдіть масу циліндра з радіусом R та висотою H,

якщо густина

пропорційна висоті та дорівнює 1 на нижній основі.

3. Знайдіть масу тіла, обмеженого еліпсоїдом

1, з гус-

тиною (x,y, z) k

11. Потрійний інтеграл

123

4. Знайдіть

масу тіла, обмеженого

поверхнями x2 y2

(y 0), y2

x2 z2, з густиною (x,y,z) k(x2 y2

z2 ).

5. Знайдіть масу тіла, обмеженого поверхнями z h

та x2

z2,

якщо густина в кожній точці пропорційна аплікаті цієї точки.

6. Знайдіть масу тіла, обмеженого поверхнями z h

та x2

z2,

якщо густина в кожній точці дорівнює 0z2.

11.9. Знайдіть координати центра мас тіла з густиною :

1) x2 y2 z2 R2, x 0,

;

x2 y2

2) 1 x2 y2 z2 4,y 0, 0(x2 y2 z2 );

3) x2 y2 z h, (x,y, z) 0z2 ;

4) x2 y2 z h, (x,y,z) 0

h z;

5) z

, x 0,y 0,z 0,2x 3y 12 0, (x,y, z) 1;

6) y x,y 2x,z 0,x z 6, (x,y,z) 1.

11.10.Знайдіть моменти інерції щодо осі Oz однорідного ( 1) тіла:

			1) x2 y2 R2, 0 z H ;																																	2) x2 y2 z2 R2, z 0.
Відповіді
11.6. 1)			1 ln 2									5		;	2)		5		; 3)		4			;	4)			1	; 5) 31						;	6)		R3			; 7)			4 abc; 8)								3 2	.
			2							16						12					15							8			10								6					5								2
			560							3						48			6					88						a3						a3												a3									32
11.7. 1)			560		;			2)		3			; 3)			48			6	;	4)			88			; 5)			a3		; 6)				a3						2 7); 7)						a3						5); 8)			32	;
																																							(8												(6 3
			3							4								5					105							12						6			(8									3			(6 3						3
			3							4								5					105							12						6												3									3
9) 4	a3(2							1); 10)								4		a3(													276 ; 12)							a(1 e R2 ); 13)												32 a3;				14)	3 R4
9) 4	a3(2				2			1); 10)								4		a3(				2 1); 11)									276 ; 12)							a(1 e R2 ); 13)												32 a3;				14)	3 R4		;
3																3																																			9					2
					a3															2 a3																																	4 abc
15) 28;			16)		a3															2 a3				(2						2); 18) a3; 19)																							4 abc			;
15) 28;			16)		9				(3 4); 17)												3			(2						2); 18) a3; 19)											337 ; 20) 52 ; 21)													3		;
					9																3																																	3
22) 4 (2
22) 4 (2						2).
														R2H														4								k R5												kh				4		h5
11.8. 1) 6k R2;										2)				R2H				(H 2);							3)			4	k abc; 4)							k R5								2); 5)				kh				4		h5
11.8. 1) 6k R2;										2)					2			(H 2);							3)			5	k abc; 4)								5		(2					2); 5)						4		; 6)			0 .
															2													5									5													4					5
																			105												5h																12				8
				8R															105												5h									4h					6		12				8
11.9. 1)					2		; 0; 0 ;								2)	0;					;0 ;				3) 0; 0;								;		4)		0; 0;						;	5)		;			;			;
					2														124																													5			5
			3																124												6										7				5			5			5
																																5
			15 6																						4					4 R		5
18			15 6					12																	4					4 R
6)		;				;					.				11.10. 1)							HR				;		2)						.
6)		;				;					.				11.10. 1)							HR				;		2)						.
	7		16					7													2									15
	7		16					7													2									15

124	Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

12. Криволінійний інтеграл 1-го роду

Навчальні задачі

12.1.1. Обчислити (x2

y2 z2)dl,

де L — відрізок прямої AB, між точка-

ми A(1;1;1) та B(3; 0;3).

Розв’язання. [2.11.5.]

Запишімо параметричні рівняння прямої AB :

2t 1,

x 1

y 1

z 1

t 1,

2t 1.

Відрізку AB прямої відповідає відрізок t [0;1].

[Записуємо формулу для диференціала дуги і обчислюємо його.]

[2.11.5]

xt 2 yt 2 zt 2dy.

xt 2,yt 1,zt 2;

dl 22 ( 1)2 22 3dt.

[Обчислюємо інтеграл.]

[2.11.5]

(x2 y2 z2)dl

3 ((2t 1)2 (1 t)2 (2t 1)2)dt

3 (9t2 6t 3)dt

27.

Коментар. Рівняння прямої,

яка проходить через дві точки M1(x1; y1; z1) і

M2(x2;y2; z2 ):
	x x1					y y1					z z1				.
															.
x		2	x	1	y		2	y		z		2	z	1
		2		1			2	1				2		1
12.1.2. Обчислити ydl, де L : y x3, 0 x 1.
L
Розв’язання. [2.11.7.]
					[2.11.7]
					[2.11.7]			1 y 2dx;
			dl					1 y 2dx;
									x

yx 3x2, dl 1 9x 4dx.

										12. Криволінійний інтеграл 1-го роду																																						125
[2.11.7]		1																				1		1																							y
[2.11.7]		1																						1
ydl		x 3					1 9x4dx																							1 9x4d(1 9x4 )
ydl		x 3					1 9x4dx														36									1 9x4d(1 9x4 )
L		0																			36			0
L		0																	1					0
		1		2										3 2										1

																												10 10 1 .
			3 1 9x									4																																			O	1 x
		36	3 1 9x																0						54																						Рис. до зад. 12.1.2
																			0																												Рис. до зад. 12.1.2

12.1.3. Обчислити									x2				y2dl,										де L : a(1 cos ), 0																							.
							L
Розв’язання. [2.11.8.] 
						[2.11.8]
						[2.11.8]										2					2d .
							dl									2					2d .

							a sin ;
																																															O	2a P
[2.11.8]																																															O	2a P
	dl					a2 sin2						a2(1 cos )2d																																			Рис. до зад. 12.1.3
																																							d .

a sin2		1 2 cos cos2 d 2a																																		cos
																																						2
																		[2.11.8]																							d
								x2		y2dl																a(1 cos )2a cos															d
					L																						0														2
					L																						0
																				3										[2.3.8]								2		16
											2	cos								3																	2	2		16					2
							8a																d											8a										a			.
							8a																d											8a										a			.
																					2																1	3			3
												0									2				2												1	3			3
												0
Коментар.  Крива a(1 cos ), , є кардіоїдою.
12.2.1. Знайти довжину дуги кривої y ln x,
12.2.1. Знайти довжину дуги кривої y ln x,																																					3 x					15.
Розв’язання. [2.12.1.]																																											y
Довжину дуги кривої L знаходять за формулою																																											y				y ln x
									[2.12.1]																																						y ln x
									[2.12.1]							dl.
								l								dl.																																	x
																	L																									O
																																															3
[2.11.7]																																																15
																	2
																	2															1

dl					1				ln x						dx														1						dx.												Рис. до зад. 12.2.1
dl					1				ln x						dx														1				2		dx.												Рис. до зад. 12.2.1
																																x	2
																																x
									15																					15
									15						1 x2															15
					l										1 x2								dx x 1 1 x2 1 2 dx
					l												x						dx x 1 1 x2 1 2 dx
										3							x														3
										3																					3

126	Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

	m 1,n 2													1 x2 t2
	m 1,n 2													1 x2 t2																15
	p			1										d(1 x2 ) dt2													x 2 1 x2 1												2 xdx
				2											xdx tdt
				2																										3
	m 1 0


		n
			4						t				4					(t2 1) 1												4					4			dt
												tdt														dt dt
					t		2					tdt								t	2	1				dt dt										t	2
			2		t				1				2							t		1								2					2	t			1
					1					t 1					4									1				3					1							3
															4

t							ln								4 2											ln				ln							2 ln				.


					2					t 1														2
					2					t 1					2									2		5							3							5
															2											5							3							5
Коментар. Скористаємось теоремою Чебишова.
12.2.2. Знайти довжину дуги кривої 3e3 4,																																				.
																														2						2
Розв’язання. [2.12.1.]
Довжину дуги кривої L знаходять за формулою																																								3e3 4
												l(L) dl.
	[2.11.8]																	L																				O



							81				3 2						3 2						15				3	4												3 P
							81				3 2						3 2						15				3	4												3 P
dl								16e					9e						d				4 e						d .									Рис. до зад. 12.2.2
	l 15							2										15			4 e3 4				2															
								2
								e3 4d
								e3 4d																					5		e3 8 e 3 8
			4			2												4			3				2
						2																			2
												10				e3 8 e 3 8											10 sh					3		.
												10															10 sh							.
																					2										8
Коментар.  Крива 3e3 4 є логарифмічною спіраллю.
 sh x	ex		e x						.
 sh x			2						.
			2

12.3. Знайти масу, розподілену з густиною 2z x2 y2 уздовж кривої

L : x t cost,y t sint,z t,t [0;2 ].

Розв’язання. [2.12.2.] 

Масу кривої L з густиною (x,y,z) знаходять за формулою

[2.12.2]

m(L) (x,y,z)dl (2z x2 y2 )dl.

L L

	12. Криволінійний інтеграл 1-го роду	127
[2.11.6]
dl	(cost t sin t)2 (sint t cost)2 1dt

2 t2dt.

2	2t
m(L)	2t			t2 cos2 t t2 sin2 t								2 t2dt
0						2								Рис. до зад. 12.3
2			dt 12			2								Рис. до зад. 12.3
t									d 2 t2
t		2 t2						2 t2	d 2 t2
0						0
					1					3 2
					1					3 2
							2
							4				2 2
					3	2	4				2 2		.
					3

Коментар.  Крива L є конічною гвинтовою лінією.

Задачі для аудиторної і домашньої роботи

12.4. Обчисліть криволінійний інтеграл:

, де

— відрізок прямої

y x 2,

який

з’єднує

точки

A(2; 4) та (1; 3);

, де

— відрізок прямої

y x 2,

який

з’єднує

точки

A(0; 2) та B(4; 0);

(2x y)dl,

де L — межа трикутника з вершинами A(1; 0), B(4; 0),

O(0; 0);

(x y)dl,

де L — межа трикутника з вершинами O(0; 0), A(1; 0),

B(0;1);

xdl, де L — дуга параболи y x2

між точками A(2; 4) та B(1;1);

2 dl, де L

— дуга гіперболи xy 1 між точками A(1;1) та B

;

L y

cos2 x

dl, де L — дуга синусоїди y sin x, 0 x ;

1 cos2 x

128	Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

sin3 x

dl, де L — дуга косинусоїди y cos x, 0

;

1 sin2 x

9) xy2dl,

де L — дуга кола x2 y2

R2,

яка лежить у 1-й чверті;

x a(cos t t sin t),

10)

де L — дуга розгортки кола

y dl,

y a(sin t t cos t),

0 t

2 ;

x a(t sint),

11)

2ydl, де L — перша арка циклоїди

y a(1 cost);

a(t sint),

12)

де

y dl,

L — перша арка циклоїди

a(1 cost);

13) xydl,

де L — частина еліпса x2

y2 1,

що лежить у 1-й чверті;

a sin

0 t

;

14) x ydl, де L

— дуга астроїди

a cos

15)

де L — перший виток циліндричної гвинтової лінії

x a cost,y a sin t, z bt;

16)

zdl,

де

— перший

виток

конічної гвинтової

лінії

x t cost,y t sin t, z t;

17) x2 y2dl, де L — верхня половина кардіоїди a(1 cos );

18) (x y)dl, де L — коло x2 y2 ax;

19) (x y)dl, де L — права частина лемніскати acos 2 ;

20) (x2 y2)3dl, де L — верхня частина лемніскати asin 2 ;

12. Криволінійний інтеграл 1-го роду

129

21) (x2

y2)2dl,

де L

— дуга логарифмічної спіралі

aem

(m 0) між точками A(0;a) до точки O( ; 0);

22)

x2 y2 a2dl, де

L — дуга спіралі Архімеда a (a 0)

між точками A(0; 0) та B(a;a2 );

23)

2y2 z2dl, де L — коло x2

y2 z2

a2,x y;

24) xyzdl,

де L — чверть кола x2

R2, x2 y2

R2 ,

яка

лежить у 1-му октанті.

12.5. Знайдіть довжину кривої:

1) y

від точки x 0

до точки x 1;

2) y a ch x

від точки x 0 до точки x a;

a(t sint),

2 3

3) x

;

a(1 cost), 0 t

2 ;

5) 2a(1 cos );

6) a ,

перший виток;

7)x t cost,y t sin t, z t, 0 t 2;

8)x aet cost,y aet sin t, z aet , t 0.

12.6.Визначте масу, розподілену з лінійною густиною вздовж кривої L:

L : y

;

,A 1;

,B(2;2),

L : y

x, A(1;1), B(4;2), y;

L :

;

sint),

x a(t

3 2

0 t 2 , y

;

L :

cost),

y a(1

130	Розділ 2. Інтегральне числення функцій кількох змінних

5)L : acos 2 , k ;

6)L : a(1 cos ), k ;

7) L : x t cost,y t sin t,z t, 0 t 2 ,

x2 y2 z2 ;

8) L : x aet cos t,y aet sin t,z aet , t 0, kz.

12.7.Визначте координати центра мас однорідної:

x a(t sint),

1) дуги циклоїди

y a(1 cost), 0 t ;

2) кардіоїди a(1 cos ).

12.8.Знайдіть момент інерції Ix однорідного кола x2 y2 R2.

Відповіді


12.4. 1)					1	ln 2;			2) 5 ln 2; 3) 3 2																				4) 1								5) 17							17 5 5 ; 6) 17															17 2 2				;	7)		;
					1																					5;									2;																								17 2 2
																										5;									2;																									6					2
					2																																								12															6					2
	2			R4						a2									2		3 2																					256				3						ab(a2				ab b2)
8)	2	; 9)		R4		; 10)				a2									2		3 2						; 11)										; 12)					256				3	; 13)					ab(a2				ab b2)
														(1			4				)			1								4 a				a									a																	;
	3				3					3				(1			4				)			1								4 a				a						15			a										3(a			b)				;
	3				3					3																																15													3(a			b)
																																									3 2														2						2
												2		b			2						2 b																2													16a								a
		16							a			2					2													2		2((1							2				1)
14)		16	a4 ; 15)						a										arctg							; 16)				2		2((1						2 )					1)				; 17)									; 18)					;
												ab											a														3																3							2
		385
		385
																												a5

19) a2															a5					1 m2											a3; 23) 2 a2; 24)																	R4				3
			2; 20) a4;							21)					a5					1 m2				;		22)																						R4				3	.
			2; 20) a4;							21)										5m				;		22)			3																		32						.
																				5m									3																		32
12.5. 1) ln(2
									5)								5		; 2) a sh 1; 3) 6a; 4) 8a; 5) 16a;
									5)							2			; 2) a sh 1; 3) 6a; 4) 8a; 5) 16a;
							4									2
											a
			1 4 2																			1 4 2 ); 7)
6) a																																								2 1); 8) a
6) a											2 ln(2																						2 ln(							2 1); 8) a											3.

																																									2												2				2
			5 5 2 2															17 17 5 5																							2											a	2	b			2
			5 5 2 2															17 17 5 5																					a b													a		b
																																		2
12.6. 1)													;		2)												; 3) 2 b																		arcsin													;
							6														12																		2				2										a
							6														12																	a	2		b		2										a
																																						a			b
																												4 (1 2 2)3 2 1
					5 2			k a2; 6)															3 2																										3	ka2
4) 3 2 a					5 2	; 5)																	3 2			7)																	; 8)						3	ka2
																			k(2a)						;																												.
																			k(2a)						;										3												2						.
																																			3												2
					4a		4a
					4a	;	4a								4a
12.7. 1)						;		; 2)											;0 .
					3		3									5
					3		3									5

12.8. R3.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2013 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.11.2019157.7 Кб0Практика НМ.doc
#
12.05.201528.08 Кб7практика, мова1.docx
#
12.05.2015165.58 Кб14практика.pdf
#
17.03.2016393.04 Кб15ПРАКТИКА_ФММ1.docx
#
17.03.20165.29 Mб50Практикум 2.pdf
#
12.05.20155.25 Mб9Практикум2013.pdf
#
17.03.20162.86 Mб47Практикум_Ромашко.pdf
#
12.05.201524.81 Кб176Практичні роботи.docx
#
14.11.201954.78 Кб3Практична робота 2.doc
#
11.09.2019205.82 Кб1Практична робота 3.doc
#
11.09.2019301.57 Кб15Практична робота 4.doc