ми (детерминированными) событиями, происходящими с определённойv

скоростью. Это значит, что при заданных начальных условия, нельзя иметь представление об абсолютно точных значениях интересующих параметрах окружающей среды в любой момент времени. Одним из примеров таких процессов является изменение численности популяций организмов во времени.

Для наглядности рассмотрим динамику численности популяции

N, которая зависит от двух дискретных и случайных событий — рождаемости и гибели (смертности). В этом случае необходимо ограничиться утверждением, что в момент времени t существует вероятность

Pt(N) того, что численность популяции равна N8).

Таким образом, переменные выражаемые не в виде определённых значений, а в виде вероятностных функций являются стохастическими9) и численность популяции будет функцией времени случайных событий рождаемости и гибели, происходящих с некоторой вероятностью. Вначале рассмотрим общие характеристики стохасти-

Если в момент времени t численность. популяции равна I , это означает, что в этот момент времени система находится в состоянии I .

Если вероятность«D»перехода системы (I , J) из одного состояния в другое не зависит от способа, которым было достигнуто состояние I , а зависит только от характеристик состояний I и J, то такой про-

Обозначим через (I , J) — вероятность состояния системы J в

момент времени t + t при условии, что в момент времени t система

находилась в состоянии I .

8) Например, возможно, что за какой-то промежуток времени произойдет 10

случаев гибели и ни одного рождения, даже если их вероятности одинаковы. 9) Стохастический от греческого — «умеющий угадывать».

жения состояния I , то марковская цепь не имеет памяти. Покажем, что процесс рождение–гибель является цепью Маркова. copy

Вероятность Pt+ t(N) нахождения системы в состоянии N в момент времени t+ t есть сумма произведений вероятности нахождения системы в состоянии I в момент времени t на вероятность перехода системы (I , N) из этого состояния I в состояние N для всех возмож-

X

. . . + Pt(N) (N, N) + . . . = Pt(I ) (I , N) (4.1)

I

Выражение (4.1) можно представить в векторно-матричной фор-

ме. Так, Pt записывается в виде вектор-строки, а — в виде матрицы:

по времени как функцию начальной вероятности P0.

10) Цепь Маркова — последовательность случайных событий с конечным или счётным числом исходов. Названа в честь Андрея Андреевича Маркова (старшего).

Из равенства (4.4) следует, что вероятность перехода системы из 1-го состояния в любое другое, включая пребывания в 1-м состоянии, равна единице. Матрица , у которой сумма строк равна единице, называется стохастической, а т. к. вероятность перехода системы из одного состояния в любое другое в момент времени m t равна единице, то и матрица m — стохастическая.

Для рассматриваемой задачи динамики популяции её числен-

где G — увеличение через рождаемость, L — убыль из-за отмирания.

A = f1(N) — вероятность рождения одного представителя популяции в единицу времени, B = f2(N) — вероятность его гибели, которые зависят от N.

Здесь сделано предположение, что с ростом N рождаемость снижается, а смертность

— увеличивается. Поэтому a0, a1, b0 и b1 — положительные коэффициенты.

ность осуществления более чем одного события в этот интервал была пренебрежимо малой. Тогда в течение t может произойти что-то одно

— рождение, гибель или ничего. Следовательно, необходимо рассмотреть три типа элементов в матрице :

34

(N + 1, N) = вероятность гибели в интервале времени t при условии, что в момент времени t система находилась в состоянии fN + 1g =

b1 = 3 10 3 c 1 и t = 0.05 c. Используя ф-л. (4.6)–(4.8) находим вероятности. Для первой строки матрицы :

(0,0) =1 [(1 9 10 3 0) + (0.4 + 3 10 3 0) 0 0.05 = 1(0,1) =[1 9 10 3 0] 0 0.05 = 0

P0.1 = P0.05 = [0.0008, 0.072, 0.75, 0.16, 0.015, 0, . . .].

Следует заметить, что в этом случае t = 0.1 c существует отличная от нуля

вероятность того, что N = 0.

Точность расчётов будет зависеть от выбора шага t: чем он меньше, тем больше точность, но с другой стороны, больше потребуется шагов по времени, чтобы покрыть любой заданный временной интервал. Разумный предел для величины t

достигается, когда вклад в вероятность перехода от членов, содержащих коэффициент t, мал по сравнению с вкладом от остальных членов. В случае задачи динамики

популяции это означает, что диагональные элементы должны быть больше недиагональных.

С помощью таблицы случайных чисел (табл. 4.1) смоделируем стохастическое изменение численности популяции. Если начать вычисления со значения N = 2, то из матрицы получаем (2,1) = 0.04,

(2,2) = 0.86 и (2,3) = 0.10.

Free

ClassРисунок 4.1 – Численность популяции N от времени t

Теперь для t = 0.05 c: N = 1, если случайное число находится в интервале 0.01–0.04; N = 2 — для случайного числа из интервала 0.05–0.90 и N = 3 — в интервале 0.91–1.00.

36

подряд в таблице 4.1, получаем зависимость численности популяции от времени, которая дана в табл. 4.2 и представлена на рис. 4.1.

Условия для самостоятельного решения задачи. Построить график численности популяции с параметрам модели для своего варианта, приведенными в табл. 4.3 и t = 0.05 c. Последовательность случайных чисел взять в табл. 4.1, где каждая строка соответствует определенному варианту задачи.