3 АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЭКОСИСТЕМ |
. |
6 |
Анализ многокомпонентных экосистем на стойкость и прогно- |
||
зирование их состояний выполняют с помощью ориентированныхv |
гра- |
|
copy |
|
|
фов (орграфов), матриц смежности и импульсной процедуры [5, 6]. Для оценки устойчивости экосистем применяется принцип, устанавливающий соответствие: чем сложнее система, тем выше ее устойчивость. Орграфы позволяют описывать экосистемы с их потоками энергии и веществ, а также причинно-следственные связи.
Орграф экосистемы состоит из вершин — ее компонентов и
дуг или ребер — связей между ними. Исходными называют вершины,
из которых выходят, но не заходят дуги, поэтому они символизируют источники и первопричины. Напротив, конечными — являются вершины, в которые заходят, но не выходят дуги, поэтому они символизируют стоки. Экосистемы изображают простыми, знаковыми и взвешенными орграфами (рис. 3.1).
Знаковым называют граф, каждой дуге которого, кроме направления, приписывают знак «+» или «-» (рис. 3.1). Знак «+» означает,
|
|
|
Free |
|
(a) самораз- |
(b) хищник – жертва |
(c) система с |
||
витие |
|
. |
|
антагонизмом |
|
|
|
||
Рисунок 3.1 – Типовые элементы орграфов экосистем |
||||
|
«D» |
|
|
|
Classчто увеличение причинного компонента ведёт к увеличению завися-
щего от него компонента в противном случае дуге приписывают «-». Дугам взвешенного графа приписывают знак и числовой вес — силу влияния одной вершины на другую или время задержки.
Замкнутый путь дуг образует контур. Его присутствие указы24
v |
|
вает на наличие обратной связи в системе. Обратные связи бывают6 |
|
положительными (способствуют усилению первичного отклонения). |
и |
отрицательными (когда изменения в системе противодействуют первичным изменениям). Положительный контур содержит четное количество дуг со знаком «-», отрицательный — нечетное.
пенно угасают и система возвращается в исходноеcopyсостояние или переходит в новое стационарное, близкое к предыдущему. В неустой-
Важной характеристикой любой системы является ее устойчивость, то есть способность противостоять изменениям своего состояния. Состояние систем без обратных связей определяется исключи-
тельно состоянием среды.
В устойчивой системе малые отклонения от равновесия посте-
обратной связью система имеет тенденциюFree к развитию колебательной устойчивости. При наличии нескольких контуров поведение системы
чивой системе малые флуктуации вызывают колебания или катастрофические изменения с установлением нового равновесия, далекого от исходного.
Наличие одного контура с положительной обратной связью де-
лает систему абсолютно неустойчивой, подверженной радикальным,
необратимым изменениям. При наличии контура с отрицательной
становится сложным и требует специального анализа с помощью, на- |
|
пример, матрицы смежности и импульсной процедуры. |
|
«D» |
. |
. . . a1,n |
|
3.1 Матрица смежности
Матрица смежности представляет собой квадратную матрицу
размерностью [n n]:
Class |
|
a1,1 |
3 |
|
ms = |
2 ai,j . . . ai,n |
, |
||
6 . . . . . . . . . |
7 |
|||
|
6 |
7 |
|
|
|
6 an,1 . . . an,n |
7 |
|
|
|
6 |
7 |
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
где n — число компонентов (вершин) экосистемы. |
v |
6 |
Элементы матрицы смежности ai,j отличны от нуля только в.том
случае, если в вершину i (номер строки) из вершины j (номер столбца) идёт дуга. Например, простому орграфу на рис. 3.2 соответствует следующая матрица смежности:
2 3
0 0 0 0
67
61 0 0 0 7
Ms = 6 |
0 1 |
0 0 |
7 |
6 |
|
|
7 |
45
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
Здесь номера строк соответствуют номерам |
Рисунок 3.2 – |
|||||
|
|
|
Free |
|
|
|
вершин, а ”1“ в строках — соответствуют приходяcopy- |
||||||
щим дугам из других вершин, обозначенных номера- |
Орграф 4х |
|||||
компонентной |
||||||
ми столбцов. Если в вершину i из вершины j не идёт
системы
дуга, то элемент ai,j = 0.
Для знаковых орграфов (где направление связей дополнительно
обозначают дугами со знаками ”+“ или ”–“) элементы матрицы смежности для соответствующих дуг также задают положительными или отрицательными числами.
3.2 Импульсная процедура |
|
Для одинаковых времён. |
задержки применение импульсной про- |
цедуры заключается в следующем: |
|
1) Строят орграф экосистемы, выделяя в нём лишь наиболее |
|
важные, с точки зрения эксперта, связи. |
|
имитации = 0), «D»присваивая каждой её вершине начальные значения:
2) Для орграфа составляют матрицу смежности ms.
!
3) Задаются вектором V(0) начального состоянием системы (шаг
Class
!
V(0) = [v1, v2, . . . , vn]
Значения компонентов экосистемы обычно выражают в относительных единицах — баллах.
26
|
v |
. |
4) ”Инициируют“ (активизируют) одну или несколько вершин,6 |
||
! |
|
|
присваивая им через вертикальный вектор P не нулевой начальный |
||
прирост7). Другим вершинам приписывают нулевые значения началь-
ного прироста (импульса), например:
Pi( ) = ai,j Pj( 1), i = 1 . . . n copyили
!
P(0) = [1, 0, 0, 1, . . .]
5) Выполняют расчёт значений прироста i-х компонентов экосистемы в последующие моменты дискретного времени опираясь на
предыдущие моменты ( 1):
|
n |
|
|
|
|
|
Xj |
Free |
|
(3.1) |
|
|
=1 |
|
|
|
|
! |
! |
|
|
! |
|
P( ) = ms P( 1) = [ms] |
P(0), = 1 . . . k |
|
|||
где ai,j — элемент матрицы смежности ms орграфа.
6) Значения i-х компонентов экосистемы рассчитывают как:
Vi( ) = Vi( 1) + Pi( 1), i = 1 . . . n |
(3.2) |
7) Строят графики иммитации — кривые значений компонентов экосистемы Vi( ) и их приростов. Pi( ) в зависимости от дискретного времени = 1 . . . k.
Анализируя графики иммитации делают вывод об устойчивости
экосистемы. Система будет абсолютно устойчивой, если последовательность Vi( ) ограничена. Импульсная устойчивость предполагает ограниченность последовательности Pi( ).
Если экосистема абсолютно устойчива, а крайние значения чле-
нов последовательности Vi( ) для некоторого её состояния совпадают |
|
Class |
такое состояние является равновесным. |
с начальными значениями,«D» |
|
7) Прирост (или импульс) показывает изменение значения компонента (вершины) при изменении дискретного времени на 1.
27
Пример. Требуется проанализировать стойкость |
|
|
|
|
v |
. |
6 |
|
|
|
|
|
|||
экосистемы, заданной орграфом на рис. 3.3. |
|
|
|
|
|
|
|
Строим матрицу смежности этого орграфа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
0 |
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
copy |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
ms = |
6 |
1 |
1 |
|
0 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 3.3 – |
||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
1 |
0 |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Орграф 3х |
||||||||||||||
|
Задаём |
некоторое |
|
произвольное |
начальное |
|
компонентной |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( = 0) состояние V(0) и инициируем одну из |
|
|
|
|
|
системы |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вершин, например, первую импульсом P(0): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
V(0) = [2, 2, 2] |
|
|
|
P(0) = [1, 0, 0] |
= |
1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
P3(2) = |
|
|
1 0 |
|
+Free1 ( 1) |
+ |
|
|
0 1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|||
По (3.1) строим последовательность значений прироста P: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
= 1 : P1(1) = |
|
|
0 1 |
|
+ |
|
|
0 0 |
+ |
|
|
0 0 |
= |
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
P2(1) = |
( 1) 1 |
|
+ |
|
|
0 0 |
+ |
|
( 1) 0 |
= |
1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
P3(1) = |
|
|
1 1 |
|
+ |
|
|
1 0 |
+ |
|
|
0 0 |
= |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= 2 : P1(2) = |
|
|
0 0 |
|
+ |
0 ( 1) |
+ |
|
|
0 1 |
= |
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
P2(2) = |
( 1) 0 |
|
+ |
0 ( 1) |
+ |
|
( 1) 1 |
= |
1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
и т.д. Все результаты сводим в таблицу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
.3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
|
|
9 |
|
10 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
P1 |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
P2 |
|
0 |
|
|
-1 |
|
|
-1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
-1 |
|
-1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
-1 |
|
-1 |
|
|
|
||||
|
P3 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
-1 |
|
-1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
-1 |
-1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
-1 |
|
|
|
|||||
|
Видно, что каждая колонка на пятом шаге вычислений повто- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ряется, т.е. процесс является периодическим. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Class |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Строим последовательность«D» |
значений компонентов вектора со- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
стояния экосистемы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= 1 : |
|
V1(1) = 2 + 1 = 3 |
V2(1) = 2 + 0 = 2 |
V3(1) = 2 + 0 = 2; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
= 2 : |
|
V1(2) = 3 + 0 = 3 |
V2(2) = 2 1 = 1 |
V3(2) = 2 + 1 = 3; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и т.д. Все результаты сводим в таблицу: |
|
|
|
|
9 10. |
6 |
|||||||||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
6 |
|
7 |
8 |
|
|||
V1 |
2 |
3 |
3 |
3 |
|
3 |
3 |
3 |
|
3 |
3 |
3 |
v |
3 |
|
V2 |
2 |
2 |
1 |
0 |
|
1 |
2 |
1 |
|
0 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
V3 |
2 |
2 |
3 |
2 |
|
1 |
2 |
3 |
|
2 |
1 |
2 |
|
3 |
|
Строим графики изменения во времени состояния (рис. 3.4) и |
|||||||||||||||
прироста (рис. 3.5) компонентов экосистемы. |
|
copy |
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
|
|
|
V1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
V3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
V2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 3.4 – Кривые изменения состояния экосистемы |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Free |
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
Вывод: Рассматриваемая экосистема устойчива импульсно P( ) 6 |
|||||||||||||||
|
|
|
! |
.6 const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
const и абсолютно V( ) |
для всех шагов иммитации |
= |
|||||||||||||
0, 1, 2, . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условия задачи. Проанализировать устойчивость экосистемы, задан- |
|||||||||||||||
ной орграфом рис. 3.6. Основу приведенной экосистемы составляют |
|||||||||||||||
водоросли, морские ежи и город, который сбрасывает в море сточные |
|||||||||||||||
воды. |
|
«D» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вследствие сброса загрязненной воды, исчезают водоросли и на |
|||||||||||||||
освобождающихся участках плодятся морские ежи. Но вслед за исчез- |
|||||||||||||||
новением водорослей также могут исчезать морские ежи. Кроме того, |
|||||||||||||||
ежи могут питаться органикой, поступающей со сточными водами. |
|
||||||||||||||
Class |
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
P1 |
P3 |
|
|
P2 |
P3 |
|
|
|
|
|
v |
. |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
P2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 3.5 – Кривые прироста компонентов экосистемы |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
copy |
|
|
|
|
|
a |
|
Город (1) |
|
Сточные воды города (2) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
Водоросли (3) |
|
f |
|
|
Морские ежи (4) |
|
|
|
|
||||
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 3.6 – Граф 4-х компонентной экосистемы с дугами характера |
||||||||||||||
и силы воздействия каждогоFreeна других a, b, c, d, f, g |
|
|
|
|||||||||||
Необходимо: |
Построить графики состояния экосистемы и прироста |
|||||||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ее компонентов. Сделать вывод об устойчивости экосистемы. |
|
|
|
|||||||||||
Class |
|
«D» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|