2.5. Контрольні запитання

1. Що вміщує вміння раціонально організувати обчислювальний процес?

2. Які є джерела виникнення похибок при обчисленнях?

3. Що таке "неусувні" похибки? З яких саме похибок складаються вони?

4. Що таке похибки "усікання"? похибки округлення? похибки поширення?

5. Дайте визначення поняттю абсолютної похибки, граничної абсолютної похибки наближеного числа.

6. Що таке відносна похибка? Чим визначається відносна похибка при округленні числа?

7. Перелічіть основні правила, що дозволяють зменшити вплив на похибку результата обчислень похибок вихідних даних.

8. Перелічіть основні правила, що дозволяють зменшити вплив на похибку результата обчислень похибок округлення.

1. Загальне уявлення про фізичне моделювання. Поняття моделі

В науці під моделлю розуміють об'єкт (явище, система, установка, знакове утворення), що має властивість подібності до модельованого об'єкту.

Під подібністю розуміють взаємно-однозначну відповідність між двома об'єктами.

Наприклад, для механічних явищ макросвіту відомі закони механіки Ньютона є математичною моделлю.

Питання. Навіщо потрібне моделювання?

Побудова будь-яких моделей пов'язане з процесом пізнання.

Модель в загальному розумінні є створюваний з метою отримання і (або) зберігання інформації специфічний об'єкт у формі уявного образу, опис знаковими засобами (формули, графіки і ін.), матеріального предмету, що відображає властивості, характеристики і зв'язки об'єкту, істотні для вирішуваної задачі.

Питання. Скільки моделей може існувати для одного об'єкту?

Безліч різних моделей пов'язаних з різними завданнями. Модель завжди бідніша за оригінал. Важливою властивістю моделі є наявність обмежень і допущень, пов'язаних з вирішуваною задачею і властивостями об'єкту, – оригіналу, ресурсами для вирішення завдання.

Етапи побудови моделі.

Основним методом дослідження фізичних об'єктів в даному курсі буде математичне і чисельне моделювання, тобто опис досліджуваної системи або процесів у вигляді різних математичних співвідношень і підрахунок чисельних значень тих характеристик, які нас цікавлять. При побудові моделі в пункті 3 можна виділити 3 основних шляхи подолання затруднень, що виникають при ідеалізації моделі:

1. Розділення складної системи на сукупність простих підсистем.

2. Перехід до іншої ідеалізації (наближенню). Наприклад, від розподілених параметрів до зосереджених.

3. Скорочення числа змінних, використовуючи основні положення теорії подібності і створюючи безрозмірні комплекси. Додамо ще практичні прийоми: зниження розмірності завдань (3-х мірна переходить в 2- х і т. д.)

4. Розробка детермінованих моделей замість стохастичних; заміна змінних константами, ідеалізація властивостей середовища (ідеальний газ, рідина); усереднювання властивостей за об'ємом і напряму; використання лінійних залежності замість нелінійних (лінеаризація).

Класифікація математичних моделей.

Модель, яку належить створити, дуже важливо класифікувати. Це полегшує вибір істотних ознак досліджуваного об'єкту, математичного апарату для його опису, методу побудови моделі. Розглянемо один з варіантів класифікації по Нейману Я. Р. (Моделі в науці і техніці. Л. Наука, 1984), де об'єкти моделювання розглядаються відповідно до їх попарно-протилежним властивостям.

Неперервні (континуальні) - вхідні і вихідні параметри неперервні. При математичному описі описуються диференціальними, інтегральними, інтегрально-диференціальним рівняннями. Стаціонарні - по ступені мінливості в часі, постійність основних параметрів в часі.

Дискретні - можуть приймати кінцеве число відомих значень. При описі використовують: математичну логіку, теорію автоматів – розділ теорії систем, що управляють, що вивчає моделі перетворювачів дискретної інформації. Нестаціонарні- зміна параметрів в часі.

Поняття динаміки пов'язують з умовами протікання процесів, при яких виявляються інерційні ефекти, що визначаються швидкістю зміни запасів енергії і речовини, що акумулюються об'єктом в часі. У динамічних системах стан системи в даний момент пов'язаний з діями, що діють на неї і в даний момент, і в попередні моменти (їх наслідки).

Пов'язані з наслідком динамічні ефекти властиві і механічній формі руху, і процесам дифузії, теплопереносу.

Формально наслідок відбивається шляхом завдання краєвих умов у відповідних диференціальних рівняннях.

За характером просторової структури
Моделі із зосередженими параметрами. Використовуються середні значення вхідних характеристик об'єкту, локалізованих в окремих вузлах підсистем. Моделі описуються диференціальними, трансцендентними або звичайними рівняннями алгебри.	Моделі з розподіленими параметрами. Вхідні і вихідні характеристики залежать від координат. У математичній моделі обов'язково присутні просторові координати (диференціальні рівняння в частинних похідних).
За розмірністю
Одновимірні, з одним вхідним параметром.	Багатовимірні - мають N вхідних параметрів. Якщо система має ще і декілька вихідних параметрів, то в загальному випадку кожен вихід залежить від декількох змінних, багатовимірна модель ще і багатозв'язкова.

За ступенем лінійності об'єкту
Лінійні об'єкти Серед коефіцієнтів, що входять в його математичний опис, відсутні величини, залежні від вхідних змінних, їх похідних і інтегралів.	Нелінійні об'єкти - наявність залежних коефіцієнтів.

Можна сказати, що життя принципово нелінійне, проте при створенні математичних моделей часто вдається ввести наближення, при яких вдається з високою точністю описувати систему за допомогою лінійних рівнянь.

За математичними методами рішення поставленої задачі
Аналітичні моделі Об'єкт описаний на підставі відомих фізичних законів, дослідження ведеться математичними методами, що дозволяють одержати аналітичне рішення поставленої задачі.	Чисельні математичні моделі Для отримання рішень використовують чисельні методи, якщо завдання важко піддається або зовсім не піддається аналітичному рішенню.

По імовірнісному характеру моделі
Детерміновані (причинно-слідчі)	Стохастичні (імовірнісні)