1.4. Математичне моделювання
Модель створюється для подальшого її дослідження з метою одержання нових знань про відповідний реальний об'єкт. Таке дослідження вже готової моделі називають моделюванням. Дослідження математичної моделі називатимемо математичним моделюванням.
Математична задача є абстрагованою від конкретної сутності задачі. Для її розв'язування створюються спеціальні обчислювальні методи, причому до тої самої математичної моделі можуть зводитися зовсім різні прикладні задачі.
Так, задача 1 звелася до розв'язування квадратного рівняння, яке може відображати характеристичне рівняння не тільки фізичного, але й математичного маятника, маси, яка з'єднана пружиною з корпусом (лінійного акселерометра), гіроскопічного тахометру і т. і.
Диференційне рівняння (5) у задачі 2 може бути моделлю і для багатьох інших задач (вивчення змінювання швидкості тіла у в'язкому середовищі, змінювання електричного струму у найпростішому електричному ланцюзі, змінювання швидкості репродукції бактерій тощо).
Для розв'язування задачі 3 потрібно обчислити низку визначених інтегралів. До обчислення визначених інтегралів приходять і при пошуку площ складних фігур, об'єму тіла або дуги плоскої кривої, розрахунках роботи змінної сили і у багатьох інших фізичних задачах.
Математична модель (7) задачі 4 може описувати не тільки поводження гіроскопу, але й будь-якої іншої системи, якщо диференційні рівняння руху останньої збігаються з рівняннями (6).
1.4.1. Побудова обчислювальної моделі
Побудова обчислювальної моделі може здійснюватися різними методами, які можна поділити на точні й наближені. Точні методи - це такі, які після скінченої кількості дій (обчислень) приводять до точного результату за умови, що обчислення здійснюються без похибок. Наближеними називають такі методи, які за тих же умов дозволяють одержати результат лише з деякою похибкою.
При використанні точних методів етап досліджування математичної моделі поділяється на такі підетапи:
пошук точного розв'язку математичної моделі;
підставляння вихідних даних у знайдений точний розв'язок і реалізація передбачених ним обчислень.
Наприклад, для розв'язування задачі 1 краще використати точний метод, тобто формулу
(1.8)
(припускається,
що
),
але можна застосовувати й наближені
способи пошуку коренів квадратного
рівняння.
Диференційне рівняння (5) задачі 2 краще розв'язувати, розділяючи змінні, тобто приводячи його до вигляду
. (1.9)
Однак, його можна розглядати і як лінійне диференційне рівняння зі сталими коефіцієнтами, або розв'язувати (інтегрувати) наближеними чисельними методами.
При розв'язуванні задачі 3 слід використовувати методи наближеного обчислення визначених інтегралів.
Задачу
4 також можна розв'язувати двома шляхами.
Розглядаючи систему диференційних
рівнянь (6) як вихідну математичну модель,
можна, з одного боку, знайти точний її
розв'язок (7), а потім здійснити підставляння
значень вихідних даних і досягти явних
залежностей
і
,
а отже, й
.
З іншого боку, до системи (6) можна
безпосередньо застосувати методи
чисельного інтегрування диференційних
рівнянь (наближені методи).
Дослідження математичної моделі наближеними методами поділяється на такі етапи:
обрання обчислювального методу (зазвичай наближених чисельних методів буває декілька);
вивчення або складання алгоритму метода;
реалізація алгоритму за допомогою обчислювальних засобів.
При виборі чисельного методу суттєвими є обсяг обчислень, швидкість збіжності обчислень (як швидко здобувається результат) та інші чинники. Зокрема, обрання методу залежить і від вхідних даних.
Крім того, на вибір метода впливають засоби його реалізації (ручний розрахунок, наявність обчислювальної машини, наявність готової програми тощо). Так, якщо буде використані швидкодіюча ЕОМ і готова програма, то обсяг обчислень не повинен засмучувати виконавця і бути визначальним фактором при обранні метода. При ручному ж розрахункові слід віддати перевагу методу, який, можливо, потребує деяких певних попередніх досліджень і перетворень математичної моделі, але завдяки цьому потребує й значно меншу кількість обчислень.