1.5. Контрольні запитання

1. Що таке "модель"?, "моделювання"?

2. Які об'єктивні й суб'єктивні чинники можуть впливати на створювану модель?

3. Які види моделей трапляються в інженерній практиці?

4. Що таке "математична модель", "обчислювальна модель"?

5. Як можна охарактеризувати постановку інженерної задачі?

6. Які етапи проходить у загальному випадку розв'язування інженерної задачі?

7. Що таке "алгоритм"? На які види поділяються алгоритми?

8. Що таке "блок-схема алгоритму"? Які позначення прийняті при побудові блок-схеми алгоритму?

9. Які є загальні правила побудови блок-схеми алгоритму?

Заняття 2. Організація обчислень

Як вже зазначалось, неминучим етапом розв'язування інженерних задач є проведення розрахунків із наближеними вихідними даними. Тому до основних умінь, необхідних інженеру в його професійної діяльності, слід віднести вміння грамотно (раціонально) організувати обчислення, під чим мається на увазі:

• знати можливі джерела похибок;

• уміння правильно записувати наближені дані й результати (у тому числі проміжні);

• уміння оцінювати похибку результату за заданими похибками компонент;

• уміння обирати найбільш раціональний порядок обчислень;

• уміння обирати алгоритм обчислення, найстійкішій до похибок обчислень;

• уміння контролювати хід і результати обчислень із метою виключення грубих похибок.

Не маючи достатніх умінь і навичок практичних обчислень можна при розв'язуванні задачі одержати результат, який не матиме нічого спільного з дійсним розв'язком задачі.

2.1. Джерела й види похибок

Практично на кожному етапі розв'язування прикладної задачі виникають свої джерела похибок.

Математична модель - це вже наближене подання реального об'єкта. Вихідні дані, що використовуються у розрахунках і виходять з експерименту, можна визначити лише наближено. Навіть точні числа, такі як ,, 6/7 і т.п., при обчисленнях замінюють десятковими дробами, залишаючи лише певну кількість знаків після десяткової коми. Обчислювальні методи у більшості також є наближеними. Навіть при використанні найпростішої формули результат, як правило, одержують наближений.

Основні джерела виникнення похибок наближеного розв'язування прикладних задач такі.

1. Похибки математичної моделі. Їх пов'язано з використаними припущеннями, які дозволяють спростити математичну модель задачі. Вони не контролюються у процесі чисельного розв'язування задачі і можуть бути зменшені лише за рахунок більш точного математичного опису фізичної задачі.

2. Похибки первісних даних. Значення параметрів, що входять у математичний опис задачі, вимірюються експериментально з деякою похибкою. Похибки математичної моделі і вихідних даних у цілому утворюють так звані неусувні похибки. Назву обумовлено тим, що ці види похибок не можна усунути шляхом організації обчислень. Зменшення їх лежить лише на шляху перебудови математичної моделі і точнішого виміру вихідних даних.

3. Похибки наближеного методу, або похибки усікання. При чисельному розв'язуванні задачі точний оператор, в якому кількість чисел або операцій перевищує допустимі межі, замінюється наближеним, який потребує скінченої кількості операцій. Наприклад, замінюють інтеграл сумою, функцію - поліномом (багаточленом) або будують нескінченний процес і обривають його після скінченої кількості операцій.

4. Обчислювальна похибка, що виникає в результаті вимушеного округлення чисел, наприклад, внаслідок скінченої кількості розрядів у запису числа в оперативній пам'яті ЕОМ.

Якщо розв'язок деякої задачі неперервно залежить від вхідних даних, тобто малому змінюванню вхідних даних відповідає мале змінювання розв'язку, то задача називається стійкою за вхідними даними, або грубою. У стійкому обчислювальному алгоритмі похибки округлення не накопичуються.

Точність наближеного числа характеризується поняттями абсолютної й відносної похибки.

Абсолютною похибкою наближеного числа 'a' називається абсолютне значення різниця між ним і точним його значенням:

,

де - точне значення,- наближене значення. Абсолютна похибка має суто теоретичний інтерес, оскільки точне значенняневідоме. Тому на практиці частіше використовуютьграничну абсолютну похибку наближеного числа, рівну по можливості найменшому числу, що є більшим за абсолютну похибку

.

Значення ідозволяють вказати інтервал, що містить точне значення:

.

Частіше використовується компактніший запис

.

Очевидно, таке визначення абсолютної похибки не є однозначним. Так, якщо , а як наближене значення взяти, то, враховуючи, щоможна записати:

; ;.

Кожне з чисел 0,002; 0,01; 0,1 буде граничною абсолютною похибкою числа . Але чим ближче між собою числаі, тим точніше абсолютна похибка оцінює фактичну похибку.

Основною характеристикою точності наближеного числа є його відносна похибка

.

Оскільки число невідоме, то, як правило, вважають

.

Аналогічно з нерівності визначаютьграничну відносну похибку числа , вважаючи

.

Величина характеризує якість наближення. Це безрозмірна величина, зазвичай її виражають у процентах. Так, відносна похибка числа, прийнятого за наближене значення числа, придорівнює

, .