2.3. Похибки результату при діях із наближеними числами

Дії над наближеними числами приводять до поширення похибок. Для оцінки похибок результатів потрібно знати похибки вихідних чисел і правила обчислення похибки результату. Розглянемо ці правила.

2.3.1. Похибки підсумовування

Неважко впевнитися у слушності наступних тверджень.

Абсолютна похибка суми й різниці дорівнює сумі абсолютних похибок доданків

. (2.1)

Відносна похибка суми двох величин однакового знаку перебуває в інтервалі між найменшою й найбільшою відносними похибками доданків

.

За умови матимемо.

Якщо ж , через що останнім доданком у знаменнику можна знехтувати, то

.

Подамо вираз для відносної похибки у такий спосіб

.

З його розгляду випливає наступне.

Додавання величин протилежного знаку (або віднімання величин однакового знаку) практично завжди приводить до збільшення відносної похибки результату у порівнянні з найбільшою з відносних похибок доданків.

Особливо небезпечним є віднімання дуже близьких величин. У цьому випадку відносна похибка результанта може сягати неприпустимих величин.

Приклад. Треба обчислити площу кругового тонкого кільця із внутрішнім радіусом і товщиноюза формулоюабо. Відшукати похибки.

Розв'язування

Перш за все потрібно зазначити, що, як випливає з угоди про форму запису наближеного числа, абсолютні похибки вихідних даних є такими:

; ,

а відносні похибки

; .

Розрахунки згідно першої формули приводять до таких похибок:

;

;

;

;

;

;

;

.

Якщо ж скористатися другою формулою, то одержимо такі похибки:

;

;

;

;

Як бачимо

,

тобто підрахунок за другою формулою дає змогу одержати результат у 21 рази точніший, ніж розрахунок за першою формулою, де відбувається віднімання близьких за значенням величин.

Наведений приклад засвідчує, що похибка результату залежить від порядку проведення обчислень і це потрібно враховувати при розрахунках. Алгебрично наведені формули тотожні, але для проведення обчислень кращою є друга. У першій формулі при відніманні близьких величин ірізко збільшується відносна похибка.

2.3.2. Похибки добутку, ділення й обчислення довільної функції

Доведемо, що відносна похибка добутку дорівнює сумі відносних похибок співмножників.

Дійсно:

,

звідки випливає

.

Через те що ітоа тому

; (2.2)

,

що й треба було довести.

Відносна похибка обчислення величини, зворотної до даної, дорівнює відносній похибці вихідної величини.

Щоб довести це, врахуємо, що, якщо , то

.

З цього випливає , а значить, що й треба було довести.

Враховуючи це, можна дійти висновку, що відносна похибка частки дорівнює сумі відносних похибок діленого та дільника:

. (2.3)

Аналогічно можна встановити, що відносна похибка піднесення до степеня наближеного числа(-натуральне ціле)дорівнює добутку відносної похибки основи на абсолютну величину показника степеня

. (2.4)

Абсолютна похибка обчислення функції дорівнює добутку абсолютної похибки аргументу на абсолютну величину похідної від функції:

. (2.5)

Приклад 1. Похибка обчислення лінійної функції .

Маємо .

Приклад 2. Похибки обчислення синуса .

У цьому випадку , а тому, а.

Приклад 3. Похибки обчислення косинуса .

У цьому випадку , а тому, а.

Аналіз останніх прикладів дозволяє висновувати, що

1. похибка обчислень суттєво залежить від значення аргументу;

2. при малих значеннях аргументу обчислення косинуса здійснюється зі значно меншою відносною похибкою, ніж похибка завдання аргументу;

3. обчислення косинуса при значеннях аргументу, близьких до приводить до вельми значних обчислювальних похибок; відносна похибка визначення косинуса у цьому випадку у багато разів перевищує відносну похибку завдання кута;

4. відносна ж похибка визначення синуса у діапазоні завжди менша за відносну похибку аргументу.