- •I. Неопределенный интеграл и основные формулы интегрирования.
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Таблица интегралов
- •В некоторых случаях искомый интеграл сводится к табличному интегралу или их сумме тождественным преобразованием подынтегральной функции.
- •1. Метод подстановки
- •Имеем
- •2. Метод интегрирования по частям
- •Упражнения.
- •Ш. Интегрирование некоторых классов функций
- •1. Интегрирование рациональных дробей
- •Упражнения.
- •2. Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегралы вида
- •3. Интегрирование простейших иррациональных функций
- •Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене
- •Ответы к упражнениям
- •IV. Индивидуальные задания
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
Нетрудно видеть, что это приведёт к довольно трудоёмким вычислениям, так как разложение будет содержать пять слагаемых. Результат можно
получить гораздо быстрее и проще, если преобразовать подынтегральную функцию следующим образом:
|
x2 + 2x |
= |
(x2 + 2x +1)−1 |
= |
|
(x +1)2 −1 |
= |
1 |
|
− |
1 |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
(x +1)5 |
|
|
(x +1)3 |
|
(x +1)5 |
|
|
|
|||||||
|
(x +1)5 |
(x +1)5 |
|
|
|
|||||||||||||||
Тогда легко получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
dx |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
J = ∫ |
|
− ∫ |
|
= − |
|
+ |
|
+C. |
|||||||||
|
|
|
(x +1)3 |
(x +1)5 |
2(x +1)2 |
4(x +1)4 |
Ответы к упражнениям
Интегрирование по частям (стр.9).
1. |
|
1 x2 + |
1 xsin 2x + |
1 cos2x +C . |
|
|
2. |
|
|
x2 +1 |
arctg x − |
x |
+C . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||
3. |
(x +1)2 sin x + 2(x +1)cos x +C . |
|
4. − 1 (ln |
|
x |
|
+1 )+C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x [(ln |
|
|
|
|
|
|
|
−1)2 +1]+C . |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
5. |
|
|
x |
|
|
|
|
|
6. −e−x (x3 +3x2 + 6x + 6)+C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+C . |
|
|
|
8. |
|
xex +C . |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
xarcsin x + 1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрирование рациональных функций (стр.16). |
||||||||||||||||||||||||||
1. |
− 2 ln |
|
x |
|
+ |
5 ln |
|
x −3 |
|
+C . |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 ln(x2 |
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
31 |
ln |
|
x − |
3 |
|
+ |
|
29 |
ln |
|
x +3 |
|
+9)− |
arctg |
+C . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
108 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
108 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
54 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
1 |
|
x |
|
x −1 |
|
|
|
|||||
4 ln |
|
|
− |
|
+C . |
|
|
x − 2 |
2x(x − 2) |
4. |
1 |
ln |
(x − 2)2 |
− |
1 |
|
|
arctg |
x + |
1 |
+C . |
||
24 |
x2 + 2x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 3 |
3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
5. |
1 |
+ |
1 ln |
(x −1)2 |
|
+ |
1 |
|
arctg |
2x +1 |
+C . |
6. |
x2 |
+7x + |
75 ln |
|
x −5 |
|
− |
1 ln |
|
x −1 |
|
+C . |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x |
x2 + x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций (стр.24).
25 5354.ru
1. |
|
1 sin 2x − 1 sin 4x +C . |
|
|
2. |
1 ln |
|
5 tg |
x |
+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+C . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
−cos x + 2 cos3 x − 1 cos5 x +C . |
|
|
4. |
3 x + 1 sin 2x + |
1 |
|
sin 4x +C . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
32 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. |
|
x |
|
− |
1 |
sin 4x +C . |
|
|
6. |
− |
|
|
|
2 |
|
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
8 |
32 |
|
|
tg |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
tg x + 2 |
|
|
+C . |
|
|
8. |
2 tg3 |
x |
− 2 tg |
x |
|
+ x +C . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. ln |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
tg x +3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
9. − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1−2x |
|
−2 4 |
1−2x |
|
−2ln |
4 |
1−2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
10. |
|
|
x − 1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+C . |
|
|
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
ln |
|
|
x2 |
− x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+C . |
12. |
1 arcsin x − 1 x |
|
|
|
1 x3 |
|
+C . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x5 |
− 2 |
|
|
+ 6 6 |
|
|
|
−6 arctg 6 |
|
|
1− x2 + |
1− x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
x |
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||
13. |
|
|
|
|
x |
+1 |
−3 |
|
|
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
− 4 arcsin |
9 −2x − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+C . |
|
|
15. |
|
|
2 |
1 |
+ x |
32 |
+C . |
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
x +3 + 4ln |
|
|
|
x +3 −2 |
|
|
− |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 5354.ru
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IV. Индивидуальные задания |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2x2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
− 4cos3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
∫ |
|
|
|
|
|
dx , |
∫ |
|
dx , ∫ 2x +1 dx , ∫ |
|
|
|
|
|
dx . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
x |
|
|
|
9 + |
|
4x |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. |
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫2 |
|
|
|
|
dx |
, ∫ |
x +3 |
dx |
|
, ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
9 + 4x |
2 |
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
x |
2x − x |
2 |
|
|
|
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|
x +1 |
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|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
3. |
∫xe2x dx , |
|
|
|
|
|
|
∫ln 2x dx , |
|
|
|
|
|
∫sin |
|
|
dx , |
|
|
|
∫x cos3x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
∫ |
|
|
|
|
|
4x |
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
dx , |
∫ |
|
|
|
|
|
|
2x +1 |
|
|
|
|
|
dx , |
|
|
|
∫ |
2x |
2 + 2x +1 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(x −1)(x + |
2) |
(x +1)(x + 2) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
+ 2x |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
dx |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
∫ |
|
|
|
|
|
3x −1 |
|
|
|
dx , ∫ |
|
|
|
|
|
dx , ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
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|
4 |
|
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|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3x −1 +1 |
|
|
|
x + 2 |
|
|
x |
|
x 1+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
∫sin3 x dx , |
|
|
|
∫tg 4 x dx , |
|
|
|
∫sin 2x cos 4x dx . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4sin x +3cos x +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
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|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
Вариант 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1. |
∫ |
|
|
|
|
|
1 2 |
dx , ∫ |
cos 2x |
dx , ∫x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx , ∫ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1+ 2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
1+tg x |
cos |
2 |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
∫etg x |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
, |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
∫ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
2x |
2 |
|
|
+ 4x +3 |
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 −9x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
∫x5 ln x dx , |
|
|
|
|
∫arctg x dx , |
|
|
|
∫x2 sin 2x dx , |
|
|
|
∫x e2x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
∫ |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx , |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x −2 |
|
|
|
|
|
dx , |
|
|
|
∫ |
7x |
2 +7x −1 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(x +1)(x − |
1) |
|
|
|
|
(x + 2)(x −2) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
+3x |
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx , |
|
|
|
|
∫x x +1 dx , |
|
|
∫ |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 − x − |
|
|
|
|
|
5 |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
6. |
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
∫sin 4 x cos x dx , |
|
|
|
∫tg 4 xsin 2 x dx , |
|
∫sin 4 x dx . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 −3cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
27 5354.ru
|
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|
|
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|
Вариант 3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
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|
1 |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
∫x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
∫ctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
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|
3 + ln x |
|
|
dx . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
+ |
|
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|
dx , |
|
|
|
|
|
|
x dx , |
|
|
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|
, |
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|
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|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
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|
x |
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|
|
|
|
|
|
2x − |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2. |
∫ |
sin 2x |
|
|
dx , |
|
|
∫2−2x+3 dx , |
|
∫ |
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
dx |
|
|
, |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
dx . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ 2x +3 |
|
|
|
|
|
1+ x |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
∫x cos3x dx , |
∫(x +1)e−2x dx , |
|
∫arctg x dx , |
∫ |
|
|
|
|
|
ln x dx . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
x2 + 2x −5 |
|
|
dx , ∫ |
x2 +16x +10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x (x +1) |
(x2 −1)(x − 2) |
|
x2 +8x −9 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
∫ |
|
x + 3 |
|
x2 |
|
)dx |
, ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, ∫ |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(1+ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(25 + x2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
25 + x2 |
1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
∫cos3 x dx , |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
∫tg 4 x dx . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 +sin x + 2cos x |
|
|
|
|
1+sin |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||
1. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
dx |
, ∫ |
|
dx |
, |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
, |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−cos2x |
|
x2 − 2x +1 |
|
|
|
|
|
|
(4 + x2 )3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
x +3 |
|
|
|
|
dx , |
|
|
∫x |
2 |
e |
−x3 |
dx , |
|
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
, |
|
|
|
|
∫ |
|
sin 2x |
|
dx . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
+ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ |
4x +8 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
cos 2x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3. |
∫ |
|
|
ln |
x |
|
|
dx , |
|
|
|
∫xe−x dx , |
|
∫xsin x dx , ∫cos |
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x −1 |
|
|
|
|
|
dx , ∫ |
|
|
10x +1 |
|
|
|
dx , |
|
|
|
∫ |
3x2 + 7x + 7 |
dx . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x +1)(x −1) |
|
(x +1)(x − 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
dx , |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
dx , |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
16 − x |
2 |
|
|
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
x x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x + |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
∫cos2 xsin x dx , |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
∫sin2 2x dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3sin x + 2cos x + 2 |
|
|
|
|
4 +sin |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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