Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский государственный архитектурно-строительный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

neopredelenny_integral_metodich.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

457.38 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Ш. Интегрирование некоторых классов функций

1. Интегрирование рациональных дробей

Дробно-рациональной функцией или рациональной дробью называется отношение двух многочленов. Дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Неправильную дробь путем деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. По основной теореме алгебры правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших рациональных дробей. Таким образом, неопределённый интеграл от любой рациональной дроби сводится к табличному интегралу типа (1) и интегрированию простейших рацио-нальных дробей.

а) Интегрирование простейших рациональных дробей

Дроби вида

	A	,		A	,		Ax + B	,		Ax + B	,
	x −α			(x −α)k		x2 + px + q			(x2 + px + q)k
где k ≥1, A, B, p, q −			константы,				причём			p2 − 4q < 0, называются

простейшими.

Интегралы от первых двух находят подстановкой x −α = t

∫

dx = Aln

x −α

+C,

∫

dx =

(x −α)k +C.

x −α

(x −α)k

1− k

Рассмотрим

= ∫

Ax + B

dx.

+ px + q

После выделения полного квадрата

p 2

x +

−

+ q

= x +

−

+ q,

+ px + q = x + 2

проведем замену переменной

x +

= t, x = t −

dx = dt

5354.ru

и, полагая

q −

= a2 , (a>0), получим

+ B

A t −

+ B

tdt

J =

dx =

dt = A

−

∫

p 2

∫

t2 + a2

∫t2 + a2

+ a2

∫t2

x +

+ q

−

arctg

+ a

+ B −

Ap 1

arctg

2x + p

+C.

+ px + q

B −

4q − p2

Пример 16.

= ∫

x +1

dx.

−12x +17

−3x +

4 +

3 2

−12x +17 = 4 x

−

= 4

x −

+ 2

Замена

x −

= t,

x = t +

dx = dt.

Тогда

∫

t +3 2 +1

∫

dt +

∫

+ 2

1 ln

+ 2

arctg

+C =

1 ln

x2 −3x +

arctg

2x −

+C.

Интеграл вида

J = ∫

Ax + B

(x2 + px + q)k

На первом этапе преобразуется аналогично интегралу типа

J = ∫

Ax + B

dx.

После замены x + p / 2 = t

(x2 + px + q)

получим интегралы вида

∫z

−k

dz =

z1−k

+C,

(z = x

+ px + q)

и Jk = ∫

1−k

(t2 + a2 )k

Второй интеграл после тождественного преобразования выражается

10 5354.ru

через интеграл Jk −1 = ∫( dt )k −1 и интеграл ∫( t2dt )k , который интегри-

t2 + a2 t2 + a2

руется по частям (см. пример 15 ). Применяя к интегралу Jk −1 ту же процедуру, что и к Jk необходимое число раз , придём к табличному интегралу (9).

б) Разложение рациональных дробей на простейшие и их интегрирование

Перед интегрированием рациональной дроби или дробно-рациональной

функции P(x) Q(x)

необходимо произвести следующие преобразования и

вычисления:

если дробь

P(x)

неправильная (т.е. степень числителя больше или

Q(x)

равна степени знаменателя), то нужно выделить ее целую часть, то

есть привести дробь к виду

P(x)

= M

(x)+

R(x)

где M (x) –

Q(x)

многочлен,

R(x)Q(xd )

- правильная рациональная дробь;

разложить знаменатель на линейные и квадратичные сомножители

Q(x)= (x − a)m (x2 + px + q)n ,

где m и n

– целые положительные числа, p, q – константы, причем

p2 – 4q < 0, т.е.

x2 + px + q

имеет комплексно-сопряженные корни;

правильную дробь разложить на сумму простейших дробей

R(x)

+ +

Q(x)

x −a

(x − a)2

(x −a)m

(А*)

B1x +C1

B2 x +C2

Bn x +Cn

;

(x2 + px + q)

+ +

(x2 + px + q)2

(x2 + px + q)n

4. вычислить неопределенные коэффициенты

A1, A2 , , Av , B1, B2 , , Bn , C1,C2 , ,Cn. Для этого привести равенство (А*) к общему знаменателю, приравнять числители, а в них – коэф-

11 5354.ru

фициенты при одинаковых степенях x слева и справа, затем решить систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициен-тов. Можно определить коэффициенты и другим способом, придавая переменной x в полученном равенстве некоторые числовые значения (лучше значения действительных корней, если они есть, знаменателя дроби). Иногда возможно комбинирование обоих способов.

Рассмотрим примеры интегрирования рациональных дробей в зависимости от корней их знаменателя.

Случай 1. Знаменатель дроби имеет действительные различные корни. Пример 17.

		J = ∫
	Q(x)= x3 − x2
Тогда	2x2 + 2x −6 =
	x3 − x2 −2x
	2x2	+ 2x −6 =
	2x2	+ 2x −6 =

2x2 + 2x −6 dx . x3 − x2 − 2x

−2x = x(x2 − x −2)= x(x +1)(x − 2).

	2x2 + 2x −6		A		B		C
		=		+		+		,	(а)
	x(x +1)(x −2)		x		x +1		x −2
A(x +1)(x − 2)+ Bx(x − 2)+Cx(x +1),									(б)
A(x2 − x −2)+ B(x2 −2x)+C(x2 + x).

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства, получим:

при x2 при x1 при x0

A + B +C = 2	A = 3		A = 3	A = 3

− A − 2B +C = 2	B +C = −1		3B = −6	B = −2
		5
− 2A = −6	− 2B +C =	5	B +C = −1	C =1 .

Подставив найденные коэффициенты в разложение (а) и проинтегрировав, окончательно будем иметь:

12 5354.ru

2x2 + 2x −6

J = ∫

dx = ∫

−

dx =

− x

−2x

x +1

x −2

= 3∫dx

−2∫d(x +1)

+ ∫d(x − 2)

x +1

x −2

= 3ln

−2ln

x +1

+ ln

x − 2

= ln

(x − 2)

+C .

(x +1)2

Заметим, что коэффициенты A, B, C можно определить иначе. Подставим в равенство (б) вместо x , последовательно, значения корней 0, -1, 2. Получим


при x = 0 :	−6 = A (−2)		A = 3,
при x = −1:	2 −2	−6 = B (−1) (−3)	B = −2,
при x = 2 :	2 4 +	2 2 −6 = C (2 +1) 2	C =1,

т. е. те же значения коэффициентов, что и при первом способе определения.

Случай 2. Знаменатель дроби имеет действительные корни, среди которых есть кратные.

Пример 18.

J = ∫

x2 +1

dx .

(x −1)2 [x +1]

В этом случае разложение

(А*)

примет вид:

x2 +1

(в)

(x −1)2 (x +1)

(x −1)2

(x −1)

x +1

Освободимся от знаменателя

x2 +1 = A(x +1)+ B(x2 −1)+C(x −1)2.

(г)

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями

x2 +1 = x2 (B +C)+ x(A − 2C)+ A − B +C .

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , получим систему уравнений

13 5354.ru

при x2 при x1 при x0

B +C =1		B +C =1		2A = 2
B +C =1		B +C =1		2A = 2	A =1
	0		0
A − 2C =	0	A − 2C =	0	− 4C = −2	B = 1	2
			2			2
							.
A − B +C =1		A + 2C =		B +C =1	C = 1	2	.
						2

Подставляя найденные значения коэффициентов в разложение дроби ( в ) и интегрируя, окончательно получим

J = ∫

x2 +1

dx = ∫

∫

x −1

x +1

+C1.

= −

2 ln

(x −1)2 [x +1]

(x −1)2

x −1

x +1

x −1

Определим коэффициенты A, B, C другим способом. Будем подставлять в равенство (г) вместо x , последовательно, значения корней знаменателя: 1,-1, а для получения третьего уравнения подставим x = 0 . Получим

при x = 1	:	2 = A 2	A =1,
при x = −1:		2 = C 4	C =1 2,
при x = 0	:	1 = A − B +C	B =1/ 2.

Случай 3. Среди корней знаменателя есть комплексно-сопряжённые. Пример 19.

J = ∫(x 2x)2(x−2 3x −x3 )dx .

−1 −2 +5

Здесь знаменатель подынтегральной дроби имеет один действительный корень x = 1 и комплексно-сопряженные корни, т. к.

x2 − 2x +5 = 0 при x1,2 =1± 1−5 =1± 2−1 =1± 2i .

Поэтому разложение дроби на сумму простейших дробей будет иметь вид:

	2x2 −3x −3		A		Bx +C		(д )
	(x −1)(x2 − 2x +5)	=		+		.
			x −1		x2 −2x +5
Освободимся от знаменателя

2x2 −3x −3 = A(x2 − 2x +5)+(Bx +C)(x −1) .

14 5354.ru

Следовательно

2x2 −3x −3 = A(x2 −2x +5)+ Bx2 − Bx +Cx −C = (A + B)x2 +(C −2A − B)x +5A −C .

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , получим систему

уравнений

при x2 при x1 при x0

A + B = 2− 2A − B +C5A −C = −3

	A + B = 2	A + B = 2	A = −1,
= −3
= −3	− A +C = −1	− A +C = −1	B = 3,

	5A −C = −3	4A = −4	C = −2 .

Подставляя найденные значения коэффициентов A, B, C

в разложение (д

) и интегрируя, будем иметь

J =

2x2

−3x −3

dx = −

3x − 2

dx = −ln

x −1

+ J1 ,

∫(x −1)(x2 − 2x + 5)

∫ x −1

∫ x2 − 2x + 5

где

J1 =

3x −2

= {x −1

= t, dx = dt

, x = t +1}=

3t +3 −2 dt =

∫x2 −2x +5

∫

t2 + 4

= 3

2tdt

−

= 3 ln

t2 + 4

− 1 arctg

= 3 ln

x2 − 2x +5

− 1 arctg

x −1

2 ∫t2 + 4 ∫t2 + 4 2

Итак, окончательно, получим

J = ∫

2x2

−3x −3

(x2 −2x +5)32

x −1

+C1 .

(x −1)(x2 −2x +5)

dx = ln

−

2 arctg

x −1

Пример 20.

= ∫

+3x2 +5x

+ 7

dx .

+ 2

В подынтегральной функции степень числителя дроби больше степени знаменателя. Следовательно, дробь неправильная. Выделим ее целую часть

x3 +3x2 +5x + 7 x2 + 2

x3 + 2x x +3

3x2 +3x + 7

3x2 + 6

15 5354.ru

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.11.20192.99 Mб6mu_raschet_stat.doc
#
11.05.20153.01 Mб63mu_raschet_stat.doc
#
11.05.2015608.26 Кб37mu_rgr_olhovik.doc
#
12.05.20152.6 Mб28mu_teplozashita.pdf
#
17.03.20161.06 Mб65NEDVIZhKA_GOTOVAYa,.docx
#
11.05.2015457.38 Кб18neopredelenny_integral_metodich.pdf
#
11.05.20157.62 Mб18ODD.pdf
#
12.05.20152.38 Mб232OiF_MU_Raschet_FMZ_i_SF_2005.pdf
#
12.05.20151.45 Mб5optika.pdf
#
11.05.2015687.89 Кб29Osn sva.pdf
#
12.11.2018944.13 Кб14Osnovnye_svoystva_NSSh.doc