∫

cos2x

dx = ∫

cos2 x −sin2 x

dx = ∫

1

− 2sin2 x

dx =∫

dx

− 2∫dx = −ctgx − 2x +C.

sin

2

x

sin

2

x

sin

2

x

sin

2

x

∫ f (ψ(x))ψ (x)dx ,

′

где ∫ f (t)dt - табличный интеграл.

Рассмотрим примеры.

Пример 3.

J = ∫(3x +5)9 dx.

Полагаем 3x +5 = t, тогда

dt = d(3x +5)= (3x +5)′dx = 3dx, dx = dt 3.

Подставляя, получим

4

5354.ru

9 dt

1

9

1 t10

1

10

J = ∫t

=

∫t

dt =

+C =

(3x +5) +C.

3

3

3 10

30

Пример 4.

J = ∫sin(2 −3x)dx.

Замена

t = 2 −3x, dt = d(2 −3x)= −3dx, dx = −dt 3.

Тогда

J = ∫sin t

dt

= −

1

∫sin t dt =

1 cost +C =

1 cos(2 −

3x)+C.

−3

3

3

3

Пример 5.

xdx

J = ∫

.

2

− a

2

x

Имеем t = x2 −a2 , dt = d(x2 −a2 )= (x2 −a2 )′dx = 2xdx, dx = dt 2.

1

∫

2xdx

1

∫

dt

J =

=

=

+C =

x2 − a2

+C.

t

2

2

2

2

t

x

− a

Пример 6.

J = ∫

xdx

.

x

2

2

Подстановка

+ a

t = x2 + a2 , dt = d(x2 + a2 )= (x2 + a2 )′dx = 2xdx, dx = dt 2.

1

∫

2xdx

1

∫

dt

1

1

ln(x

2

2

)+C.

J

=

=

=

ln

t

+C

=

+ a

2

x

2

+ a

2

2

t

2

2

Пример 7.

J = ∫sin5 xcos x dx.

Имеем

t = sin x,

dt = cos xdx.

J = ∫t

5 dt = t6

+C =

1 sin6

x +C.

6

6

Пример 8.

J = ∫

dx

.

xln x

Полагаем t = ln x, dt = dx

x.

5

5354.ru