3x +1.

Получим

x3 +3x2 +5x + 7

= x +

3 +

3x +1

.

x2 + 2

x2 + 2

Тогда

J = ∫

x3 +3x2 +5x + 7

dx =

∫(x +3)dx + ∫

3x +1

dx =

x

2

+ 2

x

2

+

2

1

2

3

2xdx

dx

1

2

3

2

1

x

=

(x

+3)

+

∫

+ ∫

=

(x +3) +

ln

x

+

2

+

arctg

+C .

2

2

x

2

+ 2

x

2

+ 2

2

2

2

2

Упражнения.

1. ∫

x + 2

dx .

2. ∫

x3 + x +1

dx .

3. ∫

dx

.

x(x −3)

x4 −81

(x2 − 2x)2

4. ∫

dx

.

5. ∫

dx

.

6. ∫

x3 + x2

dx .

x

3

−

8

x

5

− x

2

x

2

−6x

+5

Пример 21.

J = ∫sin 2x cos5x dx.

J =

1

∫(sin(2 +5)x +sin(2

−5)x)dx = 1 ∫sin 7x dx −

1

∫sin3x dx =

2

2

2

= −

1

cos7x − 1 cos3x +C.

14

6

тригонометрической подстановки

t = tg

x

,

приводится к интегралу от

2

некоторой рациональной дроби относительно переменной

t .

Действительно,

если

t = tg

x

, то

x

= 2arctg t,

dx =

2dt

,

sinx =

2t

, cos x

=

1−t2

и

2

1+t2

1+t2

1+t2

2t

1−t

2

2dt

2

,

2 .

∫R(sin x,cos x)dx = ∫R

1+t

1+t

2

1

+t

Пример 22.

J = ∫

dx

.

sin x −cos x

1

2dt

2dt

2dt

1

t +1−

J = ∫

= ∫

= ∫

=

ln

2

+C =

2t

1−t2

1+t2

t2 + 2t −1

(t +1)2 − 2

t +1+

−

2

2

1

+t2

1+t2

tg

x

1

+1−

2

=

ln

2

+C.

x

2

tg

+1+

2

2

Пример 23.

J

= ∫

dx

.

sin x + 2cos x + 2

J = ∫

1

2dt

= ∫

2dt

= ∫

dt

=

2t

2(1−t2 )

+

1+t2

2t + 2 −2t2 + 2 + 2t2

t + 2

1+t2

1+t2

x

= ln

t + 2

+C = ln

tg

+C.

2

t = tg x,

dx =

dt

или

t = ctg x,

dx = −

dt

.

1+t2

1+t2

Пример 24.

J = ∫tg7 x dx.

t7

5

3

t

1

6

1

4

1

2

1

2

J = ∫

dt = ∫ t

−t

+t −

dt

=

t

−

t

+

t

−

ln

t

+1

=

1

+t

2

t

2

+1

6

4

2

2

=

1 tg6 x −

1 tg4 x

+

1 tg2 x −

1 ln

tg2 x

+1

+C.

6

4

2

2

Пример 25.

J = ∫(1+ ctg3x)dx.

J = ∫−

(1+t

3

)

dt

= −∫

dt

− ∫

t3

= arcctg t − ∫