Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский государственный архитектурно-строительный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

neopredelenny_integral_metodich.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

457.38 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

n1,n2 , ,nk

J = ∫

= ∫

dt1+t2

= ∫

(1+t

2 )2

dt =

sin4 xcos2 x

(1+t2 )2

1+t2

= ∫

t4 +

2t2 +1

= t −

−

+C = tgx

− 2ctgx −

ctg

x +C.

Отметим, что подстановка

t = tg x

применима и к интегралам вида

∫R(sin x,cos x)dx, если sin x

и cos x

входят в них только в чётных степенях.

Пример 33.

J = ∫

=∫

= ∫

2 −sin

)

+ 2

2 −

1+t

2 (1

arctg

+C =

arctg tgx

+C.

3. Интегрирование простейших иррациональных функций

Рассмотрим интеграл вида

∫R x,n1(ax +b)m1 , ,nk(ax +b)mk dx ,

где R – рациональная функция своих аргументов, a ,b – постоянные. Обозначим через r наименьшее общее кратное показателей корней

(то есть наименьшее из всех чисел, делящихся без остатка на n1,n2 , ,nk ). Сделаем замену

ax +b = tr , x =	1	(tr −b),	dx =	r	tr −1dt.
	a
				a

Тогда каждая дробная степень (ax +b) выразится через целую степень t , и следовательно, подынтегральная функция преобразится в рациональную функцию от t .

Пример 34.	J = ∫	xdx				.
				3
		x +1	+		x +1

Используя замену

x +1 = t6 , x = t6 −1, dx = 6t5dt,

20 5354.ru

получим

J = ∫

(t6

−1)6t5dt

6∫

t5 (t3 −1)(t3 +1)

= 6∫

t3 (t3 −1)(t +1)(t2

−t +1)

dt =

(t +1)

t +1

= 6∫(t

−t

)dt

−

+C =

= 6

= 32 (x +1)3 2 − 43 (x +1)4 3 + 76 (x +1)7 6 −(x +1)+ 56 (x +1)5 6 − 23 (x +1)2 3 +C .

Пример 35.

= ∫

−

Этот интеграл, как нетрудно заметить, представляет частный случай общего при a = 1, b = 0 . Поэтому подстановка

x = t12 , dx =12t11dt

даёт

= ∫

12t11 dt

=12∫

t15dt

=12

∫

−t

(t −1)

t −

=12ln

t −1

+C =12ln

−1

+C .

Рассмотрим интегралы вида

∫R( x,

)dx ,

(a)

a2 − x2

∫R (x,

)dx ,

(b)

a2 + x2

∫R (x,

)dx .

(c)

x2 − a2

Все эти интегралы приводятся к интегралам от рациональной функции

относительно sin t

и cos t , при помощи тригонометрических

подстановок.

Для интеграла (a)

x = asin t,

dx = a costdt

или

x = a cost,

dx = −asin tdt .

Для интеграла (b)

x = atg t,

dx = a

cos2 t

или

x = a ctg t,

= −a

sin2 t

21 5354.ru

Для интеграла (c)

x =

dx =

asin tdt

cost

cos2 t

или

x =

= − a costdt .

sin t

sin2 t

Пример 36.

J = ∫

x2 −9

dx .

Это интеграл вида (c), поэтому полагаем

x =

dx =

3sin t

dt .

cost

cos2 t

9/ cos

t −9

J = ∫

3sin2 t dt = ∫3sin t cost

3sin2 t

dt = ∫3sin2

dt =

3/ cost

cos

cost

cos t

cos

= 3 1−cos2 tdt

+C .

= 3

−3

dt =3 tg t −3t +C =

x2 −9 −3arccos

∫cos2 t

∫

cos2 t

∫

Пример 37.

J = ∫

ρ2

dρ .

1− ρ

Это интеграл вида (а), поэтому полагаем Тогда

ρ = sin t, dρ = cos t dt .

J = ∫

ρ2

dρ = ∫

sin2 t

costdt =

∫sin2 tdt =

∫(1−cos2t)dt =

1− ρ

cost

+C .

+C =

arcsin ρ

−

1− ρ

t −

sin 2t

Пример 38.

= ∫

1+ x

dx .

Это интеграл вида (b), поэтому полагаем

x = tg t,

dx =

cos2 t

1+tg

cos4t

J = ∫

= ∫

cos4

= ∫

dt =

cost

tg t

cos

sin

cos

sin

22 5354.ru

= ∫

d(sin t)

= −

+C = −

1 (1

+ x2 )32

+C .

sin

3sin

Интегралы вида

∫

Ax + B

ax2 +bx +c

преобразуются аналогично интегралам вида

Ax + B

∫

dx , которые были

ax2 +bx + c

рассмотрены ранее (стр. 10 ). В результате этих преобразований получаем

интеграл типа ∫

, где

z = ax2 +bx + c и табличные интегралы (10), (12).

Пример 38.

J = ∫

1− 4x − x

Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене

1− 4x − x2 = −(x2 + 4x −1)= −(x2 + 4x + 4)+5 = −(x + 2)2 +5.

Сделаем замену переменной

x + 2 = t, x = t − 2, dx = dt .

Тогда

J = ∫

= ∫

= arcsin

+C = arcsin

x +

+C .

1− 4x

− x

5 −t

Пример 39.

J = ∫

2x +3

dx .

+ 4x +10

Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене

2x2 + 4x +10 = 2(x2 + 2x +1)+8 = 2(x +1)2 +8 = 2[(x +1)2 + 4].

Сделаем замену переменной

x +1 = t, x = t −1, dx = dt .

Тогда

J = ∫

2x +3

dx = ∫

2t +1

∫

tdt

∫

+ 4x +10

2 t + 4

t + 4

+ 4

5354.ru

					1
=			t2 + 4 +				ln		t + t2		+ 4	+C =
		2

					2
					2

							2
	2						2				2
= 2 (x +1) +				4	+			ln		x +1	+ (x +1) + 4		+C .
= 2 (x +1) +				4	+	2		ln		x +1	+ (x +1) + 4		+C .
						2

Упражнения.

1. ∫sin 3xsin xdx .

∫cos4 x dx .

∫

sin

x +5sin xcos x + 6cos

∫

− 4

1−2x

10. ∫

− x −1

13. ∫

3x −1

9 − 2x − x

2. ∫ dx .

3 +5sin x +3cos x

5.∫sin2 xcos2 x dx .

8.∫tg4 2x dx .

11.∫1+63x x dx .

14.∫x +dx3 − 2

3.∫sin5 x dx .

6.∫1−dxsin x .

12.∫x2 1− x2 dx .

15.∫x12 1+x x dx

В заключение отметим, что для успешного вычисления неопределённых интегралов знание основных приёмов интегрирования является лишь необ-ходимым условием. Для более полного усвоения материала темы рекоменду-ется каждый раз при вычислении конкретного интеграла выбирать наиболее рациональные пути интегрирования, приводящие к результату с наимень-шими затратами.

Например, требуется вычислить J = ∫x(2 + 2)x dx.

x +1 5

Подынтегральная функция представляет собой рациональную дробь, которую, как известно (см. III. 1б), надо разложить на сумму простейших дробей.

24 5354.ru

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.11.20192.99 Mб6mu_raschet_stat.doc
#
11.05.20153.01 Mб63mu_raschet_stat.doc
#
11.05.2015608.26 Кб37mu_rgr_olhovik.doc
#
12.05.20152.6 Mб28mu_teplozashita.pdf
#
17.03.20161.06 Mб65NEDVIZhKA_GOTOVAYa,.docx
#
11.05.2015457.38 Кб18neopredelenny_integral_metodich.pdf
#
11.05.20157.62 Mб18ODD.pdf
#
12.05.20152.38 Mб232OiF_MU_Raschet_FMZ_i_SF_2005.pdf
#
12.05.20151.45 Mб5optika.pdf
#
11.05.2015687.89 Кб29Osn sva.pdf
#
12.11.2018944.13 Кб14Osnovnye_svoystva_NSSh.doc