MathCadTV 5semestr

0.4

pxx(x)

0.2

py(x)

Более сложные функции от случайных величин

Пусть (ξ, η ) — дискретный случайный вектор с распределением

Найдем распределение случайной величины ζ=ξη, которая принимает значения 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8. Вычислим соответствующие вероятности:

P(ζ = ξη = 0) = P(ξ = 0, η =1) + P(ξ = 0,η = 2)+ P(ξ = 0, η = 3) + P(ξ = 0,η = 4)= =0.01+0.02+0.03+0.04=0.1

P(ζ=1)=P(ξ=1,η=1)=0.1, P(ζ=2)= P(ξ=1,η=2)+ P(ξ=2,η=1)=0.1+0.05=0.15.

В результате получим распределение случайной величины ζ=ξη:

Для того чтобы найти распределение произведения непрерывных случайных величин, необходимо выполнить более громоздкие вычисления. Пусть (ξ,η) — двумерный непрерывный случайный вектор с плотностью распределения pξ,η(x1,x2). Построим функцию распределения случайной величины ζ=ξη. Согласно определению

Для вычисления этой вероятности рассмотрим отдельно случаи х > 0 и х<0. Области интегрирования для обоих случаев на рис. 5.2 закрашены.

Рис. 5.2. Области интегрирования для вычисления распределения произведения В обоих случаях имеем

ЗАДАНИЕ 5.19

Найдите функцию распределения произведения двух зависимых случайных величин, распределенных равномерно соответстипи на промежутках [а, b] и [с, d].

Порядок выполнения задания

1.Запишите выражение для вычисления функции распределения.

2.Вычислите соответствующие интегралы символьно.

3.Опишите полученную функцию и постройте ее график.

4.Найдите плотность вероятностей произведения.

Пример выполнения задания

Пусть ξ и η — независимые случайные величины, распределенные равномерно на

промежутке [0,1]. Найдем функцию распределения их произведения ζ = ξη. Случайная величина ζ неотрицательна, поскольку значения сомножителей неотрицательны. Это означает, что Fζ(x)=0 при х 0. Прежде чем воспользоваться формулой для вычисления функции распределения при х > 0, заметим, что при х > 1 гипербола x1x2 = х не пересекает квадрат Ω = [0, 1] х [0, 1] (рис. 5.3), т.е. область интегрирования (pξ,η(x1,x2)=0 вне квадрата Ω и pξ,η(x1,x2)=1 внутри квадрата Ω ) совпадает с квадратом Ω и Fζ(x) = 1 при х > 1.

При 0 < х < 1 первый интеграл в формуле функции распределения равен нулю, а второй разбивается на два слагаемых:

Вычисление интегралов, определение функции распределения и построение ее графика приведены ниже.

Из приведенных вычислений видно, что плотность распределения бесконечно большая в окрестности точки х = 0. Но это не означает, что вероятность какого-либо события может

1

оказаться большей 1, поскольку ( ln x)dx 1.

0

Задание .8 Числовые характеристики случайных величин

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения. В то же время при решении практических задач достаточно знать несколько числовых параметров, которые позволяют представить основные особенности случайной величины в сжатой форме. К таким величинам относятся в первую очередь математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание случайной величины

Математическое ожидание — число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины.

Если ξ — дискретная случайная величина с распределением

то ее математическим ожиданием — оно обозначается Мξ — называется величина

M pi xi ,

i 1

если число значений случайной величины конечно. Если число значений случайной величины счетно, то

M pi xi .

i 1

При этом если ряд в правой части равенства расходится или сходится условно, то говорят, что случайная величина ξ не имеет математического ожидания.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей pξ(x) вычисляется по формуле

M xp (x)dx .

При этом если интеграл в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина ξ не имеет математического ожидания.

Если случайная величина η является функцией случайной величины ξ, η=f(ξ), то

M f (x) p (x)dx .

Аналогичные формулы справедливы для функций дискретной случайной величины:

При вычислении математического ожидания случайной величины полезны следующие его свойства:

•математическое ожидание константы равно этой константе, т.е. Мс = с;

•математическое ожидание — линейный функционал случайной величины, т.е. при произвольных постоянных a и b верно равенство M(aξ+bη)=aMξ+bMη;

•математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. М(ξη)=Мξ·Mη. Приведем формулы математических ожиданий для наиболее известных распределений:

•биномиальное распределение ( P( k) Cnk pk qn k ): Mξ=np;

•геометрическое распределение ( P( k) qk p ):Mξ=p/q;

• пуассоновское распределение ( P( k) k e ):Mξ=λ; k!

•равномерное распределение (pξ(x)=1/(b-a), x [a,b]):Mξ=(a+b)/2;

•распределение хи-квадрат (χ2-распределение) с n степенями свободы

• распределение Стьюдента (t-распределение) с n степенями свободы

•экспоненциальное (показательное) распределение: Dξ = λ-2;

•нормальное распределение N (a,σ): Dξ = σ2;

•распределение хи-квадрат (2-распределение) с п степенями свободы: Dξ2=2n;

•распределение Стьюдента с n степенями свободы: Dξ =n/(n-2), п > 2;

ЗАДАНИЕ 5.20

Вычислите математическое ожидание и дисперсию слyчайной величины Y = (X), которая представляет собой площадь указанной в задании геометрической фигуры, для случайной величины X, распределенной равномерно на промежутке [а, b].

Порядок выполнения задания

1.Запишите выражение для функции ξ = S(η) от случайной величины η, определяющей площадь фигуры.

2.Вычислите математическое ожидание случайной величины ξ.

3.Вычислите математическое ожидание случайной величины ξ2.

4.Вычислите дисперсию случайной величины ξ = S(η) по формуле Dξ = Мξ2 - (Мξ)2.

Пример выполнения задания

Случайная величина η распределена равномерно на промежутке [0, 1]. Найдем математическое ожидание и дисперсию площади квадрата со стороной ту, т.е. характеристики случайной величины ξ = S(η)=η2. Ниже приведено решение задачи в среде

MathCAD.

Математическое ожидание площади квадрата ξ

Математическое ожидание квадрата случайной величины ξ

Дисперсия площади квадрата ξ

Указание. Математическое ожидание и дисперсию площади квадрата со стороной η вычислите символьно по формулам Мξ = Mη2, Dξ = Mη4 - (Мξ)2. Определите искомые математическое ожидание и дисперсию как функции переменной ξ.

Моменты

В теории вероятностей и математической статистике, помимо математического ожидания и дисперсии, используются и другие числовые характеристики случайных величин. В первую очередь это начальные и центральные моменты.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины называется математическое ожидание k-й степени случайной величины , т.е. k = М k.

Центральным моментом k-го порядка случайной величины называется величина k , определяемая формулой k = М( - M )k.

Заметим, что математическое ожидание случайной величины — начальный момент первого

порядка, 1 = М , а дисперсия — центральный момент второго порядка: 2 = М( — M)2 =

D .

Существуют формулы, позволяющие выразить центральные моменты случайной величины

через ее начальные моменты. Одна из таких формул приведена выше: D = М( – M )2 = 2

– 12.

В дальнейшем будет использована формула 3 = 3 – 3 2 1+ 213

Нетрудно понять, что если плотность распределения вероятностей случайной величины симметрична относительно прямой х = М , то все ее центральные моменты нечетного порядка равны нулю.

В теории вероятностей и в математической статистике в качестве меры асимметрии распределения служит коэффициент асимметрии, который определяется формулой

= 32

Коэффициент асимметрии — безразмерная величина, а по его знаку можно судить о