MathCadTV 5semestr

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тульский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

p , (x, y) =

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

1.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

формулой

p (x / y0 ) p , (x, y0 ) p ( y0 )

Аналогично условной плотностью распределения случайной величины т) при условии, что случайная величина ξ принимает значение ξ = x0, называется функция переменной y, определяемая формулой

p (x / x0 ) p , (x0 , y ) p (x0 )

Рассмотрим пример. Пусть двумерная случайная величина (ξ, η) распределена равномерно в круге х2 + у2 1. Тогда плотность совместного распределения этой случайной величины равна

Плотности вероятностей каждой ее компоненты вычисляются по формулам:

1-x2

, x [ 1,1],

, y [ 1,1],

1- x

1- y

p (x) =

p ( y) =

1-x

y [ 1,1],

x [ 1,1],

Условная плотность распределения случайной величины ξ при условии, что случайная

величина η принимает значение η =y0 =0,равна
			1/		1	,	x [ 1,1],
	p , (x,0)


p (x / 0)		2 1 02			2
p (x / 0)	p (0)	2 1 02			2
	p (0)	0,		x [ 1,1],

Таким образом, при η = 0 случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке 1,1].

Для сравнения найдем условное распределение случайной величины ξ при условии, что случайная величина η принимает значение η = y0= 0.5. Рассматриваемая случайная величина ξ может принимать


				3			3
значения только из отрезка [	1 0.52 ,	1 0.52 ] [		3	,		3	] , а условная плотность
значения только из отрезка [	1 0.52 ,	1 0.52 ] [	2		,	2		] , а условная плотность
			2			2

вероятностей равна

				1/
							1	,		x [	3	,	3	],
							1				3		3

	p , (x,0.5)			2			3				2		2
p (x / 0.5)			2	1 0.5										Видно,	что	условное
p (x / 0.5)	p (0.5)		2	1 0.5										Видно,	что	условное
	p (0.5)			x [	3		3
		0,				,			],
		0,			2	,	2		],
					2		2

распределение вероятностей случайной величины ξ зависит от значения, которое принимает случайная величина η. Это приводит к мысли, что случайные величины ξ и η зависимы. Впрочем, в зависимости случайных величин ξ и η можно убедиться, проверив условие независимости pξ,η(x,y) =pξ(x) pη(y):

		1				2			, p ( y)		2
p	(x, y)	1	, p (x)			2		1 x2			2	1 y2 ,
p	(x, y)		, p (x)					1 x2				1 y2 ,
,													в круге x2+y2 1.
				4						1			в круге x2+y2 1.
p (x) p ( y)				4	1 x2		1 y2 ,			1
p (x) p ( y)			2		1 x2		1 y2 ,
			2

Ниже приведен фрагмент рабочего документа MathCAD, содержащий вычисление и графики всех описанных в примере распределений для обеих непрерывных случайных величин.

1 x2

p (x y)

if x

i(x)

0 if x2 y2 1

1 x

Распределение плотности

вероятностей величины

p (y)

p (x)

i(x)

i(y)

0 if

p (x)

p ( y)

0.5

Условные распределения плотности

вероятностей случайной величины

a(y)

1 y2

pif (x y)

a(y)

p (y)

a(y)

pif (x 0)

pif (x 0.5)

0.5

pif (x 0.8)

ЗАДАНИЕ 5.15

Вычислите распределение компонент двумерной случайной величины и все их условные

распределения, если эта случайная величина распределена равномерно в области х2 /а2+у2 / b2 1.

N	а	b	N	а	b	N	а	b	N	a	b

1	1	2	6	2.5	3.5	11	3	4	16	6	6.5
2	1.2	2.3	7	3.5	4.5	12	3.2	4.2	17	6.5	7.0
3	2	4	8	4.5	5.5	13	8	10	18	7.0	7.5
4	2.2	4.4	9	5.5	6.5	14	8.2	10.4	19	7.5	1.9
5	1.5	2.5	10	6.5	7.5	15	7.5	6.5	20	1.9	2.0

Порядок выполнения задания

1.Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1.

2.Вычислите плотность вероятностей двумерной случайной величины (ξ,η).

3.Вычислите плотности вероятностей каждой компоненты и постройте их графики.

4.Вычислите условную плотность вероятностей заданной компоненты.

5.Постройте графики условных вероятностей заданной компоненты при нескольких различных значениях второй компоненты.

6.Сохраните рабочий документ в файле на диске. Он будет использован при выполнении заданий раздела "Числовые характеристики случайных векторов".

Пример выполнения задания

Пример выполнения задания для двумерной случайной величины с распределением рξη(x,y) = 1/π при х2 + у2 1 приведен выше.

Важный пример дает случайный вектор (ξ, η), имеющий нормальное распределение. В наиболее общем случае плотность вероятностей такого вектора зависит от пяти параметров аξ, аη, σξ, ση, kξη и имеет вид

								2
		1				1	x a

p , (x, y)					exp			2k
p , (x, y)			1 k	2	exp	2		2k
	2		1 k			2(1 k )

При любых значениях параметров аξ, аη, σξ>0, ση>0, |kξη| 1

условиям нормировки: p , (x, y)dxdy 1.

x a	x a	x a	2
x a	x a	x a

эта функция удовлетворяет

Кроме того, можно легко найти плотность распределения каждой з случайных величин ξ и η:

	1		1	x a 2		1		1	x a 2
p (x) p , (x, y)dy		exp			p (x) p , (x, y)dx		exp

	2		2			2		2
	2		2			2		2

т.е. случайные величины ξ и η имеют нормальные распределения с параметрами aξ, σξ > 0, и aη, ση > 0: ξ ~ N(aξ, σξ), η ~ N(aη, ση).

Аналогично можно найти условное распределение.

Рассмотрим теперь условное распределение ξ при условии η = у. Для этого, выполнив несложные вычисления, найдем

p (x / y)	p , (x, y)		1


	p ( y)	2	1 k 2
	p ( y)	2	1 k 2

(x a )

exp

1 k 2

Это нормальное распределение с параметрами a a

( y a

) и

1 k 2 .

Аналогично можно найти условное распределение

a k

(x a )

p ( y / x)

exp

1 k 2

k 2

которое также является нормальным распределением с параметрами

a a k ( y a ) и 1 k 2 .

ЗАДАНИЕ 5.16

. Вычислите плотности вероятностей и условные плотности вероятностей нормального случайного вектора (X, Y) с заданными параметрами. Постройте график плотности вероятностей случайного вектора, графики плотности вероятностей компонент случайного вектора и графики условных плотностей вероятностей каждой компоненты, когда значение другой компоненты равно ее математическому ожиданию.

N	aX	X	aY	Y	kXY	N	aX	X	aY	Y	kXY
1	0	1	-0.6	3.5	0.5	7	1.1	3.5	0	0	0.5
2	0.1	2	-0.7	4.5	0.6	8	1.2	4.5	0.1	0.1	0.6
3	0.3	4	–0.9	6.5	0.6	9	1.3	5.5	0.2	0.2	0.5
4	0.4	5	–1	7.5	0.4	10	0	6.5	0.3	0.3	0.6
5	0.5	6	–1.1	8.5	0.5	11	-0.1	7.5	0.4	0.4	0.4
6	0.6	7	–1.2	9,5	0,6	12	-0.2	8.5	0.5	0.5	0.6
13	0.7	8	-1.3	7.4	0.4	17	–0.3	9.5	0.6	0.6	0.6
14	0.8	9	1.4	4.7	0.5	18	–0.4	1.5	0.7	0.7	0.4
15	0.9	10	–1.5	5.7	0.6	19	–0.5	2.5	0.2	0.8	0.5
16	1	11	1.6	7.5	0.4	20	–0.6	3.5	0.9	0.9	0.6

Порядок выполнения задания

1.Присвойте значения параметрам распределения случайного вектора.

2.Вычислите плотности вероятностей каждой компоненты.

3.Вычислите условные плотности вероятностей обеих компонент.

4.Найти таблицу значений плотности случайного вектора и постройте ее график.

5.Постройте графики плотностей вероятностей компонент случайного вектора.

6.Постройте графики условных вероятностей заданной компоненты при заданных

значениях второй компоненты.

Пример выполнения задания

Ниже приведен фрагмент рабочего документа MathCAD с вычислением и графиками плотностей вероятностей и условных плотностей вероятностей случайного вектора (ξ, η), имеющего нормальное распределение с параметрами аξ=0, аη = 1, σξ = 1, ση = 2, kξη = 0.5. Графики условных вероятностей компоненты ξ построены для значений второй компонентa η=аη и η =(aη+5)/2. Графики условных вероятностей компоненты η построены для значений другой компоненты ξ =(aξ+1)/2.

a 0 1 a 1 2 k 0.5

x a

y a

2 k

exp

p (x y)

2 1 k

1 k


p (x) dnorm x a											p (x) dnorm x a
p con(x y)					p (x y)							p con(x y)		p (x y)
p con(x y)												p con(x y)		p (x)
						p (y)								p (x)
i 1 40								j 1 40
ui a (i 20) 0.2											vj a ( j 20) 0.2
																			Ti j
		p (x)						1
								1
								0.5										p (x)
								0.5




					5			0					5
										x
	p con(x a )							1							p con(a x)
								1
							0.5
							0.5



					5			0					5
									x
				a 5				1									a 5
								1

	p con		x					0.5								p con
	p con		x					0.5								p con
				2													2


					5			0					5
												x

p ui vj

0.5

0 x

0.5


5	0		5
	x
x	1
	1
	0.5
	0.5



5	0		5
		x

Задание .7 Функции от случайных величин

Если ξ — случайная величина с областью значений Хξ множестве Хξ, то η = f(x) — тоже случайная величина. распределения случайной

и функция f(x) определена на Задача об отыскании функции

величины η по известной функции распределения случайной величины ξ легко решается, если f(x) — непрерывная монотонно возрастающая функция. В этом случае

Fη(x) = P(η<x) = P(f(ξ)<x) = P(ξ<f—1(x)) = Fξ(f--1(x)). Итак, Fη(x)=Fξ(f--1(x)).

Здесь Fξ(x) — известная функция распределения случайной величины ξ, а символом f--1(x) обозначена функция, обратная к функции* f--1(x).

Плотность распределения случайной величины η для дифференцируемой функции f(x) находится по формуле

p (x) p ( f 1(x)) d( f 1(x)) . dx

Задание .7а

Найдите по заданному распределению f X (x) аргумента функцию случайной величины Y=g(X) и ее распределение fY (y) .

№

f X (x)

Y=g(X)

№

f X (x)

Y=g(X)

N(0;1)

2X+1

0,5exp(–|x|) 2X+1

lnX

2X+1

(1 x2 )

N(10;4)

еxp(2X)

exp(–x)

2X+1

exp(–x)

N(–2,2)

2X+1

arctg X

2exp(–2x)

2X+1

(1 x2 )

N(–1,1)

arctgX

N(0,1)

3X+2

exp(2X)

N(0,1)

exp(3x)

(1 x2 )

exp(–x)

N(0,1)

exp(3x)

N(0,1)

arctgX

(1 x2 )

N(–2,2)

arctg X

3X+2

(1 x2 )

Порядок выполнения задания

1.Определите заданную функцию переменной x.

2.Определите функцию, обратную к заданной, как функцию переменной x.

3.Найдите производную обратной функции и определите ее как функцию переменной x.

4.Определите (явно или используя встроенную функцию MathCAD) плотность распределения аргумента.

5.Определите искомую плотность распределения функции случайной переменной.

6.Постройте график найденной плотности распределения.

Пример выполнения задания

Найдите плотность вероятностей случайной величины η =eξ, если ξ~N(0,1).

Два различных варианта выполнения задания приведены ниже. Распределение, полученное в результате, называется логнормалъным.

Первый способ

f(x) exp(x) finv(x) ln(x)

Первый способ

f(x) exp(x)

finv(x) ln(x)

exp(x) y

ln(y)

finv(x) ln(x)

d ln(x)

dfinv(x)

a 0

px(x) dnorm x a

py(x) dnorm ln(x) a dfinv(x)

py(x)

dnorm(ln(x) 0 1)

0.6

py(x)

0.4

0.2

Указание. В приведенном фрагменте обратная функция определена в результате символьного решения уравнения eх — у = 0 относительно переменой x. Для того чтобы найти решение этого уравнения, введите его левую часть, выделите x и щелкните по строке Solve в пункте Variable меню Symbolics. Затем введите имя обратной функции как функции переменной x (в приведенном фрагменте — finv(x)) и присвойте ей вычисленное выражение, скопировав его через буфер обмена. Производную обратной функции вычислите символьно. В этом варианте решения задачи плотность стандартного нормального распределения определена с помощью встроенной функции MathCAD dnorm(x,0,l).

Второй способ
f(x) exp(x)						finv(x) ln(x)
exp(y) y						ln(y)			finv(x) ln(x)
									1
d ln(x)		1				dfinv(x)
		1				dfinv(x)				x

		x
dx		x
a 0						1
px(x)					1				1			x a 2
							exp
							exp
			2						2
						1		x a 2										1	ln(x) a	2
1						1		x a 2						1	2			1	ln(x) a	2
				exp													exp
				exp													exp
	2					2								2				2
			1			2					1		ln(x) a 2		1
	py(x)							exp
	py(x)							exp
			2								2					x

0.5

py(x)


5	0	5	10

0.5

Указание. В приведенном фрагменте рабочего документа MathCAD выражение для плотности распределения стандартного нормального закона записано в явном виде. При построении искомой плотности распределения все действия выполняйте так же, как в предыдущем варианте; для того чтобы выполнить подстановку Pξ (f-1(х)), скопируйте в буфер обмена выражение для обратной функции, выделите х в выражении рξ(х) и щелкните по строке Substitute в пункте Variable меню Symbolics.

Плотность вероятности суммы двух случайных величин

В теории вероятностей очень часто возникает необходимость в определении плотности вероятности суммы двух независимых случайных величин. Если ξ1 и ξ2 — непрерывные независимые случайные величины с плотностями вероятности соответственно р1(х) и p2(х), то плотность вероятностей суммы η=ξ1+ξ2 вычисляется по формуле*


p (x) p1(t) p2 (x t)dt	p1 (x t) p2 (t)dt .

*Интеграл такого вида называется сверткой функций р1(х) и р2(х).

Задание .8

Найдите плотность распределения вероятности суммы двух независимых непрерывных

случайных величин, заданных своими плотностями вероятностей р1(х) и p2(х). Здесь N(a, ) –

нормальное, R[a,b] равномерное распределение на			интервале [a,b],	Arcsin [a] –
распределение арксинуса с плотностью	1	, x ( a, a) , Arctg[a]		-распределение


	a2 x2
	a2 x2

		1		, Ехр( )- экпоненциальное с параметром
арктангенса с плотностью
арктангенса с плотностью			a (a2 x2 )

№	р1(х)		p2(х)		№	р1(х)	p2(х)

1	N(0,1)	N(0,2)			2	R[0,2]	R[0,2]

3	Ехр[2]	Exp[3]			4	Arctg[1]	Arctg[1]

5	0,25exp(–x2/8)	0,25exp(–x2/8)			6	N(–1,1)	N(1,1)

7	R[0,1]	R[0,1]			8	Arcsin [2]	Arcsin [2]

9	N(–1,1)	N(–-1,2)			10	R[0,4]	R[0,4]

11	Ехр[0,5]	Exp[2]			12	N(–1,10)	N(–1,1)

13	Arcsin [3]	Arcsin [3]			14	Arctg[5]	Arctg[5]

15	N(0,10)	N(0,1)			16	R[–1,1]	R[–1,1]

17	N(0,2)	N(0,2)			18	R[0,3]	R[0,3]

19	Ехр[3]	Exp[3]			20	Arctg[2]	Arctg[2]

Порядок выполнения задания

1.Определите плотности вероятности слагаемых как функции переменной x и введите их выражения.

2.Запишите выражение для свертки, скопировав в него соответствующие выражения плотности вероятности слагаемых.

3.Вычислите свертку символьно.

4.Определите плотность вероятности суммы как функцию переменной x и скопируйте в нее вычисленное выражение для свертки.

5.Постройте на одном графике плотности вероятностей слагаемых и суммы.

Пример выполнения задания

Пусть ξ1 ~ N(0,1), ξ2 ~ N(0,1) — независимые случайные величины. Найдем плотность вероятности случайных величин η=ξ1+ξ2 и η=ξ1+ξ1=2ξ1. Построим их графики. Фрагмент рабочего документа MathCAD, содержащий вариант решения задачи, представлен ниже. Из приведенных в нем вычислений видно, что распределения случайных величин ξ1+ξ2 и ξ1+ξ1=2ξ1 различны. В первом случае получено нормальное распределение с параметрами a = 0, σ = 2, а во втором — нормальное распределение с параметрами a = 0, σ = 2.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.05.20152.17 Mб338Maple на учебную практику.doc
#
08.11.2019178.7 Кб3Masterarbeit.docx
#
10.05.2015212.79 Кб5matan-vvedenie-v-fiziku.pdf
#
10.05.2015449.13 Кб16matem_exp_tr1_4sem.pdf
#
26.09.2019156.16 Кб1Materialy_k_IGA (1).doc
#
10.05.20151.93 Mб35MathCadTV 5semestr.pdf
#
10.05.2015248.32 Кб45matmodeli_Borisova_laba_1.doc
#
10.05.2015193.95 Кб10matsostavlyayuschaya_10.pdf
#
10.05.2015116.22 Кб12Med_genetika.doc
#
10.05.20151.79 Mб8Metodicheskie.Pdf
#
10.05.20153.17 Mб41Metodicheskie_k_kursovoy.doc