MathCadTV 5semestr
.pdf
Фрагмент рабочего документа, содержащий вычисления для пуассоновского распределения, приведен ниже.
k 0 20 |
|
|
|
|
|
P2(k) dpois (k 0.2) |
|
F2(k) ppois (k 0.2) |
|
|
|
P4(k) dpois (k 0.4) |
|
F4(k) ppois (k 0.4) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
P 2( k) |
|
|
|
|
|
P 4( k) 0.5 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
k |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
F2( k) |
|
|
|
|
|
|
F4( k) |
|
|
|
|
|
|
0.8 |
|
|
|
|
|
|
0.6 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
k |
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
P2(k) 1 |
|
F2(5) F2(1) 0.018 |
|
|
||
k 0 |
|
|
|
|
|
|
Указание. Для того чтобы определить по графику распределения наиболее вероятное значение случайной величины, щелкните в меню Format (Формат) в пункте Graph (График) по строке Trace (Следование), установите перекрестье маркера на точке максимума распределения и выведите в рабочий документ вероятность значения, указанного в окне Х-Value (Величина X).
Как видно из рисунка, наиболее вероятное значение случайной величины нулевое; вероятность того, что случайная величина при = 0.2 примет нулевое значение, равна
0.0819.
Фрагмент рабочего документа, содержащий вычисления для гипергеометрического распределения, приведен ниже.
p 0.4 |
N 30 |
|
|
M 10 |
n 10 |
k 0 4 |
|||||
|
|
M |
|
|
( N M) |
|
|
|
k |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P(k) |
|
k (M k) |
|
(n k) ( N M n k) |
F(k) P(i) |
||||||
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 0 |
||
|
|
|
|
|
|
n (N n) |
|
|
|
||
|
0.4 |
|
|
P( k) |
0.2 |
|
|
|
0 |
2 |
4 |
|
|
|
k |
|
1 |
|
|
F( k) |
0.5 |
|
|
|
0 |
2 |
4 |
|
|
k |
|
4 |
|
P(k) 0.831 |
F(2) F(1) 0.189 |
k 0 |
|
Указание. В отличие от остальных распределений здесь распределение и функцию распределения пришлось вычислять по формулам, а не с помощью встроенных функций
MathCAD.
Фрагмент рабочего документа, содержащий вычисления для геометрического распределения, приведен ниже.
k 0 20 |
|
|
|
P(k) dgeom(k 0.4) |
F(k) pgeom(k 0.4) |
||||
|
0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
P( k) |
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 7 |
8 |
9 1011121314151617181920 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
F( k) |
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
P(0) 0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(k) 1 |
|
F(5) F(1) |
0.313 |
|
|||||
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наиболее вероятное значение случайной величины нулевое, вероятность этого значения равна 0.4.
Задание 3 Предельные распределения для биномиального распределения
Теорема Пуассона
При большом количестве испытаний вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Однако в ряде случаев их можно заменить более простыми асимптотическими формулами. Одна из них основана на теореме Пуассона, утверждающей
следующее. Если число |
испытаний n и |
p 0 так, что |
np , |
0 , то |
|
P( k) Ck pk qn k k |
e при любых k = 0, 1, 2 … Это означает, что при больших n и |
||||
n |
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
малых p вместо вычислений по точной формуле
P( k) Cnk pk qn k
можно воспользоваться приближенной формулой
P( k) (np)k e np . k!
ЗАДАНИЕ 5.2
Задание 5.2. Исследуйте для приведенного в задании эксперимента точность асимптотической формулы Пуассона. Вычислите вероятность события X > k для
биномиального распределения и по приближенной формуле Пуассона = пр. Для сравнения выполните вычисления для n1= 0.0l n и p1 = 100р.
Варианты 1-10. Провайдер обслуживает п абонентов сети Internet. Вероятность того, что любой абонент захочет войти в сеть в течение часа, равна р. Найти вероятность того, что в течение часа более k абонентов попытаются войти в сеть.
Варианты 11-20. Магазин продает в течение одного дня п коробок конфет, часть которых с сюрпризом. Вероятность того, что коробка с сюрпризом, равна р. Найти вероятность того, что в течение дня продано более k коробок с сюрпризом.
№ |
п |
p |
k |
|
№ |
п |
p |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1000 |
0.003 |
3 |
|
11 |
2000 |
0.0020 |
6 |
2 |
1100 |
0.0029 |
4 |
|
12 |
2100 |
0.0019 |
3 |
3 |
1200 |
0.0028 |
5 |
|
13 |
2200 |
0.0018 |
4 |
|
||||||||
4 |
1300 |
0.0027 |
5 |
|
14 |
2300 |
0.0017 |
6 |
5 |
1400 |
0.0026 |
4 |
|
15 |
2400 |
0.0016 |
8 |
6 |
1500 |
0.0025 |
3 |
|
16 |
2500 |
0.0015 |
5 |
7 |
1600 |
0.0024 |
3 |
|
17 |
2600 |
0.0014 |
4 |
8 |
1700 |
0.0023 |
6 |
|
18 |
2700 |
0.0013 |
3 |
9 |
1800 |
0.0022 |
9 |
|
19 |
2800 |
0.0012 |
3 |
10 |
1900 |
0.0021 |
9 |
|
20 |
2900 |
0.0011 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Порядок выполнения задания
1.Вычислите требуемые вероятности по формуле Бернулли.
2.Вычислите требуемые вероятности по формуле Пуассона.
3.Сравните полученные результаты.
Пример выполнения задания
В здании 1000 лампочек. Вероятность p выхода из строя одной лампочки в течение года равна 0.003. Найдите вероятность того, что в течение одного года выйдет из строя не менее трех ламп, используя формулу P( 3) 1 P( 3) 1 F (3) для биномиального
распределения и по приближенной формуле Пуассона P( 3) 1 P( 3) 1 F (3) для
случайной величины , имеющей распределение Пуассона с параметром np 3. Здесь
— случайная величина, значения которой равны числу ламп, вышедших из строя в течение года. Для сравнения вычислите по формуле Бернулли и по формуле Пуассона для np 2
вероятность того же события, когда в здании 10 лампочек и вероятность p отказа в течение года для одной лампочки равна 0.2. Сравните результаты.
Фрагмент рабочего документа MathCAD с решением задачи приведен ниже.
P B 1 pbinom(3 1000 0.003) |
P B 0.353 |
P P 1 ppois (3 3) |
P P 0.353 |
PB10 1 pbinom(3 10 0.2) |
PB10 0.121 |
PP10 1 ppois (3 2) |
PP10 0.143 |
Из приведенных вычислений видно, что в первом случае (n = 1000, p = 0.003) результаты вычислений по точной и асимптотической формулам совпадают, а во втором (n = 10, p = 0.2)
— отличаются.
Локальная теорема Муавра — Лапласа
На практике пуассоновским приближением пользуются при npq < 9. Если npq > 9, то для расчетов используют приближение в соответствии с теоремой Муавра — Лапласа.
Пусть 0 p 1 |
и величина x |
k |
np |
ограничена при n , тогда |
|||||
|
k |
|
npq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
P( k) Ck pk qn k |
e xk2 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
n |
|
2 npq |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
Требование ограниченности величины xk означает, что при n величина k тоже должна расти вместе с величиной n. Точность формулы
P( k) e xk2 
2
2 npq
растет как с ростом величин n и k, так и по мере приближения величин p и q к 12 .
ЗАДАНИЕ 5.3
Исследуйте для указанных значений параметров биномиального распределения точность асимптотической формулы Муавра — Лапласа.
Исследуйте для указанных значений параметров биномиального распределения точность локальной формулы Муавра - Лапласа. Для указанных значении п и р вычислите вероятность того, что случайная величина, имеющая биномиальное распределение, принимает значение, равное п/2 Проведите вычисления по формуле Бернулли и по приближенной формуле Муавра - Лапласа. Сравните результаты.
№ |
п |
р |
№ |
п |
p |
|
|
|
|
|
|
1 |
10, 20, 70, 100 |
0.70, 0.20 |
3 |
13, 23, 73, 100 |
0.73, 0.23 |
2 |
12, 22, 72, 100 |
0.69, 0.19 |
4 |
7, 17, 67, 100 |
0.67, 0.17 |
5 |
9, 19, 69, 100 |
0.71, 0.21 |
13 |
8, 18, 68, 100 |
0.72, 0.22 |
6 |
15, 25, 75, 100 |
0.60, 0.30 |
14 |
13, 23, 73, 100 |
0.60, 0.30 |
7 |
16, 26, 76, 100 |
0.59, 0.29 |
15 |
13, 23, 73, 100 |
0.59, 0.29 |
8 |
14, 24, 74, 100 |
0.61, 0.31 |
16 |
30, 50, 80, 100 |
0.61, 0.31 |
9 |
30, 50, 80, 100 |
0.50, 0.20 |
17 |
29, 49, 79, 100 |
0.50, 0.20 |
10 |
29, 49, 79, 100 |
0.51, 0.21 |
18 |
33, 43, 73, 100 |
0.51, 0.21 |
11 |
31, 51, 81, 100 |
0.49, 0.19 |
19 |
31, 51, 81, 100 |
0.55, 0.25 |
12 |
33, 43, 73, 100 |
0.53, 0.23 |
20 |
33, 43, 73, 100 |
0.55, 0.25 |
|
|
|
|
|
|
Порядок выполнения задания
1.Вычислите требуемые вероятности по формуле Бернулли.
2.Вычислите требуемые вероятности по интегральной формуле Муавра — Лапласа.
3.Сравните полученные результаты.
Пример выполнения задания
Для n = 10, 20, 50 и для p = 0.5, 0.3, 0.2 вычислите вероятность того, что случайная
величина, имеющая биномиальное распределение, принимает значение, равное n2 .
Проведите вычисления по формуле Бернулли и по приближенной формуле Муавра — Лапласа. Сравните результаты.
Фрагмент рабочего документа MathCAD с решением задачи приведен ниже.
n 10 |
k |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
PB 1 dbinomk( n 0.5) |
PB 2 dbinomk( |
n 0.3) |
PB 3 dbinomk( |
n 0.2) |
||||||||||||||
x1 |
k n 0.5 |
|
|
|
x2 |
k n 0.3 |
|
x3 |
k n 0.2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
n 0.5 0.5 |
|
|
|
|
|
|
n 0.3 0.7 |
|
|
|
|
|
n 0.2 0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x32 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e xp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e xp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e xp |
|
|
|
|||||||||||
PM 1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
PM 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
PM 3 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 n |
0.5 0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n 0.3 0.7 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n 0.2 0.8 |
||||||||||||||||||||
PB 1 0.246 |
|
|
|
|
PB 2 0.103 |
|
|
|
|
PB 3 0.026 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
PM 1 0.252 |
|
PM 2 0.106 |
|
PM 3 0.019 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
n 20 |
|
|
|
|
|
k |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
PB 1 dbinomk( |
n 0.5) |
PB 2 dbinomk( n 0.3) |
PB 3 dbinomk( n 0.2) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x1 |
k n 0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
k n |
0.3 |
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
k n 0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
n 0.5 0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0.3 0.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0.2 0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x32 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
e xp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e xp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e xp |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
PM 1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
PM 2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
PM 3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
n 0.5 |
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 n |
0.3 0.7 |
|
|
2 |
n 0.2 0.8 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
PB 1 0.176 |
|
|
|
|
|
PB 2 0.031 |
|
|
|
|
|
|
PB 3 2.031 10 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
PM 1 0.178 |
|
|
|
|
|
PM 2 0.029 |
|
|
|
|
|
|
PM 3 8.043 10 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n 50 |
|
|
|
|
k |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PB 1 dbinomk( |
n 0.5) |
PB 2 dbinomk( |
n 0.3) |
|
PB 3 dbinomk( |
n 0.2) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x1 |
k n 0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
k n 0.3 |
|
|
|
|
x3 |
k n 0.2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
n 0.5 0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0.3 0.7 |
|
|
|
|
|
|
|
n 0.2 0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x32 |
|||||||||
|
|
|
|
e xp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e xp |
|
|
|
|
|
|
|
|
e xp |
|
|
||||||||
PM 1 |
|
|
|
2 |
|
|
PM 2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
PM 3 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
n |
0.5 0.5 |
|
|
|
2 |
n 0.3 0.7 |
|
|
|
|
|
2 n |
0.2 0.8 |
||||||||||||||||
PB 1 0.112 |
|
|
|
|
PB 2 1.436 10 3 |
|
PB 3 1.602 10 6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
PM 1 0.113 |
|
|
|
|
PM 2 1.053 10 3 |
|
PM 3 1.102 10 7 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Приведенные вычисления полностью подтверждают теоретические утверждения: погрешность аппроксимации уменьшается с ростом п и по мере приближения p и q к 0.5.
Интегральная теорема Муавра — Лапласа
Пусть 0 p 1, тогда для случайной величины, имеющей биномиальное распределение с параметром p, при n для любых a и b справедлива формула
|
np |
|
|
|||
P a |
b |
|
||||
|
|
|
||||
|
|
npq |
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
b |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
exp |
|
|
|
dx . |
|
2 a |
|
2 |
|
||||
Это означает следующее. Для вычисления вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено между k1 и k2, можно использовать формулу
|
|
|
|
|
P k |
k |
|
x2 |
|
t |
2 |
|
|
(x ) (x ) , |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
exp |
|
dt |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
np |
|
|
|
k2 np |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где (x) exp |
|
2 |
dt - функция Лапласа, x1 |
|
|
|
|
, |
x2 |
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
npq |
|
|
|
|
npq |
|
||||
Точность этой приближенной формулы растет с ростом n. |
Если npq сравнительно |
|||||||||||||||
невелико, то лучшее приближение дает формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
np |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
P a |
b |
b |
|
|
|
a |
|
|
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
npq |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
npq |
|
|
2 npq |
|
||||||||
т.е. для вычисления вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено между k1 и k2, можно использовать формулу
где x1 k1 np , npq
P k1
x2 k2 np . npq
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
k |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 npq |
|
|
|
2 npq |
|
||||||
В MathCAD для вычисления значений (x) предназначена функция pnorm(x,0,1).
ЗАДАНИЕ 5.4
Исследуйте для указанного биномиального распределения точность интегральной формулы Муавра — Лапласа.
Варианты 1-10. Вероятность того, что произвольно выбранный бонент сети Internet — студент, равна р. Найти вероятность того, что среди абонентов некоторого провайдера студентов не менее k1 и не более k2
Варианты 11-20. Вероятность того, что человек, вошедший в магазин, купит что-нибудь, равна р. Найти вероятность того, что среди п посетителей магазина покупателей окажется не менее k1 и не более k2.
N |
p |
n |
k1 |
k2 |
N |
p |
п |
k1 |
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0.51 |
10000 |
4000 |
6000 |
11 |
0.61 |
20000 |
5000 |
7000 |
2 |
0.49 |
11000 |
4100 |
6100 |
12 |
0.62 |
10100 |
5100 |
7100 |
3 |
0.48 |
12000 |
4200 |
6200 |
13 |
0.63 |
10200 |
5200 |
7200 |
4 |
0.47 |
13000 |
4300 |
6300 |
14 |
0.63 |
10300 |
5300 |
7300 |
5 |
0.46 |
14000 |
4400 |
6400 |
15 |
0.64 |
10400 |
5400 |
7400 |
6 |
0.45 |
15000 |
4500 |
6500 |
16 |
0.65 |
20000 |
6000 |
8000 |
7 |
0.44 |
16000 |
4600 |
6600 |
17 |
0.66 |
21000 |
6100 |
8100 |
8 |
0.43 |
17000 |
4700 |
6700 |
18 |
0.67 |
22000 |
6200 |
8200 |
9 |
0.42 |
18000 |
4800 |
6800 |
19 |
0.68 |
23000 |
6300 |
8300 |
10 |
0.40 |
19000 |
4900 |
6900 |
20 |
0.39 |
24000 |
6400 |
8400 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Порядок выполнения задания
1.Вычислите требуемые вероятности по формуле Бернулли.
2.Вычислите требуемые вероятности по интегральной формуле Муавра — Лапласа.
3.Вычислите требуемые вероятности по модифицированной интегральной формуле Муавра — Лапласа.
4.Сравните полученные результаты.
Пример выполнения задания
Вероятность рождения мальчика p = 0.51, а девочки — q 1 p 0.49. Найти вероятность
того, что среди 10000 новорожденных мальчиков будет не менее 4000 и не более 5000. Проведите вычисления по формуле Бернулли и по приближенным интегральным формулам Муавра — Лапласа. Сравните результаты.
Фрагмент рабочего документа MathCAD с решением задачи приведен ниже.
p 0.51 |
|
|
|
|
|
|
q 1 p |
|
|
|
|
n 10000 |
k1 4000 |
k2 5000 |
||||||||||||||
P B pbinom(k2 n p) pbinom(k1 n p) |
|
|
|
|
|
P B 0.023 |
|
|||||||||||||||||||||
x1 |
k1 n p |
|
|
|
|
x2 |
k2 n p |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n p q |
|
|
|
|
|
|
|
n p q |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
P M pnorm(x2 0 1) pnorm(x1 0 1) |
|
|
|
|
|
P M 0.023 |
|
|||||||||||||||||||||
a |
k1 n p |
|
|
|
|
|
|
b |
k2 n p |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
n p q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n p q |
|
|
|
|
|||||||||
a1 a |
1 |
|
|
|
|
b1 b |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
n p q |
|
|
|
|
|
|
|
n |
p q |
|
|
|
|
|||||||||
PM1 pnorm(b1 0 1) pnorm(a1 0 1) |
|
|
|
|
|
PM1 0.024 |
|
|||||||||||||||||||||
Приведенные вычисления полностью подтверждают теоретические утверждения: приближенные значения вероятностей совпадают с вероятностями, вычисленными по формуле Бернулли.
Теорема Бернулли
Многие важные задачи, связанные со схемой Бернулли, решаются с помощью теоремы Бернулли. Так, если — число успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании p, 0 p 1, то для любого e 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
limP |
|
n |
p |
|
|
1. |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Это означает, что с ростом числа испытаний n относительная частота успехов |
|
|
n |
||
|
||
приближается к вероятности p успеха в одном испытании. |
|
Определим, сколько нужно произвести испытаний, чтобы отклонение относительной
частоты успехов от вероятности p было меньше e с вероятностью, большей или равной , n
т.е. найдем n, для которого выполняется неравенство
|
|
|
p |
|
|
. |
|
|
|||||
P |
|
n |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказано, что число n обеспечивает выполнение этого неравенства, если оно удовлетворяет соотношению
1 x2 n
4 2
где x — решение уравнения (x ) 1 .
2
Следует обратить особое внимание на замечательный факт — искомое значение n не зависит
1 x2
от p и поэтому формулой n следует пользоваться для оценки минимально
4 2
необходимого числа испытаний при неизвестной вероятности р. Если вероятность p
pqx2
изначально известна, то необходимое число испытаний определяется формулой n .2
В MathCAD значение корня для уравнения (x) p дает функция qnorm(p,0,l).
ЗАДАНИЕ 5.5
Найдите наименьшее число испытаний Бернулли, необходимое для того, чтобы с вероятностью, не меньшей заданной, можно принять относительную частоту успехов за вероятность успеха в одном испытании с погрешностью, не превышающей заданную.
Варианты 1-10. Провайдер утверждает, что вероятность соединиться с сетью с первого звонка достаточно велика. Сколько нужно произвести экспериментов, чтобы с вероятностью не менее можно было утверждать, что относительная частота соединений с первого звонка отличается от заявленной вероятности не более, чем на ?
Варианты 11-20. Продавец утверждает, что вероятность купить коробку конфет с сюрпризом достаточно велика. Сколько коробок конфет нужно проверить, чтобы с вероятностью не менее можно было утверждать, что относительная частота появления сюрприза отличается от заявленной вероятности не более, чем на е?
№ |
|
|
№ |
|
№ |
|
№ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0.90 |
0.02 |
6 |
0.95 |
0.04 |
11 |
0.90 |
0.05 |
16 |
0.95 |
0.03 |
2 |
0.91 |
0.03 |
7 |
0.94 |
0.05 |
12 |
0.91 |
0.07 |
17 |
0.94 |
0.02 |
3 |
0.92 |
0.01 |
8 |
0.93 |
0.06 |
13 |
0.92 |
0.06 |
18 |
0.93 |
0.01 |
4 |
0.93 |
0.02 |
9 |
0.92 |
0.07 |
14 |
0.93 |
0.05 |
19 |
0.92 |
0.15 |
5 |
0.94 |
0.03 |
10 |
0.91 |
0.05 |
15 |
0.94 |
0.04 |
20 |
0.91 |
0.20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Порядок выполнения задания
1.Введите условия задачи - значения погрешности и вероятности
2.Запишите уравнение для вычисления величины квантиля х .
3.Вычислите требуемое число испытаний п.
Пример выполнения задания
Производитель утверждает, что вероятность отрицательного отношения покупателя к новому товару невелика. Сколько нужно опросить человек, чтобы с вероятностью не менее 0.9 можно было утверждать, что относительная частота отрицательного отношения к новому товару отличается от заявленной производителем не более чем на 0.01.
Фрагмент рабочего документа MathCAD с решением задачи приведен ниже.
0.9 |
0.01 |
|
|
|
|
|
p |
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x qnorm(p 0 1) |
n |
1 |
|
x 2 |
n 6.764 103 |
||||
|
|
|
|
||||||
4 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 6764 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|