MathCadTV 5semestr
.pdf
Для тех распределений, для которых в MathCAD представлены встроенные функции плотности распределения и функции распределения, определены и встроенные функции вычисления квантилей.
Например, если плотности распределения и функции распределения в точке х для логистического распределения с параметрами и вычисляются встроенными функциями соответственно dlogis(x,α,β) и plogis(x,α,β), то p-квантиль для логистического распределения является значением функции qlogis(p,α,β)
Ниже приведены вычисленные в MathCAD медиана, верхняя и нижняя квартили и 0.95квантиль для стандартного нормального распределения N (0,1).
qnorm(0.5 0 1) 0 |
|
|
|
|
|
медиана |
|
|
|
||||||
qnorm(0.25 0 1) |
0.674 |
|
|||||
|
нижняя квартиль |
||||||
|
|||||||
qnorm(0.75 0 1) |
0.674 |
|
|
|
|||
|
|
|
верхняя квартиль |
||||
|
|
||||||
qnorm(0.95 0 1) |
1.645 |
|
|
|
|||
|
|
|
0.95-квартиль |
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ 5.11
Найдите медиану, верхнюю и нижнюю квартили, а также 95%-ную квантиль для нормального распределения N(a, ), а и = для значений и из задания 5.9.
Порядок выполнения задания
1.Постройте графики плотности распределения для логистического распределения с указанными значениями параметров.
2.Постройте графики функции распределения для логистического распределения с указанными значениями параметров.
Пример выполнения задания
Вычисление медианы, верхней и нижней квартили и 0.95-квантили для стандартного нормального распределения N(0, 1) приведено выше.
Задание.5 Совместные распределения нескольких случайных величин
В одном и том же случайном эксперименте можно рассматривать не одну, а несколько — n
— функций, аргументом которых являются случайные события. Совокупность таких функций называется многомерной случайной величиной или случайным вектором и
обозначается ξ=(ξ1, ξ2,…, ξn ).
Многомерные случайные величины. Функции распределения многомерных случайных величин
Функцией распределения случайного вектора ξ=(ξ1, ξ2,…, ξn ) или совместным
распределением |
случайных |
величин |
ξ1, |
ξ2,…, |
ξn |
называется |
вероятность |
F (x) F 1, 2 ,..., n (x1, x2 ,...,xn ) P( 1 x1, 2 x2 3 |
x3 ) . |
где x=(x1, x2,…, xn ) |
|
||||
Распределение каждой из компонент ξ1, ξ2,…, ξn можно найти по многомерной функции |
|||||||
Fξ(x) . Например, если ξ=(ξ1, ξ2 ) |
— двумерная |
|
|
|
|
||
случайная величина, имеющая совместное распределение Fξ1,ξ2(x1,x2) то |
|
||||||
lim F 1, 2 (x1, x2 ) F 1 (x1 ) lim |
F 1, 2 (x1, x2 ) F 2 |
(x2 ) |
|
|
|
||
x2 |
x1 |
|
|
|
|
|
|
В дальнейшем будем рассматривать только двумерные случайные величины.
Случайный вектор ξ = (ξ1,ξ2) называется непрерывным случайным вектором, если существует такая неотрицательная функция Pξ1,ξ2(x1, x2) что для любого прямоугольника Ω на плоскости (x1, x2) вероятность события ξ Ω равна
P( ) p 1 2 (x1, x2 )dx1dx2 .Функция p 1 2 (x1, x2 ) в этом случае называется
совместной плотностью распределения. Легко показать, что
p 1 2 (x1, x2 )dx1dx2 1 Если p 1 2 (x1, x2 ) — совместная плотность распределения случайного
R2
вектора ξ=(ξ1,ξ2) то плотности распределения компонент двумерного случайного вектора равны соответственно:
|
|
p 1 (x1 ) p 1 2 (x1, x2 )dx2 |
p 21 (x1 ) p 1 2 (x1, x2 )dx1 |
|
|
Если (ξ, η) — дискретный случайный вектор, то совместным распределением случайных величин ξ и η чаще всего называют таблицу вида
где pij=P(ξ=xi, η=yj), I=1,2,…,m, и pi, j 1.
i, j
По этой таблице можно найти распределение каждой из случайных величин ξ и η
|
y1 |
y2 |
… ym |
ξ |
|
|
|
x1 |
p11 |
p12 |
… p1m |
x2 |
p21 |
p22 |
… p2m |
…… … … …
xn pn1 pn2m … pnm
m |
n |
по формулам: p ,i P( xi ) pij |
p , j P( xi ) pij |
j 1 |
i 1 |
Пусть, например, две случайные величины ξ и η имеют совместное распределение
η 0 8
ξ
10.1 0.1
20.1 0.2
30.2 0.3
Тогда распределение величины ξ имеет вид
ξ |
1 |
2 |
3 |
а распределение величины - |
|
|
|
η |
0 |
8 |
|||||
p |
0.2 |
0.3 |
0.5 |
|
|
|
|
|
p |
0.4 |
0.6 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ниже приведен фрагмент рабочего документа MathCAD, содержащий решение этого примера, выполненное средствами пакета.
X ( 1 2 3 ) |
Y ( 0 8 ) |
|
|
|
|||
0.1 |
0.1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
PXY 0.1 |
0.2 |
SRow |
SCol |
1 |
|||
|
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
0.2 |
0.3 |
|
|
|
|
1 |
|
P X PXYSRow |
|
|
T |
PXY |
||
|
P Y SCol |
|||||
|
0.2 |
|
|
|
|
|
P X |
0.3 |
|
P Y ( 0.4 0.6 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
T |
pX |
1 |
2 |
3 |
pX stack X P X |
0.2 |
0.3 |
0.5 |
|||
|
|
|
|
|||
pY stack(Y P Y) |
|
0 |
8 |
|
||
|
|
|
pY |
|||
|
|
|
0.4 |
0.6 |
||
|
|
|
|
|||
ЗАДАНИЕ 5.12
Задание 5.12. По заданному совместному распределению двух дискретных случайных величин найдите распределение каждой из них.
|
|
0 |
1 |
|
|
|
0 |
2 |
|
|
0 |
2 |
|
|
0 |
4 |
||
1 |
1 |
0.15 |
0.1 |
|
2 |
0 |
0.11 |
0.17 |
3 |
0 |
0.11 |
0.17 |
4 |
10 |
0.13 |
0.11 |
||
2 |
0.1 |
0.25 |
|
2 |
0.21 |
0.1 |
2 |
0.21 |
0.1 |
12 |
0.23 |
0.1 |
||||||
|
3 |
0.2 |
0.2 |
|
|
4 |
0.31 |
0.1 |
|
4 |
0.31 |
0.1 |
|
4.6 |
0.33 |
0.1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
5 |
6 |
|
|
0 |
6 |
|
|
0 |
7 |
|
|
0 |
8 |
||
5 |
0 |
0.14 |
0.08 |
|
|
1.1 |
0.15 |
0.05 |
7 |
0 |
0.09 |
0.23 |
8 |
1 |
0.08 |
0.26 |
||
2.1 |
0.24 |
0.1 |
|
|
3.2 |
0.25 |
0.1 |
-2 |
0.19 |
0.1 |
5 |
0.18 |
0.1 |
|||||
|
2.6 |
0.34 |
0.1 |
|
|
-4.4 |
0.35 |
0.1 |
|
1.54 |
0.29 |
0.1 |
|
9 |
0.28 |
0.1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
0 |
9 |
10 |
|
|
0 |
10 |
11 |
|
1 |
1.1 |
12 |
|
1 |
1.2 |
||
|
0 |
0.07 |
0.1 |
|
|
1 |
0.06 |
0.1 |
|
1 |
0.1 |
0.15 |
|
0 |
0.17 |
0.11 |
||
|
2 |
0.17 |
0.29 |
|
|
3 |
0.16 |
0.32 |
|
2 |
0.25 |
0.1 |
|
2 |
0.1 |
0.21 |
||
|
4 |
0.27 |
0.1 |
|
|
4 |
0.26 |
0.1 |
|
3 |
0.2 |
0.2 |
|
4 |
0.1 |
0.31 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
1 |
1.3 |
14 |
|
|
4 |
|
1.4 |
15 |
|
5 |
1.5 |
16 |
|
7 |
1.7 |
|
|
1 |
0.14 |
0.12 |
|
|
10 |
0.11 |
0.13 |
|
0 |
0.08 |
0.14 |
|
0 |
0.23 |
0.09 |
||
|
3 |
0.1 |
0.22 |
|
|
12 |
0.1 |
0.23 |
|
2.1 |
0.1 |
0.24 |
|
-3.2 |
0.1 |
0.19 |
||
|
5 |
0.1 |
0.32 |
|
|
4.6 |
0.1 |
0.33 |
|
2.6 |
0.1 |
0.34 |
|
1.54 |
0.1 |
0.29 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
9 |
|
1.9 |
18 |
|
|
6 |
|
1.6 |
19 |
|
8 |
1.8 |
20 |
|
10 |
2.0 |
|
0 |
0.1 |
0.07 |
|
|
1.1 |
0.05 |
0.15 |
|
1 |
0.26 |
0.08 |
|
1 |
0.1 |
0.06 |
||
|
2 |
0.29 |
0.17 |
|
|
3.2 |
0.1 |
0.25 |
|
5 |
0.1 |
0.18 |
|
3 |
0.32 |
0.16 |
||
|
4 |
0.1 |
0.27 |
|
|
-4.4 |
0.1 |
0.35 |
|
9 |
0.1 |
0.28 |
|
4 |
0.1 |
0.26 |
||
Порядок выполнения задания
1.Определите векторы-строки значений каждой случайной величины.
2.Определите матрицу совместного распределения двумерной случайной величины.
3.Определите вспомогательные матрицы для суммирования по строкам и по столбцам.
4.Найдите умножением на соответствующую вспомогательную матрицу распределение каждой случайной величины.
5.Сформируйте для каждой случайной величины матрицу-таблицу, содержащую значения случайной величины и их вероятности.
Пример выполнения задания
Пример выполнения задания для разобранной задачи приведен выше.
Независимость случайных величин
Решить обратную задачу, т.е. восстановить совместное распределение (ξ, η) по распределениям величин ξ и η, вообще говоря, невозможно. Однако эту задачу можно решить, когда случайные величины ξ и η независимы.
Случайные величины называются независимыми, если для любых x1, x2 R F , (x1, x2 ) F (x1)F (x2 )
Для непрерывных случайных величин это определение эквивалентно такому: случайные величины называются независимыми, если
p , (x1, x2 ) p (x1 ) p (x2 )
во всех точках непрерывности входящих в это равенство функций.
Для дискретных случайных величин ξ и η с матрицей совместного распределения {pij} условие независимости ξ и η имеет вид pij = P(ξ = xi,η = yj) = Р(ξ = xi )P(η = yj) = pξ,i p η,j
для всех i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m.
В частности, в приведенном выше примере p11 =0.1 pξ,1 p η,1 = 0.2 • 0.4 = 0.08. Значит, рассмотренные там случайные величины не являются независимыми, т.е. они зависимы.
Вто же время в совместном распределении ξ и η вида
η0 8
ξ
10.08 0.12
20.12 0.18
30.20 0.30
величины ξ и η независимы.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа MathCAD, содержащий построение распределений ξ и η и проверку их независимости.
ORIGIN 1 |
|
|
0.08 0.12 |
|
||
|
|
|
||||
X ( 1 2 3 ) |
Y ( 0 8 ) |
PXY 0.12 0.18 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.20 0.30 |
|
||
|
2 |
|
|
|
0.2 |
|
i 1 3 |
PXi PXYi j |
|
PX |
|
0.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
0.5 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
j 1 2 |
PYj PXYi j |
PY |
0.4 |
|||
|
i 1 |
|
|
|
0.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
pX stack X PX |
|
|
T |
pX stack X PX |
|
|
T |
pY stack Y PY
Проверка независимости i 1 3 j 1 2 PNi j
pX |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
0.2 |
0.3 |
0.5 |
||||
|
||||||
pX |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
0.2 |
0.3 |
0.5 |
||||
|
||||||
pY |
|
0 |
8 |
|
|
|
0.4 |
0.6 |
|
|
|||
|
|
|||||
0 0
pX2 ipY2 j PN PXY 0 0
0 0
ЗАДАНИЕ 5.13
Задание 5.13. По заданному совместному распределению двух дискретных случайных величин найдите распределение каждой из них и проверьте их независимость. Выполните вычисления для распределений из задания 5.12 и для приведенных ниже распределений.
1 |
|
-1.3 |
2 |
3.7 |
2 |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0.06 |
0.06 |
0.12 |
|
1 |
0.03 |
0.12 |
0.15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0.14 |
0.14 |
0.28 |
|
2 |
0.07 |
0.28 |
0.35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
-9 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
2.6 |
3 |
5 |
|
-1 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0.03 |
0.21 |
0.09 |
|
-6 |
0.03 |
0.15 |
0.12 |
|
0 |
0.03 |
0.09 |
0.18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.9 |
0.07 |
0.49 |
0.21 |
|
2 |
0.07 |
0.35 |
0.28 |
|
2.5 |
0.07 |
0.21 |
0.42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
1.1 |
2.1 |
3.1 |
7 |
|
11 |
12 |
13 |
8 |
|
11 |
12 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
0.06 |
0.09 |
0.15 |
|
-13 |
0.06 |
0.09 |
0.15 |
|
1 |
0.06 |
0.03 |
0.21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0.14 |
0.21 |
0.35 |
|
13 |
0.14 |
0.21 |
0.35 |
|
3 |
0.14 |
0.07 |
0.49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
11 |
|
-1 |
0 |
4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0.03 |
|
0.18 |
|
0.09 |
|
|
|
|
1 |
|
0.03 |
0.12 |
0.15 |
|
-2 |
0.03 |
0.06 |
0.21 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0.07 |
|
0.42 |
|
0.21 |
|
|
|
|
2 |
|
0.07 |
0.28 |
0.35 |
|
4 |
0.07 |
0.14 |
0.49 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
1.4 |
|
|
|
2.4 |
|
|
|
3.4 |
|
|
14 |
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
15 |
|
1 |
2 |
10 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
-1.4 |
|
|
0.06 |
|
|
0.12 |
|
|
0.12 |
|
|
|
12 |
|
0.06 |
0.06 |
0.18 |
|
-10 |
0.03 |
0.24 |
0.06 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1.4 |
|
|
0.14 |
|
|
0.28 |
|
|
0.28 |
|
|
|
22 |
|
0.14 |
0.14 |
0.42 |
|
2 |
0.07 |
0.56 |
0.14 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
17 |
|
|
|
-1 |
|
|
2.7 |
|
|
3 |
|
|
|
18 |
|
|
|
|
-1.6 |
2 |
3 |
19 |
|
15 |
25 |
35 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
17 |
|
0.06 |
|
0.21 |
|
|
0.03 |
|
|
|
|
-16 |
0.06 |
0.18 |
0.06 |
|
1.5 |
0.06 |
0.15 |
0.09 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
27 |
|
0.14 |
|
0.49 |
|
|
0.07 |
|
|
|
|
26 |
|
0.14 |
0.42 |
0.14 |
|
2.5 |
0.14 |
0.35 |
0.21 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
20 |
|
|
|
|
|
2.8 |
|
|
2.818 |
|
3 |
|
|
|
21 |
|
|
|
19 |
29 |
39 |
22 |
|
2.0 |
2.2 |
3.2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
-2.71 |
|
0.09 |
|
0.03 |
|
0.18 |
|
0 |
|
0.09 |
0.06 |
0.15 |
|
0 |
0.09 |
0.09 |
0.12 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3.14 |
|
|
0.21 |
|
0.07 |
|
0.42 |
|
2 |
|
0.21 |
0.14 |
0.35 |
|
2.0 |
0.21 |
0.21 |
0.28 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Порядок выполнения задания
1.Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1.
2.Определите векторы-строки значений каждой случайной величины.
3.Определите матрицу совместного распределения двумерной случайной величины.
4.Вычислите вероятности для каждой случайной величины суммированием элементов матрицы совместного распределения соответственно по строкам и по столбцам.
5.Сформируйте для каждой случайной величины матрицу-таблицу, содержащую значения случайной величины и их вероятности.
6.Проверьте независимость случайных величин, входящих в совместное распределение.
Пример выполнения задания
Пример выполнения задания для разобранной задачи приведен выше.
Задание.6 Условные распределения случайных величин
Если две случайные величины ξ и η зависимы, то информация о том, какое значение приняла одна из них, меняет наше представление о распределении другой. В связи с этим можно ввести понятие условного распределения.
Условные распределения дискретных случайных величин
Пусть дана двумерная случайная величина (ξ, η) с распределением
|
η y1 |
y2 |
ym |
ξ |
|
|
|
x1 |
p11 |
p12 |
… p1m |
x2 |
p21 |
p22 |
… p21 |
…… … … …
хп |
pn1 pn2 … pnm |
Тогда распределение случайной величины ξимеет вид
ξ х1 x2 … xп
р p1. p2. … p3.
m
где точка в индексе означает суммирование по строкам: pi pij распределение
j 1
случайной величины η.
η y1 y2 … ym
p p.1 p.2 … p.m
n
Здесь точка в индексе означает суммирование по столбцам: pi pij
i 1
Условным распределением случайной величины ξ при условии, что случайная величина η приняла значение η = уj , называется следующее распределение:
ξ |
x1 |
|
x2 |
… |
xn |
|||||
р |
|
p1 j |
|
|
p2 j |
|
… |
|
pnj |
|
|
|
p j |
|
|
p j |
|
|
p j |
||
Нетрудно убедиться, что сумма вероятностей величины ξ в этом распределении равна 1.
Аналогично условным распределением случайной величины ξ при условии, что случайная величина ξ приняла значение ξ = ηi , называется распределение
η |
x1 |
|
|
x2 |
|
|
… |
xn |
|
|
|
|
||||
|
|
p |
|
|
|
p |
|
|
… |
|
p |
nj |
|
|
|
|
|
|
1 j |
|
|
2 j |
|
|
|
|
|
|
|
||||
р |
|
p j |
|
p j |
|
|
|
|
p j |
|
|
|||||
|
Рассмотрим пример, поясняющий понятие условного распределения. Пусть двумерная |
|||||||||||||||
случайная величина (ξ, η) имеет распределение |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
η |
3 |
|
|
|
5 |
|
|
10 |
|
11 |
|
||||
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0.01 |
|
0.01 |
|
0.17 |
0.011 |
|
|||||||
7 |
|
|
0.1 |
|
0.2 |
|
0.1 |
|
0.2 |
|
||||||
8 |
|
|
0.02 |
|
0.05 |
|
0.09 |
0.04 |
|
|||||||
Тогда распределение каждой из них имеет вид: |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
η |
3 |
5 |
10 |
|
ξ |
1 |
7 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
0.13 |
0.26 |
0.36 |
|
p |
0.2 |
0.6 |
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем теперь условное распределение величины η при условии, что величина ξ приняла значение, равное ξ= 8. В этом случае pi.= p3.=0.2 ,
P( 3/ 8) |
p31 |
0.02 |
0.1, |
P( 5/ 8) |
p32 |
|
0.05 0.25, |
||||||
|
p3 |
|
0.2 |
|
|
|
p3 |
0.2 |
|
||||
P( 10/ 8) |
p33 |
|
0.09 |
0.45, |
P( 11/ 8) |
p34 |
0.04 |
0.2, |
|||||
|
|
p3 |
|
0.2 |
|
|
|
|
p3 |
0.2 |
|
||
а условное распределение имеет вид
η |
3 |
5 |
10 |
11 |
|
|
|
|
|
p |
0.1 |
0.25 |
0.45 |
0.2 |
Таким образом, условное распределение случайной величины η отличатся от ее безусловного распределения. Это означает, что случайные величины ξ и η зависимы.
Ниже приведен фрагмент рабочего документа MathCAD, содержащий вычисление всех условных распределений обеих случайных величин
ORIGIN 1
Распределение двуменной случайной величины |
|
|
|||||||||
0 |
3 |
5 |
10 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0.01 |
0.01 |
0.17 |
0.01 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
0.1 |
0.2 |
0.1 |
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
0.02 |
0.05 |
0.09 |
0.04 |
|
|
|
|
|
||
Распределение |
случайной величины |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
submatrix 2 4 1 1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
j 1 3 |
|
tmpj j 1 i |
tmp |
0.6 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 2 |
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
j 1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
stack submatrix 2 4 1 1 T tmpT |
|
|
1 |
|
8 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2 |
0.6 |
0.2 |
|
Распределение случайной величины |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||
Распределение случайной величины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
submatrix 1 1 2 5 ( 3 5 10 |
11 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
i 1 4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.13 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.26 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
tmpj i j 1 |
tmp |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
0.36 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
stack submatrix 1 1 2 5 tmpT |
0.25 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
3 |
5 |
|
|
10 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0.13 0.26 |
0.36 0.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Условные распределения при =1,7,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
j 1 3 |
P i j |
j 1 i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0.05 0.167 |
|
|
0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|||||
|
|
0.05 0.333 0.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
P |
|
|
|
P augment |
|
|
|
P |
|
|
|
|
||||||||||||
|
0.85 0.167 |
|
0.45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.05 0.333 |
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
i 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0.05 0.167 |
|
0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
0.05 0.333 0.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 0.85 0.167 0.45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 0.05 0.333 0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Условные распределения при =3,5,10,11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
j 1 4 |
P i j |
|
i 1 j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0.077 0.038 0.472 |
0.04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||
P 0.769 0.769 0.278 |
|
0.8 |
|
|
|
|
|
T |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
P augment |
|
P |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.154 0.192 |
|
0.25 |
0.16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
0.077 |
0.038 0.472 0.04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
P |
7 |
0.769 |
0.769 0.278 |
0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
0.154 |
0.192 |
0.25 |
0.16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ЗАДАНИЕ 5.14
Вычислите распределение компонент заданной двумерной случайной величины и все их условные распределения. Постройте многоугольники соответствующих распределений. Выполните вычисления для распределений из задания 5.12.
Порядок выполнения задания
1.Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1.
2.Определите матрицу ξη для хранения распределения двумерной случайной величины. Эта матрица в первом столбце и в первой строке содержит значения компонент двумерной случайной величины, ее элемент ξη11 = 0, а элемент ξηij равен вероятности
того, что двумерная случайная величина принимает значение (ξi,ηj).
3.Выделите столбец, содержащий значения первой компоненты двумерной случайной величины.
4.Вычислите распределение первой компоненты.
5.Сформируйте матрицу распределения первой компоненты, которая содержит в первой строке значения компоненты, а во второй — соответствующие вероятности.
6.Выделите строку, содержащую значения второй компоненты двумерной случайной величины.
7.Вычислите распределение второй компоненты.
8.Сформируйте матрицу распределения второй компоненты, которая содержит в первой строке значения компоненты, а во второй — соответствующие вероятности.
9.Вычислите условные вероятности второй компоненты для всех возможных значений первой.
10.Сформируйте матрицу условного распределения второй компоненты следующим образом: в первом столбце матрицы записаны значения второй компоненты, а элемент i-
йстроки j-ro столбца — вероятность того, что вторая компонента принимает значение ηi при условии, что первая компонента принимает значение ξj.
11.Вычислите условные вероятности первой компоненты для всех возможных значений второй.
12.Сформируйте матрицу условного распределения первой компоненты следующим образом: в первом столбце матрицы записаны значения первой компоненты, а элемент i-
йстроки j-го столбца — вероятность того, что первая компонента принимает значение ξi при условии, что вторая компонента принимает значение ηi.
13.Сохраните рабочий документ в файле на диске. Он будет использован при выполнении заданий раздела "Числовые характеристики случайных векторов".
Пример выполнения задания
Выше приведен пример выполнения задания для двумерной случайной величины
η |
3 |
5 |
10 |
11 |
ξ |
|
|
|
|
1 |
0.01 |
0.01 |
0.17 |
0.011 |
7 |
0.1 |
0.2 |
0.1 |
0.2 |
8 |
0.02 |
0.05 |
0.09 |
0.04 |
Условные распределения непрерывных случайных величин
Для непрерывных двумерных случайных величин условные распределения строятся по следующей схеме.
Если рξ,η(х,у) — плотность вероятностей совместного распределения двумерной случайной величины (ξ,η), то плотности вероятностей каждой ее компоненты вычисляются по формулам:
|
|
|
|
|
|
||
p ( y) |
|
P |
(x, y)dx |
p ( y) |
|
P |
(x, y)dy |
|
, |
|
|
, |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Условной плотностью распределения случайной величины ξ при условии, что случайная величина η принимает значение η = у0, называется функция переменной х, определяемая