MathCadTV 5semestr

В MathCAD значения в точке x плотности распределения и функции распределения случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение с параметром , вычисляются встроенными функциями соответственно dexp(x, ) и рехр(х, ).

Нормальное распределение. Это распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей и математической статистике. Случайная величина нормально распределена с параметрами a и , 0 , если ее плотность распределения имеет вид

Если случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами а и , то будем записывать это в виде ~ N(a, ) .

Функция распределения нормальной величины ~ N(a, ) также выражается через функцию Лапласа:

Ниже приведены построенные в MathCAD графики плотности вероятностей и функций распределения для ~ N(0,1) , ~ N(1,2) .

При больших н распределение Стьюдента практически не отличается от N(0,1).

Ниже приведены графики плотности вероятностей и функций распределения для n =2, 5,10, построенные в MathCAD. Для сравнения приведены графики для ~ N(0,1) .

dt(x 5)

dt(x 10)

dnorm(x 0 1)

0.2

1

pt(x 2)

pt(x 5)

pt(x 10)

0.5

pnormx( 0 1)

В MathCAD значения в точке x плотности распределения и функции Стьюдента с n степенями свободы вычисляются встроенными функциями соответственно dt(x,n) и pt(x,n).

ЗАДАНИЕ 5.7

Постройте графики плотности распределения и функции распределения Стьюдента с указанным числом степеней свободы, равным k = №. Здесь № — номер варианта.

Порядок выполнения задания

1.Постройте графики плотности распределения Стьюдента с указанным числом степеней свободы.

Пример выполнения задания

Постройте графики плотности распределения и функции распределения 2 с n = 2, 5,10 степенями свободы. Примерный вариант выполнения задания приведен выше.

F-распределение Фишера. Пусть случайные величины n2 и m2 независимы и имеют распределение 2 с n и m степенями свободы соответственно. Тогда случайная величина

Ниже приведены построенные в MathCAD графики плотности вероятностей и функций распределения для n = 2, 5 и m = 5, 2.

1

dF(x 2 5)

dF(x 5 2) 0.5

1

x

Указание. В MathCAD значения в точке x плотности распределения и функции Фишера вычисляются встроенными функциями соответственно dF(x, n,m) и pF(x, n,m).

ЗАДАНИЕ 5.8

Постройте графики плотности распределения и функции распределения Фишера для указанных значений n и m..

Порядок выполнения задания

1.Постройте графики плотности распределения Фишера для указанных значений n и m.

2.Постройте графики функции распределения Фишера для указанных значений n и m.

Пример выполнения задания

Пример выполнения задания для распределения Фишера со значениями n = 2, 5 и m= 5, 2 приведен выше.

Распределение Парето. Распределение Парето часто применяется в экономических исследованиях. Плотность вероятностей для случайной величины, распределенной по Парето, имеет вид

0, x a

p (x) a x ( 1) , x a

где a 0, p 0 .

Как видно из этой формулы, случайная величина, распределенная по Парето, принимает значения только в области x > а.

Ниже приведен фрагмент рабочего документа MathCAD, содержащий определения и графики плотности вероятностей и функций распределения Парето. Поскольку в MathCAD нет встроенных функций для этого распределения, они определены, с соблюдением

соглашения об именах для имеющихся статистических функций, как функции переменной x и параметров a и p: dP(x, p, a) и рР(x, p, a) — соответственно для плотности вероятностей и функции распределения Парето (параметр обозначен как p).

1

dP(x 1 1) dP(x 1 2) 0.5

1

pP(x 1 1) pP(x 1 2) 0.5

ЗАДАНИЕ 5.9

Постройте графики плотности распределения и функции распределения Парето для указанных значений a и .

1

plogis(x 0 1)

plogis(x 0 2) 0.5

pnormx( 0 2)

В MathCAD значения в точке x плотности распределения и функции распределения для логистического распределения вычисляются встроенными функции соответственно dlogis(x,

, ) и plogis(x, , ).

ЗАДАНИЕ 5.10

Постройте графики плотности распределения и функции распределения для логистического распрения при значениях параметров = а и = для значений а и из задания 5.9.

Порядок выполнения задания

1.Постройте графики плотности распределения для логистического распределения с указанными значениями параметров.

2.Постройте графики функции распределения для логистического распределения с указанными значениями параметров.

Пример выполнения задания

Постройте графики плотности распределения и функции распределения для логистического распределения с параметрами = 0 и = 1,2. Примерный вариант выполнения задания приведен выше.

Квантили

При решении практических задач часто требуется найти значение я, при котором функция распределения случайной величины принимает заданное значение, т.е. требуется решить уравнение Fξ (x) = p. Решения такого уравнения в теории вероятностей называются квантилями.

Квантилъю xp (p-квантилью, квантилью уровня p) случайной величины ξ, имеющей функцию распределения Fξ(x), называют решение xp уравнения Fξ (x) = p, p (0,1).

Для некоторых p уравнение Fξ (x) = p может иметь несколько решений, для некоторых — ни одного. Это означает, что для соответствующей случайной величины некоторые квантили определены неоднозначно, а некоторые квантили не существуют.

Квантили, наиболее часто встречающиеся в практических задачах, имеют свои названия: медиана — квантиль уровня 0.5;

нижняя квартиль — квантиль уровня 0.25; верхняя квартиль — квантиль уровня 0.75;

децили — квантили уровней 0.1, 0.2, ..., 0.9; процентили — квантили уровней 0.01, 0.02, ..., 0.99.