Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тульский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Часть 2 Теория

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

817.12 Кб

Скачать

☆

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Часть 2. Элементы качественной теории дифференциальных уравнений и теории нелинейных колебаний

1.Автономные системы

1.1.Свойства решений автономных систем

Везде ниже независимую переменную будем обозначать через t и трактовать ее как время. Неизвестные функции будем обозначать x1(t), x2 (t),..., xn (t).

Система дифференциальных уравнений называется автономной (динамической), если независимая переменная не входит явным обра-

зом в систему. Общий вид динамической системы в Rn следующий:

dxi

= f

(x , x

,..., x

), i = 1, 2, K, n ;

(1.1.1)

или в векторной записи:

x Rn

(1.1.1')

= f (x),

Будем предполагать, что в некоторой области G Rn

все функ-

ции fi (x1, x2 ,..., xn )

непрерывны вместе со своими частными произ-

водными ∂fi . Таким образом, в области G × (− ∞, ∞) выполнены все

∂x j

условия теоремы Коши.

Установим некоторые свойства решений автономных систем.

1) Если x = ϕ(t) – решение системы (1.1.1'), то для произвольного C=const вектор-функция ϕ(t + C) также является решением этой системы.

Справедливость приведенного утверждения сразу вытекает из со-

отношений

dϕ(t + C)	=	dϕ(t + C)	= f [ϕ(t + C)].
dt		d(t + C)

Если x = ϕ(t) – решение системы (1.1.1' ), определенное на неко- тором множестве t T , то множество γ = {x : x = ϕ(t),t T} представ-

ляет собой кривую в Rn . Эту кривую называют «фазовой траектори- ей» системы (1.1.1'). Множество фазовых траекторий системы обра-

зует ее «фазовый портрет» в «фазовом пространстве» Rn .

Заметим, что фазовая траектория представляет собой проекцию интегральной кривой x = ϕ(t), заданной в Rn+1, в пространство Rn в направлении, параллельном оси t.

t x=ϕ(t)

Рис. 1.1.1

χ(t) = ϕ(t). Значит


	2) Две фазовые траектории либо не
	имеют общих точек, либо совпадают.
t	Пусть γ1 и γ 2 – две фазовые траек-
	тории, отвечающие решениям			x = ϕ(t)
	и x =ψ (t), имеют общую точку x0 .				То-
x1	гда	ϕ(t1) = x0 =ψ (t2 ) .		Пусть
	χ(t) =ψ[t + (t2 − t1 )].		По свойству		1)
	χ(t) есть решение системы (1.1.1'). Но
	χ(t1) = ψ (t2 ) = ϕ(t1) .		Поэтому, в силу
	свойства	единственности		решения,

ϕ(t) =ψ[t + (t2 − t1 )]. То есть кривые γ1 и γ 2 сов-

падают.

Определение 1.1.1. Точка a называется положением равновесия системы (1.1.1') (точкой покоя, особой точкой, сингулярной точкой),

если f(a)=0.

3)	Если a – положение равновесия системы (1.1.1'), то
x(t) ≡ a (−∞ < t < ∞) - решение этой системы.
В самом деле: 0 =		da	=	dx	= f (x(t)) = f (a) = 0.
		dt
				dt
4)	Всякая фазовая траектория, отличная от точки покоя, явля-

ется гладкой кривой, (то есть имеет в любой своей точке ненулевой касательный вектор).

Действительно, в точке x0	= ϕ(t0 ) имеем x&(t0 ) =	dϕ(t0 )	= f (x0 ) ¹ 0 .
		dt

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.1.1. Всякая фазовая траектория автономной системы принадлежит к одному из трех типов:

а) гладкая кривая без самопересечений;

b)замкнутая гладкая кривая (цикл);

c)точка.

В доказательстве нуждается только утверждение b) теоремы. Для простоты рассуждений будем считать, что все решения системы опре- делены на интервале (−∞, ∞) . Пусть x(t, x0 ) (x(0, x0 ) = x0 ) – решение,

не являющееся положением равновесия. Пусть фазовая траектория этого решения пересекает сама себя, то есть существуют такие значе- ния t1 и t2 , что x(t1, x0 ) = x(t2 , x0 ). Поскольку x0 не положение рав- новесия, то можем считать, что x(t, x0 ) ¹ x(t1, x0 ) при t Î(t1,t2 ). По- ложим ω = t2 - t1 и покажем, что x(t, x0 ) – ω -периодическая функция.

По доказанному выше ~x(t) = x(t + ω, x0 ) также является решением си-

стемы, причем:

~x(t1 ) = x[t1 + (t2 - t1), x0 ] = x(t2 , x0 ) = x(t1, x0 ).

По теореме единственности ~x(t) º x(t, x0 ) Þ x(t, x0 ) º x(t + ω, x0 ). Итак, решение x(t, x0 ) – ω -периодическое. Фазовая траектория

такого решения, очевидно, замкнутая кривая (цикл).

5)	Пусть x(t, x0 ) (x(0, x0 ) = x0 ) – решение автономной системы.
Тогда	x(t1 + t2 , x0 ) = x(t1, x(t2 , x0 )) = x(t2, x(t1, x0 )) (для решений вы-

полнено групповое свойство).

Доказательство справедливости этого утверждения проводится так: очевидно функции ϕ1 (t) = x(t, x(t1, x0 )) и ϕ2 (t) = x(t + t1, x0 ) так-

же являются решениями	системы.	При этом	ϕ1(0) = x(t1, x0 ) ,
ϕ2 (0) = x(t1, x0 ). В силу	теоремы единственности		ϕ1(t) º ϕ2 (t) Þ

Þ ϕ1(t2 ) = ϕ2 (t2 ) Þ x(t2, x(t1, x0 )) = x(t1 + t2 , x0 ).

Заметим, что из доказанного свойства фазовых траекторий авто-

номной системы вытекает, что				x(-t, x(t, x0 )) = x0 .
1.2. Фазовая плоскость линейной системы второго порядка
Рассмотрим линейную однородную систему второго порядка с
постоянными вещественными коэффициентами
	dx		= a	x + a y

	dt	11		12
				(1.2.1)
	dy
			= a21x + a22 y
	dt
Пусть x = ϕ(t), y =ψ (t) – вещественные решения системы (1.2.1).
Тогда уравнения
ìx = ϕ(t),				t Î(-¥, ¥)
í
îy =ψ (t),

определяют фазовую траектория системы (1.2.1). Очевидно, что точка (0,0) – положение равновесия системы.

Так как система (1.2.1) интегрируется, то можно построить ее фа- зовый портрет. Пусть λ1, λ2 – собственные значения матрицы A = (aij ) системы (1.2.1). Могут представиться два случая

а) корни λ1, λ2 вещественны, б) корни λ1, λ2 комплексно-сопряженные числа.

Мы рассмотрим ниже только так называемый основной случай. Основной случай. Собственные значения матрицы А различны и

отличны от нуля. В этом случае качественная картина расположения фазовых траекторий (фазовый портрет системы) не меняется при малых изменениях ее коэффициентов.

Предположим сначала, что оба собственных значения веществен-

ны. Тогда решение системы (1.2.1) имеет вид:
æ xö				+ C		eλ2t e		,	(1.2.2)
ç	÷ = C eλ1t e				2		2
ç	÷	1	1
è yø

где C1,C2 – произвольные постоянные, а e1, e2 – собственные векто- ры, соответствующие собственным значениям λ1, λ2 . Пусть ξ1,ξ2 ко-

		æ xö							. Тогда
ординаты вектора ç			÷ в базисе e , e					2	. Тогда
		ç	÷		1			2
		è yø
ξ	1	= C eλ1t , ξ		2	= C	2	eλ2t .			(1.2.3)
	1		1	2		2

Поскольку в силу (1.2.3) фазовый портрет симметричен относительно начала координат, то достаточно построить его только в первом квад- ранте (C1 ³ 0,C2 ³ 0). Рассмотрим несколько случаев.

I.Числа λ1, λ2 одного знака.

x2	1) λ1 < 0, λ2 < 0 .			Тогда	при
	C1 = 0,	C2 = 0 получаем точку

	покоя	(0,0). Если		C1 > 0,C2 = 0,
0	то фазовая траектория – ось ξ1.
	Если	C1 = 0,C2 > 0 – ось			ξ2 .
	Стрелки на рис.1.2.1 показывают
x1	направление, в котором движется
	точка	по	фазовой	траектории с
	ростом t.
	Если C1 > 0,C2 > 0, то в силу
Рис. 1.2.1	(1.2.3)		ξ1 ® 0,ξ2 ® 0		при
	t → +∞,		ξ1 ® ¥,	ξ2 ® ¥	при

ξ2

(λ −λ )t

→ 0

→ −∞

. Если

λ > λ

2 ,

λ < λ

|) , тогда

2 1

при

1 | |

ξ1

t → +∞ и фазовые траектории «входят» в точку (0,0) по касательной к оси ξ1. Точка покоя в рассматриваемом случае – устойчивый узел.

2) 0 < λ1 < λ2 . Фазовый портрет точно такой же, как и на рис.1.2.1,

только стрелки направлены от начала координат. Это неустойчивый узел.

II. Числа λ1, λ2 разных знаков.
Пусть,			для		определенности,			λ1 > 0, λ2 < 0.	При C1 = 0,C2 > 0
имеем: ξ	1	= 0 , ξ		2	= C	2	eλ2t ® 0 при t → +∞. При C > 0,C			2	= 0 имеем
	1			2		2			1	2
x2								ξ2 = 0,ξ1 → ∞ при t → +∞. Если
								C1 > 0,C2 > 0, то ξ1 → ∞,ξ2 → 0
								при t → +∞.	Получаем картину,
								изображенную схематически на
								рис.1.2.2. Состояние		равновесия
			0				x1	(0,0) – седло,	четыре луча, вхо-

дящие в эту точку и выходящие из нее – усы седла..

Рис. 1.2.2

Случай комплексных собственных значений. Пусть λ и λ –

комплексно-сопряженные собственные значения, а e – собственный вектор, соответствующий собственному значению λ . Тогда можно

выделить два линейно независимых вещественных решения системы

(1.2.1): Re(eλt e )и Im(eλt e ). Если λ = a + bi, e = f1 + if2, то

Re(eλt e )= eat ( f			sin bt),	Im(eλt e )= eat ( f			sin bt).
	cosbt - f	2			2	cosbt + f
1						1

Составив линейную комбинацию выделенных вещественных реше- ний, получим общее решение системы (1.2.1)

æ xö
æ xö				Im(eλt e )= ξ f +ξ		f		,
ç	÷ = C Re(eλt e )+ C		2	Im(eλt e )= ξ f +ξ	2	f	2	,
ç	÷	1	2	1 1	2		2
è yø

где:

ξ	1	= eat (C cos bt + C	2	sin bt), ξ	2	= eat (C	2	cos bt - C sin bt).	(1.2.4)
	1	1	2		2		2	1

Предположим сначала, что собственные значения чисто мнимые:

λ1,2 = ±bi ,

тогда:

cos bt - C sin bt) Þ ξ 2 + ξ 2

= C 2

+ C 2 .

= (C

cos bt + C

sin bt), ξ

= (C

косоугольной

системе

координат

такое уравнение задает, вообще гово-

ря, некоторое семейство эллипсов.

Состояние равновесия в этом случае

называется центром (рис. 1.2.3).

центр

Если

a ¹ 0,

то, в соответствии с

формулой (1.2.4), траектории реше-

Рис. 1.2.3

ний системы будут спиралями. При

a < 0 они

закручиваются

центру.

Состояние равновесия в этом случае называют устойчивым фокусом. При a > 0 спирали будут раскручиваться от центра. Это случай не-

устойчивого фокуса (рис. 1.2.4).

x2		x2

	x1	x1

Устойчивый фокус

Неустойчивый фокус

Рис. 1.2.4

1.3.Исследование положений равновесия нелинейной системы второго порядка

Рассмотрим нелинейную систему второго порядка:
	dx		= f1(x, y)
	dt
		,		(1.3.1)
	dy
			= f2 (x, y)
	dt

причем будем предполагать, что функции f1(x, y), f2 (x, y)дважды непрерывно дифференцируемы во всей плоскости XOY.

Положения равновесия (точки покоя) системы (1.3.1) определя- ются как решения системы уравнений:

ì f1 (x0 , y0 ) = 0, íî f2 (x0 , y0 ) = 0.

Так как путем замены переменных ~x = x − x0 , ~y = y − y0 точку покоя (x0 , y0 ) можно всегда перевести в начало координат (0,0) , то

мы будем в дальнейшем считать, что изучаемое положение равнове- сия есть начало координат (0,0).

Линеаризуя систему (1.3.1) в начале координат, то есть разлагая правые части системы в ряды Тейлора по степеням x и y , и отбра-

сывая члены второго и высшего порядков малости, получим линей- ную систему:

	dx		= a	x + a y

	dt	11		12
				(1.3.2)
	dy
			= a21x + a22 y
	dt

Пусть λ 1, λ2 – собственные				значения матрицы A = (aij ) системы

(1.3.2). Положение равновесия (0,0) будем называть невырожденным, если λ 1¹ λ 2 и Reλ1,2 ¹ 0. Оказывается, что в невырожденном слу-

чае поведение траекторий вблизи положения равновесия (0,0) для нелинейной системы (1.3.1) в существенном совпадает с поведением траекторий линейной системы (1.3.2) вблизи положения равновесия

(0,0).

За положением равновесия (0,0) системы (1.3.1) сохраним те же названия, что и за положением равновесия системы (1.3.2): если λ 1 и

λ 2 вещественны и одного	знака, то положение равновесия узел
(λ 1< 0,λ2 < 0 – устойчивый,	λ 1> 0,λ 2> 0 – неустойчивый). Если λ 1

и λ2 комплексно-сопряженные с отрицательными (положительными) вещественными частями, то положение равновесия (0,0) – устойчи- вый (неустойчивый) фокус. Если λ 1 и λ 2 вещественны и разных знаков, то положение равновесия – седло.

Следующие теоремы, которые будут даны без доказательства, определяют поведение траекторий нелинейной системы (1.3.1) вбли-

зи невырожденного положения равновесия (0,0) в зависимости от ти- па точки покоя системы (1.3.2).

Теорема 1.3.1. Предположим, что точка покоя О(0,0) системы (1.3.2) является седлом. Пусть Р – прямая, проходящая через точку О в направлении собственного вектора e1 матрицы A = (aij ) , соот-

ветствующего отрицательному собственному значению λ1, а Q – прямая, проходящая через точку О в направлении собственного век- тора e2 матрицы A = (aij ) , соответствующего положительному

собственному значению λ2 , Тогда существуют ровно две траекто- рии U1 и U 2 системы (1.3.1), которые при t → +∞ асимптотически

приближаются к точке О(0,0). Эти две траектории вместе с точ- кой О образуют непрерывно дифференцируемую кривую, касающую- ся прямой Р в точке О. Точно также существуют ровно две траек- тории V1 и V2 , которые при t → −∞ асимптотически приближают-

ся к точке О, касаясь при этом прямой Q. Остальные траектории в окрестности точки О ведут себя так, как показано на рис.1.3.1.

	Q	Траектории U1 и U 2 – устой-
	Q	чивые усы седла, траектории V1 и
	V1	чивые усы седла, траектории V1 и
		V2– неустойчивые усы седла.
	U1	Теорема 1.3.2. Пусть точка
	U1	О(0,0) устойчивый (неустойчи-
	О	вый) узел, то есть λ1 < λ2 < 0
	P	(0 < λ2 < λ1 ) . В направлении соб-
	U2	ственного вектора, соответ-
		ствующего λ2 , проведем через
		точку О прямую Р, а в направле-
	V2 Рис. 1.3.1	нии собственного вектора, соот-
		ветствующего λ1 – прямую Q.

Оказывается, что все траектории, начинающиеся достаточно близ-

ко от	точки	О, асимптотически приближаются при
t → +∞	(t → −∞)	к точке О и имеют в этой точке касательную.

При этом только две траектории входят в точку О по касательной к прямой Q,, а остальные – по касательной к прямой Р (соответ- ственно при t → +∞ и t → −∞) (см. рис. 1.3.2).

λ1 < λ2 < 0	Q	Q
λ1 < λ2 < 0		0 < λ2 < λ1

Рис. 1.3.2
Теорема 1.3.3. Пусть точка	О	– фокус, то есть
λ1,2 = a ± bi, a ¹ 0, b ¹ 0. Тогда при a < 0	все траектории системы

(1.3.1), проходящие вблизи точки О, при t → +∞ наматываются на точку О, а при a > 0 наматываются при t → −∞ на точку О как спирали (см. рис. 1.3.3).

Устойчивый фокус	Неустойчивый фокус
	Рис. 1.3.3

Пример 1.3.1. Найти особые точки системы:

ìdx		= 4x2 - y2 ,
ï
	(1.3.3)
ídt
ïdy		= -4x + 2xy - 8,
ï
î dt

определить их тип. Построить схематически фазовый портрет в окрестности каждой особой точки.

Решение. Для нахождения особых точек решим систему уравне-

ний

ì4x2	- y2 = 0	Þ x1 = 2, y1 = 4; x2 = -1, y2 = -2.
í		Þ x1 = 2, y1 = 4; x2 = -1, y2 = -2.
î- 4x + 2xy - 8		= 0

Итак, особыми будут точки M1(2, 4) и M2(–1,–2).

Разлагая правые части системы в ряды Тейлора в окрестности каждой из особых точек и ограничиваясь только линейными членами этих разложений, получим две линейные системы:

	ìdx		= 16x - 8y
для точки M1(2, 4):	ï		= 16x - 8y
	ï			,	и
	ídt			,	и
	ï	dy	= 4x + 4y
	ï		= 4x + 4y
	î dt
	ìdx		= -8x + 4y
для точки M2(–1,–2):	ï		= -8x + 4y		.
	ï
	ídt
	ïdy		= -8x - 2y
	ï		= -8x - 2y
	î dt			æ16	− 8ö
				æ16	− 8ö
Собственные значения матрицы A = ç					÷первой из этих систем
			1	ç	÷
				è 4	4 ø
			e2 = (1,1)		λ1 = 12, λ2 = 8			–	положи-
					тельны,		поэтому		особая
			e1 = (2,1)		точка	M1(2,		4)	является
			e1 = (2,1)		точкой типа «неустойчи-
					точкой типа «неустойчи-
					вый узел».
(2,4)					Для построения фазового
(2,4)					портрета		в	окрестности
					портрета		в	окрестности
					точки		M1(2,	4)	найдем
					собственные векторы, со-
Рис. 1.3.4					ответствующие				найден-
Рис. 1.3.4					ным	собственным значе-
					ниям матрицы А1. Имеем:

e1 = (2, 1), e2 = (1, 1). Согласно теореме 1.3.2, только две траектории выходят из особой точки M1(2, 4) по касательной к направлению, определяемому собственным вектором e1, а остальные выходят из нее по касательной к направлению, определяемому вектором e2

(рис.1.3.4)

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.05.20153.81 Mб40Хомяков Толкалин 12_end_3.pdf
#
09.11.2019126.46 Кб5Хр. бронхит.doc
#
10.05.201532.26 Кб21Хрящевые ткани.DOC
#
20.11.2018551.94 Кб17ЦГВ.doc
#
23.09.2019893.44 Кб25Часть 2 Геодезическое обслуживание строительств...doc
#
10.05.2015817.12 Кб9Часть 2 Теория.pdf
#
02.09.201973.73 Кб9Чистопородное разведение.doc
#
29.08.2019101.23 Кб5что снижает тестостерон.docx
#
16.03.20161.13 Mб30Чугуны.doc
#
03.11.20181.76 Mб11Чумаков-РГР.doc
#
02.12.2018503.3 Кб1Чуриков.doc