Часть 2 Теория

ривать как частный случай квазилинейного уравнения (1.5.11), задача Коши формулируется точно также.

Пусть пространственная кривая Γ задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t) . Обозначим через γ проекцию этой кривой на плос-

кость xOy . Задача Коши для уравнения (1.5.4) ставится так: в окрестности кривой γ найти интегральную поверхность уравнения (1.5.4), проходящую че-

рез заданную кривую Γ , т.е. найти такое решение уравнения (1.5.4), которое принимает заданные значения в точках кривой γ .

Задача Коши имеет единственное ре- шение, если кривая Γ не является характе- ристикой уравнения (1.5.4), то есть не явля- ется интегральной системы (1.5.6). Если же Γ – характеристика, то задача Коши имеет бесконечно много решений.

Общее решение линейного и квазилинейного уравнения

Как уже было сказано выше, линейное уравнение с частными производны- ми может рассматриваться как частный случай квазилинейного уравнения. По- этому мы сначала рассмотрим метод решения квазилинейного уравнения, из которого очевидным образом выводится метод решения линейного уравнения.

Покажем, что интегрирование квазилинейного уравнения (1.5.11) сводится

к отысканию первых интегралов системы уравнений характеристик

dxdt1 = a1(x1, x2 ,Kxn ,u),

LLLLLLLLLL

dx (1.5.12) dtn = an (x1, x2 ,Kxn ,u),

dudt = b(x1, x2 ,Kxn ,u)

Будем искать функцию v(x1, x2 ,Kxn ,u) такую, что для решения

u(x1,K, xn ) уравнения (1.5.11) v(x1, x2 ,Kxn ,u(x1,K, xn )) есть первый интеграл системы (1.5.12), то есть, например, v(x1, x2 ,Kxn ,u(x1,K, xn )) ≡ 0 вдоль траек-

торий системы (1.5.12). Из последнего тождества находим

Подставляя эти соотношения в уравнение (1.5.11), получим

(1.5.13)

Уравнение (1.5.13) имеет тот же вид, что и уравнение (1.5.3) (уравнение (1.4.5)). Согласно теореме 1.4.2 всякое решение уравнения (1.5.11) есть функция от n независимых первых интегралов v j (x1, x2 ,Kxn ,u), j =1,2,Kn системы (1.5.12),

то есть имеет вид v(x1, x2 ,Kxn ,u) = Φ[v1(x1, x2 ,Kxn ,u),K,vn (x1, x2 ,Kxn ,u)]. По-

этому решение уравнения (1.5.11) в неявном виде записывается так: Φ[v1(x1, x2 ,Kxn ,u),K,vn (x1, x2 ,Kxn ,u)] = 0.

(1.5.14)

Замечание 1. Если функция u входит только в один из первых интегралов vj (x1, x2 ,Kxn ,u) , например в vn (x1, x2 ,Kxn ,u) , то решение уравнения (1.5.11)

может быть записано в виде vn (x1, x2 ,Kxn ,u) = ϕ(v1,v2 ,K,vn−1) , где ϕ – произ- вольная дифференцируемая функция. Разрешив последнее уравнение относи- тельно u , получим общее решение в явном виде.

Замечание 2. В случае линейного однородного уравнения (1.5.3) из тео- ремы 1.4.2 сразу следует, что общее решение этого уравнения имеет вид

u(x1,Kxn ) = Φ(u1(x1,Kxn ),u2 (x1,Kxn ),K,un−1(x1,Kxn )),

(1.5.15)

где ui (x1,K, xn ),i =1,2,K,n −1– независимые первые интегралы системы харак-

теристик

dxdtn = an (x1, x2 ,Kxn ),

а Φ(.,K,.) – произвольная дифференцируемая функция n −1 переменных.

Пример 1. Найти общее решение уравнения (x + 2y) ∂∂xz − y ∂∂yz = 0

Решение. Это линейное уравнение. Составим систему характеристик

(1.5.16)

dxdt = x + 2y

dydt = -y

Для нахождения первого интеграла исключим из этой системы dt . Приходим к

соотношению

Получили уравнение в полных дифференциалах. Его общее решение легко находится и имеет вид xy + y2 = C . Левая часть последнего равенства является первым интегралом системы, поэтому, согласно замечанию 2, общее решение

Решение. Уравнение является квазилинейным. Запишем уравнение для ха- рактеристик (см. (1.5.5))

dxx2 = dyy2 = dzz2 = duu .

Из этих уравнений находим три независимых первых интеграла

Так как функция u входит только в последний интеграл, то согласно замеча- нию 1, общее решение уравнения может быть записано в виде

где ϕ – некоторая непрерывно дифференцируемая функция своих переменных.

Решение задачи Коши

Изложим без доказательства метод решения задачи Коши для квазилиней- ного уравнения (1.5.4). В силу приведенных выше рассуждений, этот метод применим и для решения линейного уравнения, то есть в случае, когда функции a,b,c не зависят от переменной z .

Итак, пусть требуется найти интегральную поверхность уравнения (1.5.4), проходящую через кривую Γ , заданную параметрическими уравнениями

Выразив x, y, z через параметр t из соотношений (1.5.17) и подставив эти вы- ражения в (1.5.18), получим два соотношения вида F1(t)= C1, F2 (t)= C2 . Исклю- чив t из последних соотношений, получим выражение вида Φ(C1,C2 ) = 0 . Под- ставив в это выражение вместо C1 и C2 левые части первых интегралов (1.5.18), получим искомое уравнение интегральной поверхности, которое и бу-

Чтобы найти еще один первый интеграл, воспользуемся известным свойством

Теперь запишем систему (1.5.19) для данной задачи и исключим из нее пе- ременные x, y, z :

IIТеория устойчивости

2.1Понятие устойчивости по Ляпунову

Слово устойчивость настолько выразительно, что правильные интуитивные представления об устой-

точку 1 и слегка толкнуть, то он начнет совершать незатухающие (при отсутствии трения) колебания вокруг этой точки. Если же толк- нуть шарик, помещенный на вершину горки 2, то он или скатится во впадину, или укатится на ∞.

Но таких наглядных представлений об устойчивости абсолютно недостаточно для решения мало-мальски серьезной задачи об устой- чивости реальной физической или технической системы.

Теория устойчивости создавалась многими математиками, меха- никами, физиками. Фундаментальные результаты по теории устойчи- вости принадлежат знаменитому русскому математику А.М. Ляпуно-

Через x(t,t0 , x0 ) будем обозначать решение этой системы с началь-

ным условием x(t0 ,t0 , x0 ) = x0 .

Определение 2.1.1. Решение η(t, a, x0 ) системы (2.1.1) называ-

ется устойчивым по Ляпунову, если оно определено при всех t ³ a и для произвольных ε > 0 и t0 Î(a, ¥) можно указать такое δ (ε,t0 ),

что:

1) все решения x(t,t0 , y0 ) , удовлетворяющие условию

|η(t0 , a, x0 ) - x(t0 ,t0 , y0 ) |< δ

определены при "t ³ t0 ;

2) для этих решений справедливо неравенство

|η(t, a, x0 ) − x(t,t0 , y0 ) |< ε при t [t0 ,∞) .

Определение 2.1.2. Решение η(t, a, x0 ) называется асимптоти- чески устойчивым по Ляпунову, если оно устойчиво по Ляпунову и

lim |η(t, a, x0 ) − x(t,t0 , y0 ) |= 0.

t→∞

Иными словами, решение η(t, a, x0 ) устойчиво, если достаточно близкое к нему в любой начальный момент решение x(t,t0 , y0 ) цели-

ком погружается в сколь угодно узкую ε- трубку, построенную во-

круг η(t, a, x0 ) (рис.2.1.2).

x(t,t0 , y0 )

Рис. 2.1.2

В дальнейшем мы будем в основном рассматривать автономные системы

(2.1.2) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого ε > 0 можно указать δ = δ (ε) > 0 такое, что:

1)если | x0 − a |< δ , то решение x(t, x0 ) системы (2.1.2) опреде- лено при всех t ³ 0 ;

2)при всех t [0,∞) выполнено условие | x(t, x0 ) − a |< ε .

Если к тому же lim | x(t, x0 ) − a |= 0 , то состояние равновесия

t→∞

x = a асимптотически устойчиво по Ляпунову.

В рассмотренном выше примере с шариком, положение равнове- сия 1 устойчиво по Ляпунову (но не асимптотически). Если же нали-

чествует трение, то это положение равновесия асимптотически устойчиво.

Ранее нами была рассмотрена линейная автономная система вто- рого порядка с постоянными коэффициентами. Начало координат (0,0) – положение равновесия. Его устойчивость, по сути дела, уже исследована. Можно утверждать, что устойчивый узел и устойчивый фокус – асимптотически устойчивые положения равновесия; центр – устойчивое по Ляпунову, но не асимптотически устойчивое положе- ние равновесия; седло и неустойчивый узел – неустойчивые положе- ния равновесия.

2.2 Общие теоремы об устойчивости линейных систем

тать, что все элементы матрицы A(t) и все компоненты вектор- функции f(t) непрерывны при t (−∞,∞). Наряду с системой (2.2.3)

будем рассматривать линейную однородную систему

устойчивой (вполне неустойчивой), если все ее решения устойчивы (неустойчивы) по Ляпунову при t → +∞.

Замечание 2.2.1. Как будет ясно из дальнейшего, решения линей- ных систем либо все одновременно устойчивы, либо неустойчивы. Подобная терминология неприменима к нелинейным системам, не- которые решения которых могут быть устойчива, тогда как другие

– неустойчивы.

Теорема 2.2.1. Для устойчивости линейной системы (2.2.3) при любом свободном члене f(t) необходимо и достаточно, чтобы было устойчиво тривиальное решение x(t) ≡ 0 (t0 < t < ∞,t0 (−∞,∞)) со-

ответствующей однородной системы (2.2.4).

Доказательство. Необходимость. Пусть η(t) (t0 ≤ t < ∞) – ка-

кое-либо устойчивое решение системы (2.2.3). Это значит, что для произвольного ε > 0 найдется δ > 0 такое, что для произвольного решения y(t) этой системы из условия

Но x(t) = y(t) −η(t) – решение однородной системы (2.2.4), причем любое ее решение x(t) может быть представлено в таком виде. Отсю- да, из соотношений (2.2.5) и (2.2.6) и определения устойчивости сле- дует, что x(t) ≡ 0 – устойчивое решение системы (2.2.4).

Замечание 2.2.2. Из приведенных рассуждений следует, что устойчивость решения x(t) ≡ 0 системы (2.2.4) вытекает из устой- чивости хотя бы одного решения системы (2.2.3) при каком-либо значении f(t) (например, при f (t) ≡ 0).

Достаточность. Пусть решение x(t) ≡ 0 системы (2.2.4) устой- чиво по Ляпунову при t → +∞. Тогда если x(t) (t0 £ t < ¥) – какое- либо решение однородной системы и | x(t0 ) |£ δ (ε,t0 ), то | x(t) |< ε

при t Î[t0 ,¥) . Значит если | y(t0 ) -η(t0 ) |< δ для любых двух реше- ний системы (2.2.3), то | y(t) −η(t) |< ε при t Î[t0 ,¥) . Следовательно,

η(t) – устойчивое при t → +∞ решение. Теорема доказана.

Следствие 2.2.1. Линейная система (2.2.3) устойчива, если устойчиво хотя бы одно ее решение и вполне неустойчива, если не- устойчиво некоторое ее решение.

Справедливость утверждения следствия вытекает из теоремы

2.2.1 и замечания 2.2.2.

Следствие 2.2.2. Система (2.2.3) устойчива тогда и только то- гда, когда устойчива однородная система (2.2.4).

Следствие 2.2.2 в совокупности с теоремой 2.2.1 показывает, что

можно ограничиться только изучением устойчивости тривиального решения x(t) ≡ 0 однородной системы (2.2.4).

Определение 2.2.5. Линейную систему (2.2.3) будем называть асимптотически устойчивой, если любое ее решение y(t) асимпто-

тически устойчиво при t → +∞.

Теорема 2.2.2. Система (2.2.3) асимптотически устойчива то- гда и только тогда, когда асимптотически устойчиво решение x(t) ≡ 0 однородной системы (2.2.4).